馬爾科夫預測

馬爾柯夫預測法第三節(jié)馬爾柯夫預測馬爾柯夫（A.AMarkov）預測法是應用概率論中馬爾柯夫鏈的理論和方法來研究隨機事件變化并借此分析預測未來變化趨勢的一種方法。馬爾柯夫（A.AMarkov俄國數(shù)學家）?；靖拍罘€(wěn)態(tài)概率實例第三節(jié)馬爾可夫決策

例6-7我國出口某種設備，在國際市場上的銷售狀況有兩種：暢銷和滯銷。暢銷每年可以獲利100萬元，滯銷時每年僅獲利30萬元。以一年為一個時期，如果不采用廣告推廣產(chǎn)品或采取廣告措施，狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣分別為如表6-5、表6-6所示。案例引入：實例2：P198第三節(jié)馬爾可夫決策

假定上一年處于暢銷狀態(tài)，每年的廣告費為15萬元。為了保證今后3年的利潤最大化，是否應該采用廣告措施？暢銷滯銷暢銷0.80.2滯銷0.40.6暢銷滯銷暢銷0.90.1滯銷0.70.3表6-3不采取廣告措施

表6-4采取廣告措施案例引入：例6-5P194某企業(yè)為使技術人員具有多方面經(jīng)驗，實行技術人員在技術部門，生產(chǎn)部門和銷售部門的輪換工作制度。輪換辦法采取隨機形式，每半年輪換一次，初始狀態(tài)，即技術人員開始是在某部門工作概率用表示，j=1，2，；pij表示處于第i個部門的技術人員在半年后（一步）轉(zhuǎn)移到第j個部門的概率。已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率如果某人開始在工程技術部門工作（部門1），則經(jīng)過2次轉(zhuǎn)移后它在生產(chǎn)部門工作（部門2）的概率是多少？一、基本概念20世紀初，馬爾科夫在研究中發(fā)現(xiàn)自然界中有一類事物的變化過程僅與事物的近期狀況有關，而與事物的過去狀態(tài)無關。例：設備維修和更新、人才結(jié)構(gòu)變化、資金流向、市場需求變化等許多經(jīng)濟行為都可用這一類過程來描述或近似。所謂馬爾柯夫鏈，就是一種隨機時間序列，它在將來取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關，而與它過去取什么值無關，即無后效性。具備這個性質(zhì)的離散型隨機過程，稱為馬爾柯夫鏈。一、基本概念一、馬爾可夫鏈

經(jīng)濟問題采取的行動已經(jīng)確定，但將這個行動付諸實踐的過程又分為幾個時期。在不同的時期，系統(tǒng)可以處在不同的狀態(tài)，而這些狀態(tài)發(fā)生的概率又可受前面時期實際所處狀態(tài)的影響。其中一種最簡單、最基本的情形，是每一時期狀態(tài)參數(shù)的概率分布只與這一時期的前一時期實際所處的狀態(tài)有關，而與更早的狀態(tài)無關，這就是所謂的馬爾可夫鏈。利用馬氏過程分析系統(tǒng)當前狀態(tài)并預測未來狀態(tài)的決策方法，稱為馬爾可夫決策。第三節(jié)馬爾可夫決策一、基本概念經(jīng)濟學中把這種現(xiàn)象稱為“無后效性”，即“系統(tǒng)在每一時刻的狀態(tài)僅僅取決于前一時刻的狀態(tài)”。例如，池塘里有三張荷葉，編號為1，2，3，假設有個青蛙在荷葉上隨機地跳來跳去，在初始時刻t0，它在第二張荷葉上。在時刻t1，123123第三節(jié)馬爾可夫決策一、基本概念它可能跳到第一張或者第三張荷葉，也可能在原地不動。我們把青蛙在某個時刻所在的荷葉稱為青蛙所處的狀態(tài)，這樣，青蛙在未來處于什么狀態(tài)，只與它現(xiàn)在所處的狀態(tài)有關，與它以前所處的狀態(tài)無關，這種性質(zhì)就是所謂的“無后效性”。上例中，青蛙所處的那張荷葉，稱為青蛙所處的狀態(tài)，在經(jīng)濟系統(tǒng)的研究中，一種經(jīng)濟現(xiàn)象，在某一時刻t所出現(xiàn)的某種結(jié)果，就是該系統(tǒng)在該時間t所處的狀態(tài)。一、基本概念：狀態(tài)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率、

