2023-2024學(xué)年山東省臨沂市高二上學(xué)期期末學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3山東省臨沂市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的一個(gè)方向向量為，則的傾斜角為（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，且，所以.故選：B2.已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且，用表示，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選：D3.已知，若點(diǎn)A,B,C共線，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由題意可知，，即，解得：.故選：B4.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由焦半徑公式可得，解得，故拋物線，故，當(dāng)時(shí)，，直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，，直線的斜率為，綜上，直線的斜率為.故選：D5.中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰:“陰陽之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂,遂千百五二十歲”，即1遂為1520歲.某療養(yǎng)中心恰有57人，他們的年齡(都為正整數(shù))依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為三遂，則最年輕者的年齡為（）A.52 B.54 C.58 D.60〖答案〗A〖解析〗將他們年齡從小到大依次排列為，所以，，解得.故選：A.6.已知點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段AB相交，則與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離 C.相交或相切 D.相切或相離〖答案〗D〖解析〗直線的斜率為，，直線經(jīng)過點(diǎn)且與線段相交，直線的斜率的范圍為,,，直線的方程為，即，由圓，可得圓心，，可知圓心在直線的右側(cè)，且圓心的直線的方程的距離為，直線方程為，即，由圓，可得圓心，，圓心的直線的方程的距離為，故直線與圓相切或相離．故選：D．7.一個(gè)小球作簡諧振動，其運(yùn)動方程為，其中(單位:)是小球相對于平衡點(diǎn)的位移，(單位:)為運(yùn)動時(shí)間，則小球的瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大時(shí)，（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)瞬時(shí)速度最大，,所以時(shí)，此時(shí)瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大，故選：C8.已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B（不重合），且A,B在以點(diǎn)為圓心的圓上，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗聯(lián)立，得；聯(lián)立，得；不妨設(shè)，，則線段中點(diǎn)為，由題意可知，，整理為，所以雙曲線為等軸雙曲線，離心率.故選：B二、選擇題:本共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗，所以A錯(cuò)誤；，所以B正確；，所以C正確；，所以D錯(cuò)誤.故選：BC10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為，滿足，且且，則（）A.是等差數(shù)列 B.時(shí)，的最大值為26C.若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由題意，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，故，故A正確；對于B，令，解得，故B正確；對于C，若，則，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則，故D正確.故選：ABD.11.已知曲線的方程是.則（）A.若是雙曲線，則或B.若，則表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.若，則的離心率為D.若是離心率為的雙曲線，則的焦點(diǎn)到其漸近線距離為1〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，若是雙曲線，則，解得，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，，則，所以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B正確；C選項(xiàng)，若，則，則，的離心率為，C正確；D選項(xiàng)，若是離心率為的雙曲線，，故，解得，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，焦點(diǎn)到其漸近線距離為，D正確.故選：BCD12.如圖,在棱長為2的正方體中，M,N分別為棱的中點(diǎn)，則（）A. B.點(diǎn)到平面的距離為C.平面與平面的夾角為 D.直線與平面所成的角為〖答案〗BC〖解析〗如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，由，可知與不平行，故A錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角為，故C正確；設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與互相垂直，則____________.〖答案〗〖解析〗由題意得，解得.故〖答案〗為：14.已知空間向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)是____________.〖答案〗〖解析〗，，，故在上的投影向量的坐標(biāo).故〖答案〗為：15.已知橢圓的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，則的斜率為____________.〖答案〗〖解析〗由題意知橢圓的離心率為，故，，設(shè)，由題意知l的斜率存在，則，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為，直線的斜率，由，兩式相減得，即得，即，故，故〖答案〗為：16.已知數(shù)列中，，若函數(shù)導(dǎo)數(shù)為，則____________.〖答案〗64〖解析〗因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)橐矟M足，所以.令，則，，所以.故〖答案〗為：64.四、解答題:本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的值;（2）若過點(diǎn)的直線與曲線相切，求的方程.解：（1）由題可得，由的斜率為1，得，即.（2）由(1)知，，設(shè)切點(diǎn)為，則，又直線過點(diǎn)，整理得，，直線的方程為，即.18.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為.由,得,,解得,由,得,解得,的通項(xiàng)公式為.（2）,，①，②①-②得，，.19.已知以點(diǎn)為圓心的圓與圓相外切.（1）求圓的方程;（2）若直線與圓相交于，求的最小值及此時(shí)的方程.解：（1）由已知得圓的圓心坐標(biāo)為,半徑，圓的半徑，圓的方程為；（2）由已知得直線過定點(diǎn)，，在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，弦最小，此時(shí)，又，，當(dāng)最小時(shí)，，，直線的方程為，即.20.如圖，在直三棱柱中，是AB的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）在線段上找一點(diǎn)，使得平面;（2）在（1）的條件下，求PQ與平面的距離.解：（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)，則，若平面，則，從而，即，解得，，當(dāng)為線段上靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，平面;（2）由(1)知，，到平面的距離為.21.已知為等差數(shù)列，，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，整理得，解得；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，上式也成立；.22.