幾何建模第七章

幾何建模第七章幾何建模：將解析幾何的方法用于數(shù)學(xué)建模過程的某一個或幾個環(huán)節(jié)。

不同應(yīng)用領(lǐng)域，使用幾何模型的角度、深度和知識點不同，所以很難將幾何建模進行分類。下面根據(jù)自己的理解做個粗糙的分類，僅供參考：1.利用幾何形狀建立幾何模型進行求解和優(yōu)化(，椅子在不平地面上放置問題，血管優(yōu)化問題)。2.物體的幾何變換，包括三維和二維(2008年A題)3.借助幾何模型求解（消費者滿意度）4.物體的幾何形狀定義與描述。

1.幾何建模示例3椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是

的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對任意

,f(

),g(

)至少一個為0數(shù)學(xué)問題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);

對任意，f(

)?g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗造的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因為f(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子

和f(

),g(

)的確定有的只需2D圖形。特點是：描述簡單、傳遞快速、節(jié)省空間，但沒有真實感。實際設(shè)計構(gòu)形時，思維中先有真實的幾何形狀/實物模型，再用視圖形式表達設(shè)計結(jié)果。4.物體的幾何形狀定義與描述幾何建?！杂嬎銠C能夠表示的方式，對實體進行準確定義（即以一定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式對所定義的幾何實體加以描述），在計算機內(nèi)部構(gòu)造出實體的幾何模型。幾何模型整數(shù)維模型分數(shù)維模型

正則體模型非正則體模型

以歐氏幾何方程表示的模型——用分形幾何方法描述對象幾何特性，以過程式模擬對象的模型表示形體的兩大模型

4.1

幾何模型基礎(chǔ)

一、表示形體的坐標系造型坐標系MC（ModelingCoordinateSystem）右手直角坐標系。對于定義的每個形體或圖素都有各自的坐標原點和長度單位，這樣可以方便形體和圖素的定義。是局部坐標系。坐標系造型坐標系用戶坐標系觀察坐標系規(guī)范設(shè)備坐標系設(shè)備坐標系直角坐標系仿射坐標系圓柱坐標系球坐標系極坐標系二、幾何元素的定義

1.點

點是0維幾何元素,如:端點、交點、切點和孤立點等。1）控制點：用來確定曲線和曲面的位置與形狀，而相應(yīng)曲線和曲面不一定經(jīng)過的點。2）型值點：用來確定曲線和曲面的位置與形狀，而相應(yīng)曲線和曲面一定經(jīng)過的點。3）插值點：為了提供曲線和曲面的輸出精度，在型值點之間插入一系列的點。

邊是1維幾何元素,由端點定界，是鄰面交界線，具有方向。2.邊

是2維幾何元素,是形體上一個有限、非零的區(qū)域，由一個外環(huán)和若干個內(nèi)環(huán)界定其范圍。面有方向，用其外法矢方向作為該面的正向。3.面

4.環(huán)

是有序、有向邊組成的面的封閉邊界。環(huán)中的邊不能相交，相鄰兩條邊共享一個端點。確定面的外界的環(huán)稱為外環(huán)，逆時針方向排序。而把確定面中內(nèi)孔邊界的環(huán)稱為內(nèi)環(huán)，順時針方向排序。左側(cè)總在面內(nèi)，右側(cè)總在面外。3維幾何元素，由封閉表面圍成的空間。其邊界是有限面的交集。5.實體的定義內(nèi)點邊界點取內(nèi)點運算i

取閉包運算C

正則運算

r

幾何體需要用正則集合的概念表示。正則集合的有關(guān)術(shù)語：為什么需要正則集合運算？——集合運算式構(gòu)造復(fù)雜物體的有效方法——普通的集合運算會產(chǎn)生無效物體三、正則集合運算正則集合運算的定義正則并（∪*）正則交（∩*）正則差（－*）∪∩－四、特征表示用一組特征參數(shù)表示一組類似的物體特征包括形狀特征、材料特征等適用于工業(yè)上標準件的表示4.2圖形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)計算機所描述的形體包含兩種信息（圖形信息、非圖形信息），如何將它們合理地組織起來？這就是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)問題。一、幾何模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)目的：節(jié)省存儲空間，提高存儲和處理速度，所以要有效組織。