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣、初始狀態(tài)概率向量（一）、狀態(tài)與狀態(tài)變量狀態(tài)：客觀事物可能出現(xiàn)或存在的狀況。如：商品可能暢銷也可能滯銷；機器運轉(zhuǎn)可能正常也可能故障等。同一事物不同狀態(tài)之間必須相互獨立:不能同時存在兩種狀態(tài)?？陀^事物的狀態(tài)不是固定不變的，它可能處于這種狀態(tài)，也可能處于那種狀態(tài)，往往條件變化，狀態(tài)也會發(fā)生變化。如某種產(chǎn)品在市場上本來是滯銷的，但是由于銷售渠道變化了，或者消費心理發(fā)生了變化等，它便可能變?yōu)闀充N產(chǎn)品。用狀態(tài)變量來表示狀態(tài)：它表示隨機運動系統(tǒng)，在時刻 所處的狀態(tài)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移：客觀事物由一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的變化。如：由于產(chǎn)品質(zhì)量或替代產(chǎn)品的變化，市場上產(chǎn)品可能由暢銷變?yōu)闇N。（二）、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率客觀事物可能有共種狀態(tài)，其中每次只能處于一種狀態(tài)，則每一狀態(tài)都具有個轉(zhuǎn)向（包括轉(zhuǎn)向自身即。由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移是隨機的，因此，必須用概率來描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移可能性的大小，將這種轉(zhuǎn)移的可能性用概率描述，就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率概率論中的條件概率：P（AB）就表達了由狀態(tài)B向狀態(tài)A轉(zhuǎn)移的概率，簡稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。對于由狀態(tài)Ei

轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的概率，稱它為從i

到j

的轉(zhuǎn)移概率。記為：它表示由狀態(tài)Ei經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的概率。第三節(jié)馬爾可夫決策（二)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率某地區(qū)有甲、乙、丙三家食品廠生產(chǎn)同一種食品，有一千個用戶（或購貨點），假定在研究期間無新用戶加入也無老用戶退出，只有用戶的轉(zhuǎn)移，已知2009年5月份有500戶是甲廠的顧客，400戶是乙廠的顧客，100戶是丙廠的顧客，6月份，甲廠有400戶原來的顧客，上月的顧客有50戶轉(zhuǎn)乙廠，50戶轉(zhuǎn)丙廠；乙廠有300戶原來的顧客，上月的顧客有20戶轉(zhuǎn)甲廠，80戶轉(zhuǎn)丙廠；丙廠有80戶原來的顧客，上月的顧客有10戶轉(zhuǎn)甲廠，10戶轉(zhuǎn)乙廠。試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。第三節(jié)馬爾可夫決策甲乙丙合計甲乙丙40020105030010508080500400100合計4303602101000表6-1顧客轉(zhuǎn)移表(二)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率到

從

第三節(jié)馬爾可夫決策(二)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率(三)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 將事件個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率依次排列起來，就構(gòu)成一個N行×N列的矩陣，這種矩陣就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

通常稱矩陣P

為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，沒有特別說明步數(shù)時，一般均為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。矩陣中的每一行稱之為概率向量。

