2020-2021學年新教材高中數學單元素養(yǎng)評價（二）（含解析）新人教A版必修第一冊

單元素養(yǎng)評價（二）

（第三章）

（120分鐘150分）

一、單選題（每小題5分，共40分）

1.函數f(x)4-2%的定義域為（)

A.[-1,2]B.(-1,2]

C.[2,+8)D,[1,+8)

rx+1>0>

【解析】選B.由L。、八得T〈xW2.

(4-2%>0,

x<1>］貝匹層:）的值為

2.設函數f(x)=

+x-2>X>

315

A.-1B.一C.—D.4

416

【解析】選C.因為f（2）=2,2-2=4,

所以人)"沙◎*

3.已矢口f(x)=x^+Zx,貝(Jf(a)+f(-a)=()

A.0B.-1C.1D.2

【解析】選A.f(x)=x'+2x是R上的奇函數,故f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.

2

4.（2020?南京高一檢測）塞函數y=%a~2a-3是偶函數，且在（0,+8）上單調遞減，則整數a

的值是（）

A.0或1B.1或2C.1D.2

2

【解析】選C.因為幕函數y=%a-2a-3是偶函數，且在（0,+8）上單調遞減,

a2-2a-3<0>

aeZ>

a2-2a-3是偶數.

解得Ia=l.

5.函數f(x)=ax3+bx+4(a,b不為零)，Kf(5)=10,則f(-5)等于()

A.-10B.-2C.-6D.14

【解析】選B.因為f(5)=125a+5b+4=10,

所以125a+5b=6,

所以f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2.

6.已知函數+X)=X>3+3,則￡閉=()

\X)X1

A.8B.9C.10D.11

【解析】選C.因為+L'x，二;+3=(1++1,所以f(x)=x?+l(xW-2或x22),

Ixjx2VxJ

所以f(3)=32+l=10.

7.如果函數f(x)=x、bx+c對于任意實數t都有f(2+t)=f(2-t),那么()

A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(l)<f(2)<f(4)

C.f(4)<f(2)<f(l)D.f(2)<f(4)<f(1)

【解析】選A.由f(2+t)=f(2-t),可知拋物線的對稱軸是直線x=2,再由二次函數的單調性，

可得f(2)〈f(l)<f(4).

:

8.定義在R上的偶函數f(x)滿足對任意的xi,x2e[0,+8)(XJWXZ),有^------------\0,且

x2-x1

f(2)=0,則不等式xf(x)〈0的解集是()

A.(-2,2)

B.(-2,0)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(0,2)

D.(-8,-2)U(2,+8)

【解析】選B因為'—Jr〈0對任意的xi,x2e［0,+8)(xiWxz)恒成立,

*2~巧

所以f(x)在［0,+8)上單調遞減，又f(2)=0,

所以當x〉2時，f(x)<0；當0Wx<2時，f(x)>0,

又f(x)是偶函數，所以當x〈-2時，f(x)<0；

當-2〈x〈0時，f(x)〉0,

所以xf(x)〈。的解集為(-2,0)U(2,+8).

二、多選題(每小題5分，共20分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0

分)

9.定義運算ab=ff'°之?’，設函數f(x)=l2工則下列命題正確的有()

3m<b>

兒門父的值域為［1,+OO)

B.f(x)的值域為(0,1］

C.不等式f(x+l)〈f(2x)成立的范圍是(-8,0)

D.不等式f(x+l)<f(2x)成立的范圍是(0,+8)

X

>x<

【解析】選AC.根據題意知f(x)=<

11,%>0,

f(x)的圖象為

所以f(x)的值域為［1,+8),A對;

因為f(x+l)〈f(2x),

x+1>2x>…2x<0>

所以

x+l<0或x+1>0>

x<1>(X<0>

所以

x<-1叫］>-L

所以xWT或T〈x〈0,

所以x〈0,C對.

