二次函數(shù)的最值問題總結(jié)

二次函數(shù)的最值問題一次函數(shù)y-ax?+bx+c是是0）是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量％取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況（當(dāng)〃>0時(shí)，函數(shù)在x=-b-處取得最小值4℃—b，無最大值；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在x=-b處取得2a 4a 2a最大值45b2，無最小值.4a本節(jié)我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最值問題.同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中的簡單應(yīng)用.二次函數(shù)求最值（一般范圍類）例1當(dāng)―2<x<2時(shí)，求函數(shù)y=x2-2x—3的最大值和最小值.分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量x的值.解：作出函數(shù)的圖象.當(dāng)x解：作出函數(shù)的圖象.當(dāng)x=1時(shí)，y=-4，當(dāng)x=-2時(shí)，y=5.min max例2.當(dāng)1<x<2時(shí)，求函數(shù)y=-x2-x+1的最大值和最小值.解：作出函數(shù)的圖象.當(dāng)x=1時(shí)，y=-1，當(dāng)x=2時(shí)，y=-5.min max由上述兩例可以看到，二次函數(shù)在自變量x的給定范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線上的一段.那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值.根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量x由上述兩例可以看到，二次函數(shù)在自變量x的給定范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線上的一段.那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值.根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量x的范圍的圖象形狀各異.下面給出一些常見情況：例3.當(dāng)x>0時(shí)，求函數(shù)y=-x（2-x）的取值范圍.解：作出函數(shù)＞=—x（2—X）=X2—2x在工之。內(nèi)的圖象.可以看出：當(dāng)％=1時(shí)，y =—1,無最大值.min所以，當(dāng)工之。時(shí)，函數(shù)的取值范圍是? 1 5例4.當(dāng)/vxvi+l時(shí)，求函數(shù)y=512—%—的最小值（其中/為常數(shù)）.置.分析：由于％所給的范圍隨著t的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱軸與其范圍的相對(duì)位置.TOC\o"1-5"\h\z1 5 ,解：函數(shù)y=-X2—X--的對(duì)稱軸為X=1.畫出其草圖.1 1 5(1)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍左側(cè).即t>1時(shí)：當(dāng)X=t時(shí)，y=12-1--；min2 2(2)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍之間.即t<1<t+1n0<t<1時(shí)：當(dāng)x=1時(shí)，y=—x12-1-—=-3；min2 2 '(3)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍右側(cè).即t+1<1nt<0時(shí)：當(dāng)x=t+1時(shí)，y=1(t+1)2-(t+1)-5=112-3.min2 2 21 -八—t2—3,t<02綜上所述：y=<-3,0<t<11 522--2,t>在實(shí)際生活中，我們也會(huì)遇到一些與二次函數(shù)有關(guān)的問題：二次函數(shù)求最值（經(jīng)濟(jì)類問題）例1.為了擴(kuò)大內(nèi)需，讓惠于農(nóng)民，豐富農(nóng)民的業(yè)余生活，鼓勵(lì)送彩電下鄉(xiāng)，國家決定對(duì)購買彩電的農(nóng)戶實(shí)行政府補(bǔ)貼.規(guī)定每購買一臺(tái)彩電，政府補(bǔ)貼若干元，經(jīng)調(diào)查某商場銷售彩電臺(tái)數(shù)y（臺(tái)）與補(bǔ)貼款額x（元）之間大致滿足如圖①所示的一次函數(shù)關(guān)系.隨著補(bǔ)貼款額x的不斷增大，銷售量也不斷增加，但每臺(tái)彩電的收益z（元）會(huì)相應(yīng)降低且z與x之間也大致滿足如圖②所示的一次函數(shù)關(guān)系.工持。工持。（1）在政府未出臺(tái)補(bǔ)貼措施前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元？（2）在政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，分別求出該商場銷售彩電臺(tái)數(shù)y和每臺(tái)家電的收益Z與政府補(bǔ)貼款額1之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使該商場銷售彩電的總收益匹（元）最大，政府應(yīng)將每臺(tái)補(bǔ)貼款額1定為多少？并求出總收益W的最大值.分析：（1）政府未出臺(tái)補(bǔ)貼措施前，商場銷售彩電臺(tái)數(shù)為800臺(tái)，每臺(tái)彩電的收益為200元；（2）利用兩個(gè)圖像中提供的點(diǎn)的坐標(biāo)求各自的解析式；（3）商場銷售彩電的總收益=商場銷售彩電臺(tái)數(shù)X每臺(tái)家電的收益，將（2）中的關(guān)系式代入得到二次函數(shù)，再求二次函數(shù)的最大值.解：（1）該商場銷售家電的總收益為800x200=160000（元）(2)依題意可設(shè)y=ki+800,Z=k1+200,/.有400k+800=1200,TOC\o"1-5"\h\z12 1200k+200=160，解得k=1,k二一1.所以y=i+800,Z=一11+200.2 1 25 5…(1 -、 1 _ (3)W=yZ=(i+800A--1+200=——(i—100)2+162000，政府應(yīng)將每臺(tái)補(bǔ)\o"CurrentDocument"5 ) 5貼款額1定為100元，總收益有最大值，其最大值為162000元．說明：本題中有兩個(gè)函數(shù)圖像，在解題時(shí)要結(jié)合起來思考，不可顧此失彼.例2．凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營業(yè)時(shí)間，每間包房收包房費(fèi)100元時(shí)，包房便可全部租出；若每間包房收費(fèi)提高20元，則減少10間包房租出，若每間包房收費(fèi)再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種方法變化下去.（1）設(shè)每間包房收費(fèi)提高x（元），則每間包房的收入為工（元），但會(huì)減少y2間包房租出，請(qǐng)分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）為了投資少而利潤大，每間包房提高x（元）后，設(shè)酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元）請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出每間包房每天晚餐應(yīng)提高多少元可獲得最大包房費(fèi)收入，并說明理由.