轉(zhuǎn)移概率矩陣的特征??一、基本概念

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣具有如下特征： （1）

（2）

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及其基本特征狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算主觀概率法（一般缺乏歷史統(tǒng)計資料或資料不全情況下使用）統(tǒng)計估算法。第三節(jié)馬爾可夫決策二、馬爾可夫性隨機過程如果對任意都存在則稱具有馬爾可夫性。第三節(jié)馬爾可夫決策二、馬爾可夫鏈與轉(zhuǎn)移概率矩陣條件概率稱為轉(zhuǎn)移概率，也稱一步轉(zhuǎn)移概率。各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率可記為例設味精市場的銷售記錄共有6年24個季度的數(shù)據(jù)，見表。求味精銷售轉(zhuǎn)移概率矩陣。季度123456789101112銷售狀態(tài)暢1暢1滯2暢1滯2滯2暢1暢1暢1滯2暢1滯2季度131415161718192021222324銷售狀態(tài)暢1暢1滯2滯2暢1暢1滯2暢1滯2暢1暢1暢1用“1”表示暢銷用“2”表示滯銷季度123456789101112銷售狀態(tài)暢1暢1滯2暢1滯2滯2暢1暢1暢1滯2暢1滯2季度131415161718192021222324銷售狀態(tài)暢1暢1滯2滯2暢1暢1滯2暢1滯2暢1暢1暢1

共24個季度數(shù)據(jù)，其中有15個季度暢銷，9個季度滯銷，現(xiàn)分別統(tǒng)計出:連續(xù)暢銷、由暢轉(zhuǎn)滯、由滯轉(zhuǎn)暢和連續(xù)滯銷的次數(shù)。以

p11

表示連續(xù)暢銷的可能性，以頻率代替概率，得：

??

分子7

是表中連續(xù)出現(xiàn)暢銷的次數(shù)，分母15是表中出現(xiàn)暢銷的次數(shù)，因為第24季度是暢銷，無后續(xù)記錄，故減1。2個狀態(tài):“1”

暢銷“2”

滯銷季度123456789101112銷售狀態(tài)暢1暢1滯2暢1滯2滯2暢1暢1暢1滯2暢1滯2季度131415161718192021222324銷售狀態(tài)暢1暢1滯2滯2暢1暢1滯2暢1滯2暢1暢1暢1

以

p12

表示由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的可能性： 分子7

是表中由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的次數(shù)。以

p21

表示由滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的可能性： 分子7

是表中由滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的次數(shù)，分母數(shù)9是表中出現(xiàn)滯銷的次數(shù)。2個狀態(tài):“1”

暢銷“2”

滯銷季度123456789101112銷售狀態(tài)暢1暢1滯2暢1滯2滯2暢1暢1暢1滯2暢1滯2季度131415161718192021222324銷售狀態(tài)暢1暢1滯2滯2暢1暢1滯2暢1滯2暢1暢1暢1

以

p22

表示連續(xù)滯銷的可能性： 分子2

是表中連續(xù)出現(xiàn)滯銷的次數(shù)。綜上所述，得銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：第三節(jié)馬爾可夫決策例：某經(jīng)濟系統(tǒng)有三種狀態(tài)E1，E2，E3（比如暢銷，一般，滯銷）。系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況如表，試求系統(tǒng)的二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。系統(tǒng)下步所處狀態(tài)E1E2E3系統(tǒng)本步所處狀態(tài)E1E2E321161078814122狀態(tài)次數(shù)狀態(tài)（二）、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率第三節(jié)馬爾可夫決策（二）、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率即P即為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，二步轉(zhuǎn)移概率矩陣可由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣求出第三節(jié)馬爾可夫決策（二）、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率第三節(jié)馬爾可夫決策（二）、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率于是第三節(jié)馬爾可夫決策例題：某商店在最近20個月的商品銷售量統(tǒng)計記錄如下：試預測第21月的銷售量。時間

t銷售量時間

t銷售量時間

t銷售量時間

t銷售量1234540458012011067891038405062901112131415110130140120551617181920704580110120表6-2商品銷售量統(tǒng)計表單位：千件第三節(jié)馬爾可夫決策（二）、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率解：1.劃分狀態(tài)。按盈利狀況為標準選?。?）銷售量<60千件屬滯銷；（2）60千件≤銷售量≤100千件屬一般；（3）銷售量>100千件屬暢銷；