基本要求：(1)可描述幾何/拓撲/特性信息(2)便于動態(tài)操作(增刪、修改等)(3)時空要求常用的有數(shù)組、鏈表、樹、翼邊結(jié)構(gòu)等1.單鏈三表結(jié)構(gòu)

單鏈用于表達模型幾何元素（面、邊、點）單向連接關(guān)系，是單向查詢。

雙鏈用于表達模型幾何元素（體、面、點）雙向連接關(guān)系，可雙向查詢。2.雙鏈三表結(jié)構(gòu)記錄以邊為核心的一組鄰接信息，描述一條邊與其相鄰的兩個頂點、四條鄰邊、兩個鄰面拓撲信息，方便查找各元素間的鄰接關(guān)系。如遍歷面上所有邊、所有面。3.翼邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲：邊與頂點、邊與面、邊與邊鄰接關(guān)系。

運算：邊與邊求交、邊與面求交、刪除舊邊、增加新邊、生成新面環(huán)等。4.3形體的數(shù)據(jù)模型

一、線框模型

由一組頂點和邊（直邊、曲邊）構(gòu)成表示對象的三維幾何模型。線框模型就是使用該物體的棱邊來表示其形體特征。E1E2E3E4E5E6V1V2V3V4V1V2V3V4V5V6E1E2E3E4V7V8E5E6E7E8特征：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：兩表結(jié)構(gòu)頂點表：幾何信息（頂點號Vi（xi,yi,zi））

邊表：拓撲信息（邊號Ei——端點號VjVJ+1）四面體的線模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表邊頂點二、表面模型

由一組頂點、邊和面構(gòu)成的三維幾何模型。是在線框模型基礎(chǔ)上增加面的信息，相當于在燈籠骨架外蒙上一張外皮。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：三表結(jié)構(gòu)頂點表——邊表——面表Vi(xi,yi,zi)Ei(Vj,VJ+1)Fi(Ej,EK,El,…,En)拓撲信息幾何信息特征：六面體的面模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表V1V2V3V4V5V6E1E2E3E4V7V8E5E6E7E8構(gòu)造方法

1）整體構(gòu)造法（模線法）使用張量積的參數(shù)樣條曲面/Coons曲面/Bezier曲面/B-Spline曲面等構(gòu)造方法。張量積曲面輸入n

m個型值點，分布在規(guī)則的矩形參數(shù)域上。

uwm點n個切面例如：（1）機身主體和座艙罩兩部分，采用兩張張量積曲面構(gòu)成。

（2）形狀復(fù)雜的曲面：方法：

（1）定義脊椎線（2）截面上定義輪廓線（截面在局部坐標系中反映真實輪廓外形）輪廓線脊椎線2）離散構(gòu)造法該方法構(gòu)造的物體表面基本上是由平面、圓柱面、球面和過渡圓角組成。從線框模型著手，先交互繪制各個面的輪廓線，再在封閉的內(nèi)外輪廓線間填補平面或規(guī)則曲面。

P1P3P2C1C2C3S平面P1、P2、P3的骨架均為直線段柱面C1、C2、C3的骨架為圓弧、直線段球面S的骨架為三圓弧段若遇到線框骨架是由解析曲線（圓錐曲線）與自由曲線共同構(gòu)成的，則蒙上曲面將變得困難。方法：用三次參數(shù)樣條分段逼近各條邊界曲線，后用統(tǒng)一的方法構(gòu)造參數(shù)曲面片。特點：①具有更多的幾何信息、拓撲信息，故能比較完整地定義三維立體的表面，且表面更復(fù)雜。②可實現(xiàn)自動消隱線、生成明暗圖、計算表面積，產(chǎn)生表面數(shù)控加工走刀軌跡、生成有限之分析中的網(wǎng)格劃分。