分析：（1）提價(jià)后每間包房的收入=原每間包房收包房費(fèi)+每間包房收包房提高費(fèi)，包房減少數(shù)=每間包房收包房提高費(fèi)數(shù)量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房總收入=提價(jià)后每間包房的收入乂每天包房租出的數(shù)量，得到二次函數(shù)后再求y取得最大值時(shí)x的值.解：(1)y—100+1,y——1；1 22(2)y―(100+1)?(100-11)y―—1(1-50)2+11250,因?yàn)樘醿r(jià)前包房費(fèi)總收入為100X100=10000,當(dāng)x=50時(shí)，可獲最大包房收入11250元，因?yàn)?1250>10000又因?yàn)槊看翁醿r(jià)為20元，所以每間包房晚餐應(yīng)提高40元或60元.說明：本題的答案有兩個(gè),但從“投資少而利潤大”的角度來看,因盡量少租出包房,所以每間包房晚餐應(yīng)提高60元應(yīng)該更好.例3．某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導(dǎo)該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售,對(duì)歷年市場行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價(jià)'（元）與銷售月份1（月）滿足關(guān)系式y(tǒng)=-3x+36,而其每千克成本y（元）與銷售月份》（月）滿足的函數(shù)關(guān)18 2系如圖所示．（1）試確定b、。的值；（2）求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤y（元）與銷售月份》（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）“五?一”之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大？最大利潤是多少？分析：（1）將點(diǎn)（3,25）,（4,24）代入求b、c的值；（2）y=y-y；（3）將（2）12中的二次函數(shù)配方為頂點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的增減性，在滿足“五?一”之前的前提下求最大值.(2)y(2)y=y-y=-3X+36-12813一一X2+—82二1C25=-x32+3b+c81,24=—x42+4b+c: 7b=-18c=291解：（1）由題意：,解得,181 2(3)y=-8x2+2x+62=-8(x2-12x+36)+42+62=-8(x-6)2+11.1???〃=--<0，二拋物線開口向下.在對(duì)稱軸x=6左側(cè)y隨x的增大而增大.由題意8x<5,所以在4月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大．最大利潤=-：（4-6）2+11=10：（元）.82說明：本題在x=6,即6月份時(shí)取得最大值，但題目要求在“五?一”之前，所以要將二次函數(shù)配方為頂點(diǎn)式,利用二次函數(shù)的增減性來求解.例4.某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)m=162-3x,30<x<54.（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商場要想每天獲得最大銷售利潤,每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

解：(1)由已知得每件商品的銷售利潤為(x-30)元，那么m件的銷售利潤為y=m(x-30)，又m=162—3x.y=(x—30)(162—3x)=—3x2+252x—4860,30<x<54(2)由(1)知對(duì)稱軸為x=42，位于x的范圍內(nèi)，另拋物線開口向下二.當(dāng)x=42時(shí)，y =—3x422+252x42—4860=432max?..當(dāng)每件商品的售價(jià)定為42元時(shí)每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元.二次函數(shù)求最值(面積最值問題)例1.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng).(1)運(yùn)動(dòng)第t秒時(shí)，4PBQ的面積y(cm2)是多少？(2)此時(shí)五邊形APQCD的面積是S(cm2),寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍．(3)t為何值時(shí)s最小，最小值時(shí)多少？答案：y=S=6x12—(—12+61)=12—61+72(0<t<6)⑶???S=(t—3)2+63???當(dāng)t=3時(shí)；S有最小值等于63例2.小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個(gè)1米寬的門(木質(zhì))．花圃的長與寬如何設(shè)計(jì)才能使花圃的面積最大？x解：設(shè)花圃的寬為x米，面積為S平方米則長為：32—4x+2=34—4x(米)貝人S=x(34—4x)=—4x2+34x17=—17=—4(x——)2289+一470<34-4%<10?17217〃 ° 一一一，，…,,.,—<6,AS與x的二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量x的范圍內(nèi)，4一、一17,而當(dāng)6<x<—內(nèi)，S隨X的增大而減小，17 289.?.當(dāng)x=6時(shí)，S=-4(6一 )2+——=60(平方米)max 4 4答：可設(shè)計(jì)成寬6米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大.例3.已知邊長為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE(如圖)，其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點(diǎn)P,使矩形PNDM有最大面積.解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x,NP=y,則矩形PNDM的面積S=xy(2<x<4)易知CN=4-x,EM=4-y.過點(diǎn)B作BH±PN于點(diǎn)H則有△AFBs^BHPAFBH24-xA=，即一= BFPH1y-31 1S=xy=-1x22+5x(2S=xy=-1x22+5x(2<x<4),10元，若將此種10元，若將此種此二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=5,A當(dāng)x<5時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大，對(duì)于2<x<4來說，當(dāng)x=4時(shí)，S =-1X42+5X4=12.最大2【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.例4.某人定制了一批地磚，每塊地磚(如圖(1)所示)是邊長為0.4米的正方形ABC。，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH.(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最?。拷猓?1)四邊形EFGH是正方形.圖(2)可以看作是由四塊圖