2.計算初始概率Pi

為了使問題更為直觀，繪制銷售量散點圖，并畫出狀態(tài)分界線，第三節(jié)馬爾可夫決策第三節(jié)馬爾可夫決策（二）、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率解：由圖可以算出處于：滯銷狀態(tài)的有M1=7一般狀態(tài)的有M2=5暢銷狀態(tài)的有M3=83.計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣第三節(jié)馬爾可夫決策（二)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率從而所以第三節(jié)馬爾可夫決策(二)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率4.預測第21月的銷售情況由于第20月的銷售量屬于暢銷狀態(tài)，而經(jīng)由一次轉(zhuǎn)移到達三種狀態(tài)的概率是：因此，第21月超過100（千件）的可能性最大。即預測第21月的銷售狀態(tài)為“暢銷”。第三節(jié)馬爾可夫決策(三)、馬爾可夫鏈與轉(zhuǎn)移概率矩陣定義：如果隨機過程滿足下述性質(zhì)，則稱是一個有限狀態(tài)的馬爾可夫鏈（Markov）。（1）具有有限種狀態(tài)；（2）具有馬爾可夫性；（3）轉(zhuǎn)移概率具有平穩(wěn)性。第三節(jié)馬爾可夫決策三、穩(wěn)態(tài)概率稱為穩(wěn)態(tài)概率。且因此我們可以從n步轉(zhuǎn)移矩陣的極限取得穩(wěn)態(tài)概率分布

第三節(jié)馬爾可夫決策三、穩(wěn)態(tài)概率得此方程組為穩(wěn)態(tài)方程三、穩(wěn)態(tài)概率矩陣:

平穩(wěn)分布與穩(wěn)態(tài)分布

在馬爾可夫鏈中，已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，就可推斷出系統(tǒng)在任意時刻可能所處的狀態(tài)。 現(xiàn)在需要研究當k

不斷增大時，P(k)

的變化趨勢。

1、平穩(wěn)分布如存在非零向量

X=(x1，x2，

…，xN)，使得：

XP=X其中：P為一概率矩陣則稱X為P的固定概率向量。特別地，設X=(x1，x2，

…，xN)為一狀態(tài)概率向量，P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，若XP=X即： 稱X

為該馬爾可夫鏈的一個平穩(wěn)分布若隨機過程某時刻的狀態(tài)概率向量P(k)為平穩(wěn)分布，則稱過程處于平衡狀態(tài)。（XP=X）一旦過程處于平衡狀態(tài)，則經(jīng)過一步或多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，其狀態(tài)概率分布保持不變，也就是說，過程一旦處于平衡狀態(tài)后將永遠處于平衡狀態(tài)。對于所討論的狀態(tài)有限（即N個狀態(tài)）的馬爾可夫鏈，平穩(wěn)分布必定存在。特別地，當狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為正規(guī)概率矩陣時，平穩(wěn)分布唯一。正規(guī)概率矩陣？？？定義1：如果P為概率矩陣，且存在m>0，使Pm

中諸元素皆非負非零。則稱P為正規(guī)概率矩陣。例如：均為正規(guī)概率矩陣。P1為正規(guī)概率矩陣是明顯的（m=1）P2是正規(guī)概率矩陣也也易于論證：即存在（m=2），使P2

的元素皆非負非零。

是非正規(guī)概率矩陣。正規(guī)概率矩陣的這一性質(zhì)很有實用價值。因為在市場占有率是達到平穩(wěn)分布時，顧客（或用戶）的流動將對市場占有率不起影響。即各市場主體喪失的顧客（或用戶）與爭取到的顧客相抵消。

例：甲乙丙三個食品廠顧客的32步轉(zhuǎn)移概率。二、穩(wěn)態(tài)分布

可以看到每一列都有相同的值。這說明不管初始狀態(tài)三個食品廠占有多少顧客，經(jīng)過32月之后處于狀態(tài)j的概率都是相同的。即：經(jīng)過多次轉(zhuǎn)移之后，系統(tǒng)存在一個處于狀態(tài)j的有限概率，此概率與系統(tǒng)原始狀態(tài)無關。二、穩(wěn)態(tài)分布

