直線與雙曲線的位置關(guān)系探究教學設(shè)計 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

PAGEPAGE1《直線與雙曲線的位置關(guān)系》教學設(shè)計教學內(nèi)容直線與雙曲線的位置關(guān)系教學目標1、基礎(chǔ)性目標（1）知識目標：能判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，并能運用位置關(guān)系的性質(zhì)進行解題。（2）能力目標：運用數(shù)形結(jié)合的方法簡化解題。2、發(fā)展性目標（1）培養(yǎng)學生的運算能力、邏輯思維能力。滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法。（2）讓學生在探究體驗的積累中增強數(shù)學學習的信心，提高數(shù)學素養(yǎng)。教學重難點直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法的探索，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系性質(zhì)的運用?；顒硬牧辖叹撸簷E圓與雙曲線的模型，學具：直尺，白紙。教學過程：教學流程教師指導學生活動設(shè)計意圖準備活動：已知給定一組雙曲線和兩個定點，試判斷定點與已知雙曲線有什么樣的位置關(guān)系？教師分析：這個問題的解決如果也類似于點與橢圓的位置關(guān)系那樣——僅從數(shù)的角度來判斷，將點的坐標代入雙曲線方程的左邊，然后與“1”進行比較只會得出錯誤的結(jié)論，問題解決的失敗體驗引發(fā)學生從另外一個角度去尋找方法，即按照原有的經(jīng)驗進行思維受到阻礙，因此要尋求另外的解決方法，可以換一種角度——借助圖形去思考。學生求解：用直線和直線去截雙曲線，由交點與定點的比較可知點在雙曲線的內(nèi)部（即在被雙曲線包含的部分），點在雙曲線的外部。數(shù)學問題的產(chǎn)生有一定的背景，數(shù)學習題的編制有一定的根源，數(shù)學問題的求解也有一定的規(guī)律。這是一個看似簡單其實不易回答的問題，它比較容易引起學生探究學習的興趣、形成尋求問題答案的心向，從而促使學生運用已有的知識獨立地解決問題?；顒右?、教師提出問題：試探索過點有幾條直線與雙曲線只有一個交點，而過點又有幾條直線與該雙曲線只有一個交點？2、教師引導：要探究這一問題必須進行實踐嘗試。3、教師提問并補充說明：兩條與雙曲線相切，兩條與雙曲線相交，這是直線與橢圓的位置關(guān)系所沒有的，試問為什么？（因為雙曲線不是封閉曲線，所以具有這樣特殊的性質(zhì)。）1、學生思考。2、學生操作：因為點在雙曲線內(nèi)部，所以通過畫圖觀察可知過點A只能作兩條直線與雙曲線只有一個交點，這兩條直線的位置關(guān)系是分別平行于雙曲線的兩條漸近線；又點B在雙曲線外部，所以過點B可以作四條直線與雙曲線只有一個交點，它們的位置關(guān)系可以分為兩組。從問題求解過程中可以發(fā)現(xiàn)，有了圖形作基礎(chǔ)，以下的問題的研究就可以全面地展開?；顒佣處熖岢鰡栴}：若與雙曲線有共同漸近線，且與直線只有一個交點，求此雙曲線的標準方程。學生求解：設(shè)所求的雙曲線方程為可得，則所求的雙曲線方程為說明：以上問題都是就直線與雙曲線只有一個交點情況的研究，問題的探究從失敗走向了成功，在成功體驗的積累中提高了自己，進而提出新的問題，那么當直線與雙曲線有兩個交點時，又有哪些問題可以研究，研究的方法又如何？轉(zhuǎn)入下面問題的研究活動三設(shè)是雙曲線的左右焦點,過它的右焦點，作一條垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點和，求弦的長及的周長。學生分析要求的周長,必先求出弦的長,這個問題是一種特殊情況，解決當然也不難。這問題的延續(xù)：求雙曲線的右準線將分成兩部分的面積之比是多少？通過個問題的研究，我們可以對雙曲線的定義及其作用有更加深刻的認識，同時也為下面問題的解決作好鋪墊。活動四：對雙曲線中幾何不變量之間的關(guān)系的探究。教師提出問題：過雙曲線的右焦點，作一條傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點和，求弦的長及的周長。學生求解，自己進行總結(jié)。以數(shù)解形，使學生對雙曲線的認識更加深刻?；顒游澹禾骄繂栴}的多中解法?；顒游澹航?jīng)過點能否作一條直線，使它被雙曲線所截得的線段恰好被點平分，若這樣的直線存在，求出它的方程；若不存在，請說明理由？分組探究，獲得解法?？捎萌N方法進行求解，解得直線方程為：通過這樣的研究，可以進一步將直線與雙曲線的位置關(guān)系中“設(shè)而不求”、“設(shè)點作差”的方法進行到底。直線與雙曲線的位置關(guān)系能夠作這樣的研究,那么直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系就更能輕易地解決了?；顒恿嚎偨Y(jié)與反思。教師提出：經(jīng)過點，能否作一條直線，使它被雙曲線所截，得到的線段恰好被所給的點平分，這樣的直線如果存在,請求出它的方程；若不存在，請說明理由？若已知點為，結(jié)論又如何。學生思考，課后研究這一問題的提出為學生的課后研究提供了更加廣闊的思維空間。教師帶領(lǐng)學生進行積極的數(shù)學探索，探究數(shù)學知識的生長點，并從數(shù)學知識