10.關于函數f(x)=J-12+2%+3的結論正確的是()

A.定義域、值域分別是11,3],[0,+8)

B.單調增區(qū)間是(-8,1]

C.定義域、值域分別是11,3],[0,2]

D.單調增區(qū)間是[-1,1]

【解析】選CD.由-x2+2x+320可得，X2-2X-3<0,解可得，TWxW3,即函數的定義域為歸1,

3],

由二次函數的性質可知，y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4G[0,4],所以函數的值域為[0,2],結合二

次函數的性質可知，函數在[T,1]上單調遞增，在[1,3]上單調遞減.

11.函數f(x)是定義在R上的奇函數，下列命題中是正確命題的是()

A.f(0)=0

B.若f(x)在[0,+8)上有最小值-1,則f(x)在(-8,0]上有最大值1

C.若f(x)在[1,+8)上為增函數，則f(x)在(-8,-1]上為減函數

D.若x>0時，f(x)=X2-2X,則x<0時，f(x)=-X2-2X

【解析】選ABD.f(x)為R上的奇函數，則f(0)=0,A正確；其圖象關于原點對稱，且在對稱

區(qū)間上具有相同的單調性，最值相反且互為相反數，所以B正確，C不正確；對于D,x<0時,

-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=X2+2X,又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x"2x,即D正確.

%.關于函數f(x)=|vTXT-i|,有下列結論，正確的結論是()

A.函數是偶函數

B.函數在(-8,-1)上遞減

C.函數在(0,1)上遞增

D.函數在(-3,3)上的最大值為1

【解析】選ABD.函數滿足f(-x)=f(x),是偶函數；

作出函數圖象，可知在(-8,-1),(0,1)上遞減，

(-1,0),(1,+8)上遞增，

當xG(-3,3)時,f(x)1M?=f(0)=1.

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.已知函數f(x),g(x)分別由表給出，則g(f(2))=.

故g(f(2))=l.

答案：1

14.已知f(x)為R上的減函數，則滿足f(})>f(l)的實數x的取值范圍為.

【解析】因為f(x)在R上是減函數，

1

所以一<1,解得X>1或x<0.

X

答案：(-8,0)U(1,+8)

15.已知函數f(x)是奇函數,當Xe(-8,0)時,f(x)=x2+mx,若f(2)=-3,則m的值為.

【解析】因為f(x)是奇函數，

所以f(-2)=-f(2)=3,

?1

所以(-2)--2m=3,解得m=-.

2

答案：L

2

16.符號[x]表示不超過x的最大整數，如[3.14]=3,「1.6]=-2,定義函數：f(x)=x-[x],則

下列說法正確的是.

①f(-0.8)=0.2；

②當lWx<2時，f(x)=x-l；

③函數f(x)的定義域為R,值域為[0,1)；

④函數f(x)是增函數，奇函數.

【解析】f(x)=x-[x],則f(-0.8)=-0.8-(T)=0.2,①正確,

當TWx<2時,f(x)=x-[x]=xT,②正確，

函數f(x)的定義域為R,值域為[0,1),③正確，

當OWxCl時，f(x)=x-[x]=x；

當lWx<2時，f(x)=x-l,

當x=0.5時，f(0.5)=0.5；

當x=L5時，f(l.5)=0.5,

則f(0.5)=f(1.5),即有f(x)不為增函數，

由f(-1.5)=0.5,f(1.5)=0.5,可得f(-L5)=f(1.5),即有f(x)不為奇函數，④錯誤.

答案：①②③

四、解答題(共70分)

17.(10分)已知一次函數f(x)是R上的增函數，g(x)=f(x)(x+m),且f(f(x))=16x+5.

(1)求f(x)的解析式.

(2)若g(x)在(1,+8)上單調遞增，求實數m的取值范圍.

【解析】(1)由題意設f(x)=ax+b(a>0).從而f(f(x))(ax+b)+b-a2x+ab+jb=16x+5,

a2—16>“aa=4>a=-4>

所以37,L解得或，5(不合題意，舍去).

i.ab+o=5>b=1b=--

3

所以f(x)的解析式為f(x)=4x+l.