對概率向量

=(

1，

2，

…，

N)，如對任意的i，jS

：

則稱

為穩(wěn)態(tài)分布。此時，不管初始狀態(tài)概率向量如何，均有，或這也是稱

為穩(wěn)態(tài)分布的理由。性質(zhì)？？

設存在穩(wěn)態(tài)分布

=(

1，

2，

…，

N)，則由于下式恒成立：令k→∞就得

A：即有限狀態(tài)馬爾可夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布如存在，那么它也是平穩(wěn)分布。

B：當馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為正規(guī)概率矩陣時穩(wěn)態(tài)分布存在，且穩(wěn)態(tài)分布和平穩(wěn)分布相同且均唯一。例：設一馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下，求其平穩(wěn)分布及穩(wěn)態(tài)分布。解：(1)P是正規(guī)概率矩陣即存在（m=2），使P2

的元素皆非負非零。(2)求解如下方程組：這就是該馬爾可夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布，而且也是平穩(wěn)分布?！?.3

馬爾可夫鏈預測法

馬爾可夫鏈預測方法的最簡單類型是預測下期最可能出現(xiàn)的狀態(tài)。步驟：第一步：劃分預測對象所出現(xiàn)的狀態(tài)。 從預測目的出發(fā)，考慮決策需要來劃分現(xiàn)象所處的狀態(tài)。第二步：計算初始概率。據(jù)實際問題分析歷史資料所得的狀態(tài)概率稱為初始概率。第三步：計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率第四步：根據(jù)轉(zhuǎn)移概率進行預測由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P

：如果目前預測對象處于狀態(tài)Ei，這時Pij

就描述了目前狀態(tài)Ei

在未來將轉(zhuǎn)向狀態(tài)Ej（j=1，2，…，N）的可能性。按最大可能性作為選擇原則：選擇（Pj1，Pj2，…，

PjN

）中最大者為預測結(jié)果。第三節(jié)馬爾可夫決策

例6-7我國出口某種設備，在國際市場上的銷售狀況有兩種：暢銷和滯銷。暢銷每年可以獲利100萬元，滯銷時每年僅獲利30萬元。以一年為一個時期，如果不采用廣告推廣產(chǎn)品或采取廣告措施，狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣分別為如表6-5、表6-6所示。四、馬爾可夫應用實例第三節(jié)馬爾可夫決策

假定上一年處于暢銷狀態(tài)，每年的廣告費為15萬元。為了保證今后3年的利潤最大化，是否應該采用廣告措施？四、馬爾可夫應用實例暢銷滯銷暢銷0.80.2滯銷0.40.6暢銷滯銷暢銷0.90.1滯銷0.70.3表6-3不采取廣告措施

表6-4采取廣告措施第三節(jié)馬爾可夫決策

解：這是短期經(jīng)營不變策略問題，所以可以把不采用廣告措施和采用廣告時這三年中每一年暢銷、滯銷的概率分別求出來，然后計算每一年的利潤期望值，通過比較每種措施下三年利潤期望值總和，便可得出結(jié)論。四、馬爾可夫應用實例第三節(jié)馬爾可夫決策四、馬爾可夫應用實例第三節(jié)馬爾可夫決策

由于上一時期處于暢銷狀態(tài)，因此，如不采取廣告措施，第一年暢銷和滯銷的概率分別為0.8和0.2，第二年暢銷和滯銷的概率分別為0.72和0.28，第三年暢銷和滯銷的概率分別為0.688和0.312.所以可以算得，三年所獲期望利潤值總和四、馬爾可夫應用實例第三節(jié)馬爾可夫決策四、馬爾可夫應用實例第三節(jié)馬爾可夫決策四、馬爾可夫應用實例

