2023-2024學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高一下學(xué)期3月測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月測試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，且，所?故選：A.2.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，故．故選：D.3.若向量，滿足，，，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗向量，滿足，，，所以，可得：，即，所以.故選：C．4.在平行四邊形中，，設(shè)，，則向量（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B.6.已知向量，，若，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，又，，，解得.故選：A.7.已知向量，的夾角為，，與同向，則的最小值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，向量，的夾角為，與同向，與的夾角為，又，故．故選；D.8.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是奇函數(shù)；②在區(qū)間單調(diào)遞增；③是的周期；④的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗，，所以為非奇非偶函數(shù)，①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，令，，又時(shí)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則，當(dāng)時(shí)，，均為增函數(shù)，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以②正確；，所以是的周期，所以③正確；假設(shè)的最大值為2，取，必然，，則，與，矛盾，所以的最大值小于2，所以④錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對(duì)于B，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對(duì)于C，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對(duì)于D，明顯不存在實(shí)數(shù)使，則不共線，可以作為平面向量的基底.故選：ABC.10.若x，y滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)椋≧），由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗ACD〖解析〗由圖可知，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；由，知，因?yàn)?，所以，所以，，即，，又，所以，所以，?duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)y＝loga(2－ax)在[0，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________．〖答案〗(1，2)〖解析〗令，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，符合題意，需要在[0，1]上恒成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，綜上.故〖答案〗為：(1，2).13.已知向量滿足且，則在方向上的投影向量為__________.〖答案〗〖解析〗∵，且，則，解得，故在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其邊長為2，，則，所以，由，得，解得其中，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知向量，若，求.（2）已知，的夾角為60°，若，求的值.解：（1），由可得，解得，則，，.（2）由可得，化簡得，即，化簡得，解得16.已知函數(shù)且．（1）求函數(shù)的定義域；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）依題意，即，所以即，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?），令，則，，易知二次函數(shù)的圖像開口向下，對(duì)稱軸為直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，假設(shè)存在滿足題意的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，解得（舍去），綜上，存在實(shí)數(shù)時(shí)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2．17.已知向量，，函數(shù)，先將的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，得到的圖象.（1）求的最小正周期；（2）若，求的值域；（3）若，，，試求的最小值.解：（1），.（2），，，.（3）由圖象變換得，；設(shè)，，，，，；，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí).．18.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)．在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會(huì)生活，是名種民俗活動(dòng)的重要組成部分，傳承視覺形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會(huì)認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣．現(xiàn)有一張矩形卡片，對(duì)角線長為（為常數(shù)），從中裁出一個(gè)內(nèi)接正方形紙片，使得點(diǎn)，分別，上，設(shè)，矩形紙片的面積為，正方形紙片的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，求正方形紙片的邊長（結(jié)果用表示）；（2）當(dāng)變化時(shí)，求的最大值及對(duì)應(yīng)的值．解：（1）設(shè)正方形的邊長為，則，，則，，，即，整理得到，當(dāng)時(shí)，.（2），，，則，，則，在上單調(diào)遞減，故，故的最大值為，此時(shí)，，故.19.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).（1）類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:_____________.（只寫出即可，不要求證明）；（2），不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，試比較與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解：（1）.（2）依題意，，不等式，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，于是，，因此，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，從而，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3），，依題意，，，當(dāng)時(shí)，，，即，于是，而，因此，當(dāng)時(shí)，，則，，即，而，因此，于是，，所以.河南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月測試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，且，所?故選：A.2.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，故．故選：D.3.若向量，滿足，，，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗向量，滿足，，，所以，可得：，即，所以.故選：C．4.在平行四邊形中，，設(shè)，，則向量（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，因此，則，所以.故選：B.6.已知向量，，若，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，又，，，解得.故選：A.7.已知向量，的夾角為，，與同向，則的最小值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，向量，的夾角為，與同向，與的夾角為，又，故．故選；D.8.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是奇函數(shù)；②在區(qū)間單調(diào)遞增；③是的周期；④的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗，，所以為非奇非偶函數(shù)，①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，令，，又時(shí)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則，當(dāng)時(shí)，，均為增函數(shù)，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以②正確；，所以是的周期，所以③正確；假設(shè)的最大值為2，取，必然，，則，與，矛盾，所以的最大值小于2，所以④錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對(duì)于B，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對(duì)于C，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對(duì)于D，明顯不存在實(shí)數(shù)使，則不共線，可以作為平面向量的基底.故選：ABC.10.若x，y滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)椋≧），由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗ACD〖解析〗由圖可知，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；由，知，因?yàn)?，所以，所以，，即，，又，所以，所以，?duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)y＝loga(2－ax)在[0，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________．〖答案〗(1，2)〖解析〗令，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，符合題意，需要在[0，1]上恒成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，綜上.故〖答案〗為：(1，2).13.已知向量滿足且，則在方向上的投影向量為__________.〖答案〗〖解析〗∵，且，則，解得，故在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其邊長為2，，則，所以，由，得，解得其中，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知向量，若，求.（2）已知，的夾角為60°，若，求的值.解：（1），由可得，解得，則，，.（2）由可得，化簡得，即，化簡得，解得16.已知函數(shù)且．（1）求函數(shù)的定義域；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）依題意，即，所以即，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?），令，則，，易知二次函數(shù)的圖像開口向下，對(duì)稱軸為直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，假設(shè)存在滿足題意的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，解得（舍去），綜上，存在實(shí)數(shù)時(shí)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2．17.已知向量，，函數(shù)，先將的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，得到的圖象.（1）求的最小正周期；（2）若，求的值域；（3）若，，，試求的最小值.解：（1），.（2），，，.（3）由圖象變換得，；設(shè)，，，，，；，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí).．18.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)．在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交