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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山東省泰安市2024屆高三下學(xué)期一輪檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.拋物線的準(zhǔn)線方程是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知拋物線,所以,故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選:A.2.已知集合,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得,所以集合,又集合,所以,故選:D.3.在平面內(nèi),是兩個(gè)定點(diǎn),是動(dòng)點(diǎn),若,則點(diǎn)的軌跡為()A.橢圓 B.物物線 C.直線 D.圓〖答案〗D〖解析〗設(shè)點(diǎn),點(diǎn),則,.由可得:,即.所以點(diǎn)的軌跡為圓.故選:D4.若,則()A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由,得,即,即,所以,所以,則故選:C.5.在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù),且的圖象可能是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)過的定點(diǎn)分別是,當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知分別單調(diào)遞減、單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減,對(duì)比選項(xiàng)可知,只有B符合題意.故選:B.6.已知非零向量,滿足,若,則與的夾角為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,所以,則,又,則,所以,又,則與的夾角為.故選:.7.已知函數(shù),,,若的最小值為,且,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?,,且的最小值為,所以,即,又,所以,所以,又,所以,即,因?yàn)?,所以,所以,令,,解得,,所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:B.8.已知是雙曲線的右焦點(diǎn),是左支上一點(diǎn),,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,由雙曲線定義知,,的周長(zhǎng)為,由于是定值,要使的周長(zhǎng)最小,則最小,即、、共線,,,直線的方程為,即代入整理得,解得或(舍),所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知復(fù)數(shù),則下列說法正確的是()A.若,則B.若,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.若,則D.若,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則直線(為原點(diǎn))斜率的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A,設(shè),則,若,則,則,所以,故A正確;對(duì)于B,若,則,所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,設(shè),由,可得,則,即,則,故C正確;對(duì)于D,設(shè),則,若,則,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,設(shè)過原點(diǎn)與圓相切的直線為,即,則圓心到切線的距離,解得,所以直線(為原點(diǎn))斜率的取值范圍為,故D正確.故選:ACD10.下列說法中正確的是()A.一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14B.某中學(xué)有高中生3500人,初中生1500人,為了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況.用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的樣本,則抽取的高中生人數(shù)為70C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,若方差,則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)A,,故第60百分位數(shù)為第6和第7位數(shù)的均值,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,由題抽取的高中生抽取的人數(shù)為,故B正確;對(duì)C,設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,由平均值性質(zhì)可知:樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,解得,故C正確;對(duì)D,由題意可知,解得或,則或,故D錯(cuò)誤.故選:BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且,若,則下列說法正確的是()A. B.有最大值C. D.函數(shù)是奇函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A中,令,可得,令,則,解得,所以A正確;對(duì)于B中,令,且,則,可得,若時(shí),時(shí),,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù);若時(shí),時(shí),,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),所以函數(shù)不一定有最大值,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C中,令,可得,即,所以,所以C正確;對(duì)于D中,令,可得,可得,即,所以函數(shù)是奇函數(shù),所以D正確;故選:ACD.三、填空題12.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15,則等于______.〖答案〗6〖解析〗根據(jù)題意,展開式的通項(xiàng)為,令,則故〖答案〗為6.13.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則_______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意,在中,,則,變形可得,則有,即,因?yàn)?,則.故〖答案〗為:.14.