比較兩式，可知最滿意的方案應該是不采取廣告策略，其期望利潤值總和為244.56萬元。第三節(jié)馬爾可夫決策四、馬爾可夫應用實例

例6-6某生產(chǎn)商標為的產(chǎn)品的廠商為了與另外兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品和的廠家競爭，有三種可供選擇的措施：（1）發(fā)放有獎債券；（2）開展廣告宣傳；（3）優(yōu)質(zhì)售后服務。三種方案分別實施以后，經(jīng)統(tǒng)計調(diào)查可知，該類商品的市場占有率的轉(zhuǎn)移矩陣分別是第三節(jié)馬爾可夫決策四、馬爾可夫應用實例

已知三種商標的商品的月總銷售量為一千萬件，每件可獲利1元。另外，三種措施的成本費分別為150萬，40萬，30萬。為長遠利益考慮，生產(chǎn)商標為的產(chǎn)品的廠商應該采取何種措施？第三節(jié)馬爾可夫決策四、馬爾可夫應用實例

解：由于考慮的是長期經(jīng)營，而且采取的是不變策略，所以采取三種措施的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)概率進行決策。（1）計算出措施1的穩(wěn)態(tài)概率為：第三節(jié)馬爾可夫決策四、馬爾可夫應用實例第三節(jié)馬爾可夫決策

（2）生產(chǎn)商標為a的商標的廠商采取措施后的期望值為107∏1，采取措施前后的純利潤計算如表：措施市場占有率毛利期望值措施成本費用純利潤期望值10.5444544.4150394.420.55004046030.550030470表6-4采取措施后的純利潤單位：萬元

四、馬爾可夫應用實例

（3）計算結(jié)果表明，生產(chǎn)商標為a的商品的廠商應該采用措施3。實例3（市場占有率的預測）

已知在某地區(qū)銷售同類型產(chǎn)品的有A，B，C三個公司，經(jīng)過一年營業(yè)后進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：1A公司的200名顧客中有160名繼續(xù)訂貨，有20名轉(zhuǎn)向B公司訂貨，20名轉(zhuǎn)向C公司訂貨。2B公司的500名顧客中有450名繼續(xù)訂貨，有35名轉(zhuǎn)向A公司訂貨，15名轉(zhuǎn)向C公司訂貨。3C公司的300名顧客中有255名繼續(xù)訂貨，有25名轉(zhuǎn)向A公司訂貨，20名轉(zhuǎn)向B公司訂貨。

如果三個公司在這個地區(qū)的初始占有率為A=22%，B=49%，C=29%，且它們都不改變營業(yè)狀態(tài)和規(guī)模，問：（1）明年和后年，三個公司在這個地區(qū)市場占有率為如何？（2）穩(wěn)定狀態(tài)下，三個公司的市場占有率？解：根據(jù)題意，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

ABCA160/20020/20020/200P=B35/500450/50015/500C25/30020/300255/300狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

ABCA0.800.100.10P=B0.070.900.03C0.0830.0670.85今年的市場占有率u=（0.22,0.49,0.29）明年的市場占有率up=0.800.100.10（0.22,0.49,0.29）0.070.900.030.0830.0670.85明年的市場占有率up1=（0.234,0.483,0.283）后年的市場占有率up2=（up）（P）=（0.245,0.477,0.278）穩(wěn)定狀態(tài)下，市場占有率將是：

(x1,x2,x3)(P)=(x1,x2,x3)x1+x2+x3=10.800x1+0.070x2+0.083x3=x10.100x1+0.900x2+0.067x3=x20.100x1+0.030x2+0.850x3=x3

x1+x2+x3=1得：x1=0.273x2=0.454x3=0.273實例4（營業(yè)點的選擇）

某城市出租汽車公司有A、B、C三個汽車站，顧客可以在這三個汽車站任意租車，汽車用完就近開回汽車站，根據(jù)一段時間營業(yè)后發(fā)現(xiàn)，汽