4m+l

(2)g(x)=f(x)(x+m)=(4x+l)(x+m)=4x2+(4m+l)x+m,g(x)圖象的對稱軸為直線x=------.

8

4m+l91

若g(x)在(1,+8)上單調遞增，則-------W1,解得mN一,所以實數m的取值范圍為

84

+L>-2<%<0>

18.(12分)已知f(x)=(2x+1,0<X<2,

1%2-Lx>2.

(1)若f(a)=4,且a〉0,求實數a的值.

⑵求f(-m的值.

【解析】(1)若0〈a〈2,則f(a)=2a+l=4,

3

解得a=一，滿足0<a<2；

2

若a22,貝!]fS)=/—1=4,

解得a=J5或a=-V5(舍去)，

所以a=-或a=V5.

2

(2)由題意，(一

M3+l>f()2X12.

a517

19.(12分)已知奇函數f(x)=px+-+r(p,q,r為常數),且滿足f(l)=一,f(2)=一.

X24

⑴求函數f(x)的解析式.

⑵試判斷函數f(x)在區(qū)間(0,：上的單調性，并用函數單調性的定義進行證明.

(3)當xG(0>:時，f(x)N2-m恒成立，求實數m的取值范圍.

【解析】(1)因為f(x)為奇函數，所以f(-x)=-f(x),

55

—>p+q=二

所以r=0.又<2即《

17.Q17

f⑵2Qp4--=—

4「24

(P=2>]

解得〈1所以f(x)=2x+—.

q=_)2x

I"2

1/1'

(2)f(x)=2x+一在區(qū)間(O-上單調遞減.

2x\21

111

證明如下：設任意的兩個實數xi,X2,且滿足OCxKxzW-,則f(xi)-f(X2)=2(xi-X2)+--------

22xx2X2

x(>

X2"l1^4x1x2

=2(xi-x2)+,

2XX

2%IX2X2

,1

因為O<X1<X2W-,

2

1

所以X2-xi〉O,0<xiX2〈一，1-4XIX>0,

42

所以f(xi)-f(x2)>0,

所以f⑺3十1元在區(qū)間(/6鼻1"］上單調遞減.

⑶由⑵知f(x)=2x+』■在區(qū)間(0>W上的最小值是f0)=2.

2xk2]\27

要使當xG(O>|時，f(x)22-m恒成立，

只需當xe(0>-時，f(x)

即222-m,解得m\0即實數m的取值范圍為［0,+°°).

20.(12分)大氣中的溫度隨著高度的上升而降低，根據實測的結果，上升到12km為止，溫度

的降低大體上與升高的距離成正比，在12km以上溫度一定，保持在-55°C.

(1)當地球表面大氣的溫度是a℃時，在xkm的上空為y℃,求a、x、y間的函數關系式.

⑵問當地表的溫度是29°C時，3km上空的溫度是多少？

【解析】(1)由題意知，可設y-a=kx(0WxW12,k<0),即y=a+kx.依題意，當x=12時，y=-55,

口,55+a

所以-55=a+12k,解得k=------.

12

所以當0WxW12時，y=a---(55+a)(0WxW12).

12

又當x>12時，y=-55.

所以所求的函數關系式為

ZY

a——(55+a)<x<12,

12

-55>x>12.

3

(2)當a=29,x=3時，y=29-(55+29)=8,

12

即3km上空的溫度為8℃.

21.(12分)已知函數f(x)是定義在［-1,1］上的奇函數，且f(1)=1,對任意a,be［-l,1］,

a+bWO時有------——>0成立.

a+b

1

⑴解不等式f(x+-)〈f(『2x).

2

(2)若f(x)Wn］2-2ani+l對任意［T,1］恒成立，求實數m的取值范圍.

【解析】(1)任取X】，x2e［-l,1］,Xi<X2,

+r"小)

f(X1)-f(X2)=f(X1)+f(-X2)=-f----------------?(X1-X2)

)