歐幾里德生活的時(shí)期，人們就發(fā)現(xiàn)橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點(diǎn).現(xiàn)有橢圓，長軸長為，從的左焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線，經(jīng)內(nèi)壁上一點(diǎn)反射后恰好與軸垂直，且.（1）求的方程;（2）設(shè)點(diǎn)，若斜率不為0的直線與交于點(diǎn)均異于點(diǎn)，且在以MN為直徑的圓上，求到距離的最大值.解：（1）不妨設(shè)是的右焦點(diǎn),則軸,又,,不妨設(shè)點(diǎn),則,又,的方程為.（2）設(shè),直線的方程為,由，整理得,則故,點(diǎn)在以MN為直徑的圓上,，，,,即,整理得:,,或,當(dāng)時(shí),直線,過定點(diǎn),易知點(diǎn)在橢圓內(nèi),當(dāng)時(shí),直線,過定點(diǎn),此時(shí)定點(diǎn)為點(diǎn)，兩點(diǎn)中的一個(gè)與點(diǎn)重合,所以舍去,直線方程:,且直線恒過定點(diǎn)點(diǎn)到的距離最大值為.山東省臨沂市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的一個(gè)方向向量為，則的傾斜角為（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，且，所以.故選：B2.已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且，用表示，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗故選：D3.已知，若點(diǎn)A,B,C共線，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由題意可知，，即，解得：.故選：B4.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由焦半徑公式可得，解得，故拋物線，故，當(dāng)時(shí)，，直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，，直線的斜率為，綜上，直線的斜率為.故選：D5.中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰:“陰陽之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂,遂千百五二十歲”，即1遂為1520歲.某療養(yǎng)中心恰有57人，他們的年齡(都為正整數(shù))依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為三遂，則最年輕者的年齡為（）A.52 B.54 C.58 D.60〖答案〗A〖解析〗將他們年齡從小到大依次排列為，所以，，解得.故選：A.6.已知點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段AB相交，則與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離 C.相交或相切 D.相切或相離〖答案〗D〖解析〗直線的斜率為，，直線經(jīng)過點(diǎn)且與線段相交，直線的斜率的范圍為,,，直線的方程為，即，由圓，可得圓心，，可知圓心在直線的右側(cè)，且圓心的直線的方程的距離為，直線方程為，即，由圓，可得圓心，，圓心的直線的方程的距離為，故直線與圓相切或相離．故選：D．7.一個(gè)小球作簡諧振動，其運(yùn)動方程為，其中(單位:)是小球相對于平衡點(diǎn)的位移，(單位:)為運(yùn)動時(shí)間，則小球的瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大時(shí)，（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)瞬時(shí)速度最大，,所以時(shí)，此時(shí)瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大，故選：C8.已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B（不重合），且A,B在以點(diǎn)為圓心的圓上，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗聯(lián)立，得；聯(lián)立，得；不妨設(shè)，，則線段中點(diǎn)為，由題意可知，，整理為，所以雙曲線為等軸雙曲線，離心率.故選：B二、選擇題:本共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗，所以A錯(cuò)誤；，所以B正確；，所以C正確；，所以D錯(cuò)誤.故選：BC10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為，滿足，且且，則（）A.是等差數(shù)列 B.時(shí)，的最大值為26C.若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由題意，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，故，故A正確；對于B，令，解得，故B正確；對于C，若，則，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則，故D正確.故選：ABD.11.已知曲線的方程是.則（）A.若是雙曲線，則或B.若，則表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.若，則的離心率為D.若是離心率為的雙曲線，則的焦點(diǎn)到其漸近線距離為1〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，若是雙曲線，則，解得，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，，則，所以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B正確；C選項(xiàng)，若，則，則，的離心率為，C正確；D選項(xiàng)，若是離心率為的雙曲線，，故，解得，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，焦點(diǎn)到其漸近線距離為，D正確.故選：BCD12.如圖,在棱長為2的正方體中，M,N分別為棱的中點(diǎn)，則（）A. B.點(diǎn)到平面的距離為C.平面與平面的夾角為 D.直線與平面所成的角為〖答案〗BC〖解析〗如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，由，可知與不平行，故A錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角為，故C正確；設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與互相垂直，則____________.〖答案〗〖解析〗由題意得，解得.故〖答案〗為：14.已知空間向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)是____________.〖答案〗〖解析〗，，，故在上的投影向量的坐標(biāo).故〖答案〗為：15.已知橢圓的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，則的斜率為____________.〖答案〗〖解析〗由題意知橢圓的離心率為，故，，設(shè)，由題意知l的斜率存在，則，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為，直線的斜率，由，兩式相減得，即得，即，故，故〖答案〗為：16.已知數(shù)列中，，若函數(shù)導(dǎo)數(shù)為，則____________.〖答案〗64〖解析〗因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)橐矟M足，所以.令，則，，所以.故〖答案〗為：64.四、解答題:本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的值;（2）若過點(diǎn)的直線與曲線相切，求的方程.解：（1）由題可得，由的斜率為1，得，即.（2）由(1)知，，設(shè)切點(diǎn)為，則，又直線過點(diǎn)，整理得，，直線的方程為，即.18.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為.由,得,,解得,由,得,解得,的通項(xiàng)公式為.（2）,，①，②①-②得，，.19.已知以點(diǎn)為圓心的圓與圓相外切.（1）求圓的方程;（2）若直線與圓相交于，求的最小值及此時(shí)的方程.解：（1）由已知得圓的圓