不足：描述的僅是實體外表面，無法表示其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，難以確定物體的立體屬性。例如：是一個實心物體？還是一個殼體？所以給物體的質(zhì)量特性分析帶來問題。

三、實體模型

由一組頂點、邊、表面和體積構(gòu)成的三維幾何模型。是對對象的邊界和內(nèi)部均作定義的模型。其表面完全封閉、且有向。（面模型的面可以不封閉，面的上、下表面都可以有效）實體模型構(gòu)造的基本思想：將形狀規(guī)則、簡單的幾何體，通過集合運算組成所需要的復(fù)雜體。4.4實體的表示

一、基本體素引用法

（PurePrimitiveInstancing）基本體素：可通過函數(shù)或參數(shù)描述的形體方式：比例變換引用參數(shù)指定引用缺點：難于構(gòu)造復(fù)雜形體二、空間位置枚舉法

（SpatialOccupancyEnumeration）原理：用占有等分單位立方體的情況表示形體。占有形式：full，partial，empty用三維數(shù)組C[I][J][K]表示物體，數(shù)組中的元素與單位小立方體一一對應(yīng)

當C[I][j][k]=1時，表示對應(yīng)的小立方體被物體占據(jù)當C[I][j][k]=0時，表示對應(yīng)的小立方體沒有被物體占據(jù)缺點：占用大量的存儲空間，如1024*1024*1024=1Gbits；沒有邊界信息，不適于圖形顯示；對物體進行幾何變換困難，如非90度的旋轉(zhuǎn)變換；是物體的非精確表示；唯一性不好，易改變拓撲關(guān)系。優(yōu)點：可以表示任何物體；容易實現(xiàn)物體間的集合運算；容易計算物體的整體性質(zhì)，如體積等。三、四叉樹和八叉樹表示法空間位置枚舉法的改進逐步均分時遇全空或全滿單元不再分用層次式結(jié)構(gòu)代替規(guī)則排列的單元陣列數(shù)據(jù)量小八叉樹表示

對空間位置枚舉表示的空間分割方法作了改進：均勻分割自適應(yīng)分割

八叉樹建立過程八叉樹的根節(jié)點對應(yīng)整個物體空間；如果它完全被物體占據(jù)，將該節(jié)點標記為F，算法結(jié)束；如果它內(nèi)部沒有物體，將該節(jié)點標記為E，算法結(jié)束；如果它被物體部分占據(jù)，將該節(jié)點標記為P，并將它分割成8個子立方體，對每一個子立方體進行同樣的處理。優(yōu)點：可以表示任何物體容易實現(xiàn)物體建的集合運算容易計算物體的整體性質(zhì)，如體積等較空間位置枚舉表示占用的存貯空間少缺點：沒有邊界信息，不適于圖形顯示對物體進行幾何變換困難是物體的非精確表示四、單元分解法

CellularDecomposition

對空間位置枚舉表示的空間分割方法作了改進：單一體素多種體素原理：復(fù)雜形體分解成一些簡單形體的組合

優(yōu)點：表示簡單容易實現(xiàn)幾何變換基本體素可以按需選擇，表示范圍較廣可以精確表示物體缺點：分解方法不唯一，故表示方法不唯一物體的有效性難以保證三種空間分割方法的比較：空間位置枚舉表示——同樣大小立方體粘合在一起表示物體八叉樹表示——不同大小的立方體粘合在一起表示物體單元分解表示——多種體素粘合在一起表示物體五、掃描表示法