如圖,在水平放置底面直徑與高相等的圓柱內(nèi),放入三個(gè)半徑相等的實(shí)心小球(小球材質(zhì)密度),向圓柱內(nèi)注滿水,水面剛好淹沒小球,若圓柱底面半徑為,則球的體積為_______,圓柱的側(cè)面積與球的表面積的比值為_______.〖答案〗.〖解析〗根據(jù)題意,作出圓柱的軸截面圖,連接,過作,垂足為,如下所示:設(shè)小球半徑為,圓柱的底面圓半徑為,根據(jù)題意可得:,,,在三角形中,由勾股定理可得,即,整理得,又,則,又,則;故球A的體積為;圓柱的側(cè)面積,球的表面積,則;故〖答案〗為:,.四、解答題15.如圖,在底面為菱形的直四棱柱中,,分別是的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求平面與平面所成夾角的大?。?)證明:取中點(diǎn),連接因?yàn)榈酌鏋榱庑危?,所以以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,(2)解:設(shè)平面的法向量為又所以即取,則為平面的法向量,設(shè)平面與平面的夾角為,則平面與平面的夾角為16.某學(xué)校為了緩解學(xué)生緊張的復(fù)習(xí)生活,決定舉行一次游戲活動(dòng),游戲規(guī)則為:甲箱子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球,乙箱子里裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱,摸出一個(gè)紅球記2分,摸出一個(gè)黑球記分,得分在5分以上(含5分)則獲獎(jiǎng).(1)求在1次游戲中,獲獎(jiǎng)的概率;(2)求在1次游戲中,得分X的分布列及均值.解:(1)設(shè)“在1次游戲中摸出個(gè)紅球”為事件,設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件,則,且互斥,,,所以在1次游戲中,獲獎(jiǎng)的概率.(2)依題意,所有可能取值為,由(1)知,,,,,,所以的分布列為:258數(shù)學(xué)期望17.已知圓與軸交于點(diǎn),且經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn),橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)若點(diǎn)A為橢圓上一點(diǎn),且在軸上方,為A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),直線與交于點(diǎn)的面積為,求直線的斜率.解:(1)圓過,,又圓過,,又,橢圓的方程為.(2)設(shè),則,由題知且,則,,由,解得,,又,,又,,直線的斜率或.18.已知函數(shù).(1)若,曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,證明:;(2)若對(duì)任意的且,函數(shù),證明:函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).證明:(1),,,,設(shè),則,設(shè),則,單調(diào)遞增,又,存在使得即,,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,;(2),,在上單調(diào)遞增,又設(shè),則,令,解得,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即,,又,,存在,使得,又上單調(diào)遞增,函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).19.已知各項(xiàng)均不為0的遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為,且(,且).(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)定義首項(xiàng)為2且公比大于1的等比數(shù)列為“-數(shù)列”.證明:①對(duì)任意且,存在“-數(shù)列”,使得成立;②當(dāng)且時(shí),不存在“-數(shù)列”,使得對(duì)任意正整數(shù)成立.(1)解:,各項(xiàng)均不為0且遞增,,,,,化簡(jiǎn)得,,,,,,為等差數(shù)列,,,;(2)證明:①設(shè)“G-數(shù)列”公比為,且,由題意,只需證存在對(duì)且成立,即成立,設(shè),則,令,解得,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,,,存在,使得對(duì)任意且成立,經(jīng)檢驗(yàn),對(duì)任意且均成立,對(duì)任意且,存在“G-數(shù)列”使得成立;②由①知,若成立,則成立,當(dāng)時(shí),取得,取得,由,得,不存在,當(dāng)且時(shí),不存在“G-數(shù)列”使得對(duì)任意正整數(shù)成立.山東省泰安市2024屆高三下學(xué)期一輪檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.拋物線的準(zhǔn)線方程是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知拋物線,所以,故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選:A.2.已知集合,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得,所以集合,又集合,所以,故選:D.3.在平面內(nèi),是兩個(gè)定點(diǎn),是動(dòng)點(diǎn),若,則點(diǎn)的軌跡為()A.橢圓 B.物物線 C.直線 D.圓〖答案〗D〖解析〗設(shè)點(diǎn),點(diǎn),則,.由可得:,即.所以點(diǎn)的軌跡為圓.故選:D4.若,則()A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由,得,即,即,所以,所以,則故選:C.5.在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù),且的圖象可能是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)過的定點(diǎn)分別是,當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知分別單調(diào)遞減、單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減,對(duì)比選項(xiàng)可知,只有B符合題意.故選:B.6.已知非零向量,滿足,若,則與的夾角為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,所以,則,又,則,所以,又,則與的夾角為.故選:.7.已知函數(shù),,,若的最小值為,且,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?,,且的最小值為,所以,即,又,所以,所以,又,所以,即,因?yàn)?,所以,所以,令,,解得,,所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:B.8.已知是雙曲線的右焦點(diǎn),是左支上一點(diǎn),,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,由雙曲線定義知,,的周長(zhǎng)為,由于是定值,要使的周長(zhǎng)最小,則最小,即、、共線,,,直線的方程為,即代入整理得,解得或(舍),所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知復(fù)數(shù),則下列說法正確的是()A.若,則B.若,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.若,則D.若,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則直線(為原點(diǎn))斜率的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A,設(shè),則,若,則,則,所以,故A正確;對(duì)于B,若,則,所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,設(shè),由,可得,則,即,則,故C正確;對(duì)于D,設(shè),則,若,則,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,設(shè)過原點(diǎn)與圓相切的直線為,即,則圓心到切線的距離,解得,所以直線(為原點(diǎn))斜率的取值范圍為,故D正確.故選:ACD10.下列說法中正確的是()A.一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14B.某中學(xué)有高中生3500人,初中生1500人,為了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況.用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的樣本,則抽取的高中生人數(shù)為70C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,若方差,則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)A,,故第60百分位數(shù)為第6和第7位數(shù)的均值,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,由題抽取的高中生抽取的人數(shù)為,故B正確;對(duì)C,設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,由平均值性質(zhì)可知:樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,解得,故C正確;對(duì)D,由題意可知,解得或,則或,故D錯(cuò)誤.故選:BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且,若,則下列說法正確的是()A. B.有最大值C. D.函數(shù)是奇函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A中,令,可得,令,則,解得,所以A正確;對(duì)于B中,令,且,則,可得,若時(shí),時(shí),,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù);若時(shí),時(shí),,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),所以函數(shù)不一定有最大值,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C中,令,可得,即,所以,所以C正確;對(duì)于D中,令,可得,可得,即,所以函數(shù)是奇函數(shù),所以D正確;故選:ACD.三、填空題12.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15,則等于______.〖答案〗6〖解析〗根據(jù)題意,展開式的通項(xiàng)為,令,則故〖答案〗為6.13.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則_______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意,在中,,則,變形可得,則有,即,因?yàn)?,則.故〖答案〗為:.14.如圖,在水平放置底面直徑與高相等的圓柱內(nèi),放入三個(gè)半徑相等的實(shí)心小球(小球材質(zhì)密度),向圓柱內(nèi)注滿水,水面剛好淹沒小球,若圓柱底面半徑為,則球的體積為_______,圓柱的側(cè)面積與球的表面積的比值為_______.〖答案〗.〖解析〗根據(jù)題意,作出圓柱的軸截面圖,連接,過作,垂足為,如下所示:設(shè)小球半徑為,圓柱的底面圓半徑為,根據(jù)題意可得:,,,在三角形中,由勾股定理可得,即,整理得,又,則,又,則;故球A的體積為;圓柱的側(cè)面積,球的表面積,則;故〖答案〗為:,.四、解答題15.如圖,在底面為菱形的直四棱柱中,,分別是的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求平面與平面所成夾角的大?。?)證明:取中點(diǎn),連接因?yàn)榈酌鏋榱庑?,,所以以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,(2)解:設(shè)平面的法向量為又所以即取,則為平面的法向量,設(shè)平面與平面的夾角為,則平面與平面的夾角為16.某學(xué)校為了緩解學(xué)生緊張的復(fù)習(xí)生活,決定舉行一次游戲活動(dòng),游戲規(guī)則為:甲箱子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球,乙箱子里裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱,摸出一個(gè)紅球記2分,摸出一個(gè)黑球記分,得分在5分以上(含5分)則獲獎(jiǎng).(1)求在1次游戲中,獲獎(jiǎng)的概率;(2)求在1次游戲中,得分X的分布列及均值.解:(1)設(shè)“在1次游戲中摸出個(gè)紅球”為事件,設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件,則,且互斥,,,所以在1次游戲中,獲獎(jiǎng)的概率.(2)依題意,所有可能取值為,由(1)知,,,,,,所以的分布列為:258數(shù)學(xué)期望17.已知圓與軸交于點(diǎn),且經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn),橢圓的離心率為
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