Sweeping將物體A沿著軌跡P推移得到物體B，稱B為sweep體。兩種基本類型：平行掃描旋轉(zhuǎn)掃描3）在旋轉(zhuǎn)或平移時作線性或非線性比例變換。4）旋轉(zhuǎn)掃描時，旋轉(zhuǎn)軸本身位置和方向作變化。復(fù)雜情況：1）某一區(qū)域沿一曲線移動，如一圓盤的中心沿一指定的曲線移動，移動時其法線方向始終與曲線的切線方向一致。2）某一區(qū)域繞一軸旋轉(zhuǎn)的同時作平行于旋轉(zhuǎn)軸方向的平移，或垂直于旋轉(zhuǎn)軸方向的平移。

平移sweep——將一個二維區(qū)域沿著一個矢量方向推移旋轉(zhuǎn)sweep——將一個二維區(qū)域繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周廣義sweep

任意物體沿著任意軌跡推移

推移過程中物體可以變形優(yōu)點：表示簡單、直觀適合做圖形輸入手段缺點作幾何變換困難對幾何運算不封閉六、結(jié)構(gòu)實體幾何法

ConstructiveSolidGeometry-CSG原理：基本體素經(jīng)布爾操作獲得復(fù)雜形體操作：交、并、差基本體素定義：參數(shù)法將物體表示成一棵二叉樹，稱為CSG樹U-U-T1T2T3T4葉節(jié)點——基本體素，如立方體、圓柱體等中間節(jié)點——正則集合運算優(yōu)點：表示簡單、直觀是物體的構(gòu)造方法，可用作圖形輸入手段容易計算物體的整體性質(zhì)物體的有效性自動得到保證缺點：表示不唯一不能直接用于顯示求交計算麻煩七、邊界表示法

BoundaryRepresentation一個實體通過它的曲面片或平面多邊形的集合來表示。平面多邊形、曲面片稱為物體邊界一個實體的邊界表示必須滿足一定的條件：定義一個實體的邊界的面片的個數(shù)有限任意一個面片都是它的邊界的子集。所有面片的并集定義該實體的邊界一個面片是它的擴展曲面或平面的一部分。歐拉公式：V-e+f=2歐拉公式是必要條件廣義歐拉公式：V-e+f-r=2(s-h)r:多面體表面上孔的個數(shù)s:相互分離的多面體數(shù)h:貫穿多面體的孔洞個數(shù)

優(yōu)點：精確表示物體表示能力強幾何變換容易適于顯示處理

缺點：表示復(fù)雜有效性難以保證集合運算復(fù)雜八、特征造型

FeatureModeling實體模型雖描述了物體幾何信息與拓撲信息，但明顯缺乏工程含義，無法提取和識別工程信息。對于一個產(chǎn)品，設(shè)計人員不僅關(guān)心其結(jié)構(gòu)形狀、公稱尺寸，還關(guān)心其公差、表面粗糙度、材料性能、技術(shù)要求等非幾何信息，它們也是加工零件所需信息的組成部分。但這些卻在實體造型中不能充分描述，后續(xù)系統(tǒng)需要重新輸入產(chǎn)品設(shè)計信息。特征造型方法：面向整個產(chǎn)品設(shè)計過程和生產(chǎn)制造過程，不僅包含與生產(chǎn)有關(guān)的信息，而且還能描述這些信息之間的關(guān)系。通常，建立在實體造型基礎(chǔ)上，在已有幾何信息上附加，如“形位公差、表面粗糙度、材料性能”等制造信息。

特征造型提供了符合設(shè)計人員思維的人-機交互語言。特征定義

設(shè)計、加工、裝配過程中關(guān)于零件形狀和其它屬性的信息。特征分類從生命周期看：設(shè)計特征、加工特征、分析特征、公差及檢測特征、裝配體特征。從功能上看：形狀特征、精度特征、材料特征、技術(shù)特征。從設(shè)計方法上看：通道特征、擠壓特征、提拉特征、過渡特征、表面特征、形變特征。4.5分形幾何方法

Fracta