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文檔簡介
2023-2024學(xué)年山東省濟南市市中區(qū)實驗中學(xué)高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),,則的值為()A. B.C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.3.已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A.16,13 B.14.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),,若對任意,總存在,使得成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.6.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.7.如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.9.已知集合,,若AB,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知正三角形的邊長為2,為邊的中點,、分別為邊、上的動點,并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.若函數(shù)函數(shù)只有1個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.正項等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.54二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若,則的取值范圍是__14.在長方體中,,,,為的中點,則點到平面的距離是______.15.如圖,養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理,在線段之間有一觀察站點,到直線,的距離分別為8百米、1百米,則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.16.設(shè)變量,,滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.18.(12分)在①;②;③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中的橫線上,并解答相應(yīng)的問題.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足________________,,求的面積.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于、兩點,求的面積.20.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.21.(12分)每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?!保?Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸?!钡母怕剩?Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?!钡娜藬?shù),求的分布列及.22.(10分)已知橢圓:的四個頂點圍成的四邊形的面積為,原點到直線的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點,是否存在過的直線,使與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過橢圓的左頂點?若存在,求出的方程:若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用倍角公式求得的值,利用誘導(dǎo)公式求得的值,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值,進而求得的值,最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題,涉及到的知識點有誘導(dǎo)公式,正切倍角公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式,正切差角公式,屬于基礎(chǔ)題目.2、B【解析】
利用復(fù)數(shù)乘法運算化簡,由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算,考查復(fù)數(shù)模的計算,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
將fx整理為3sinωx+π3,根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當(dāng)x∈0,π時,又f0=3sin由fx在0,π上的值域為32解得:ω∈本題正確選項:A【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題,關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限,從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.4、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為,所以.因為,所以,因為,為增函數(shù),所以所以,故選:A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.5、C【解析】
將函數(shù)解析式化簡,并求得,根據(jù)當(dāng)時可得的值域;由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域,結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系,即可求得的取值范圍.【詳解】依題意,則,當(dāng)時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,;而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,則只需,故,解得,故實數(shù)的取值范圍為.故選:C.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.6、B【解析】
易得,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.7、A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.9、D【解析】
先化簡,再根據(jù),且AB求解.【詳解】因為,又因為,且AB,所以.故選:D【點睛】本題主要考查集合的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線,設(shè)出點,通過,找出與的關(guān)系.通過數(shù)量積的坐標(biāo)表示,將表示成與的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識,求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點,BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設(shè),則直線,設(shè)點,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數(shù)的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用.11、C【解析】
轉(zhuǎn)化有1個零點為與的圖象有1個交點,求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時的斜率,數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點.記,則過原點作的切線,設(shè)切點為,則切線方程為,又切線過原點,即,將,代入解得.所以切線斜率為,所以或.故選:C【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.12、C【解析】
由等差數(shù)列通項公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數(shù)列的前項和,,,解得或(舍),,故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項和的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì),即可求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時,,,當(dāng)時,,所以,故的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)范圍,還涉及對數(shù)和指數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用等體積法求解點到平面的距離【詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設(shè)點到平面的距離為,解得故答案為:【點睛】此題考查求點到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點.15、【解析】
建系,將直線用方程表示出來,再用參數(shù)表示出線段的長度,最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點,所在直線分別作為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則.設(shè)直線,即,則,所以,所以,,則,則,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減,當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,最短,此時.故答案為:【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用,屬于中檔題.16、7【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設(shè)z=F(x,y)=2x+3y,將直線l:z=2x+3y進行平移,當(dāng)l經(jīng)過點A時,目標(biāo)函數(shù)z達到最小值∴z最小值=F(2,1)=7三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一:(1)當(dāng)時,,當(dāng),,當(dāng)時,,所以解法二:(1)如圖當(dāng)時,解法三:(1)當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立.當(dāng)時解法一:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,因為成立,所以原不等式成立.解法二:(2)因為,,,所以,,又因為,所以,所以,原不等式得證.補充:解法三:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,由柯西不等式得:成立,所以原不等式成立.【點睛】本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解,不等式的證明,絕對值三角不等式,基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力.18、橫線處任填一個都可以,面積為.【解析】
無論選哪一個,都先由正弦定理化邊為角后,由誘導(dǎo)公式,展開后,可求得角,再由余弦定理求得,從而易求得三角形面積.【詳解】在橫線上填寫“”.解:由正弦定理,得.由,得.由,得.所以.又(若,則這與矛盾),所以.又,得.由余弦定理及,得,即.將代入,解得.所以.在橫線上填寫“”.解:由及正弦定理,得.又,所以有.因為,所以.從而有.又,所以由余弦定理及,得即.將代入,解得.所以.在橫線上填寫“”解:由正弦定理,得.由,得,所以由二倍角公式,得.由,得,所以.所以,即.由余弦定理及,得.即.將代入,解得.所以.【點睛】本題考查三角形面積公式,考查正弦定理、余弦定理,兩角和的正弦公式等,正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換,求三角形面積時,①若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值),結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積,代入公式求面積;②若已知三角形的三邊,可先求其一個角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面積,總之,結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.19、(1),;(2).【解析】
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以,結(jié)合可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)計算出直線截圓所得弦長,并計算出原點到直線的距離,利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1)由得,故直線的普通方程是.由,得,代入公式得,得,故曲線的直角坐標(biāo)方程是;(2)因為曲線的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為,則弦長.又到直線的距離為,所以.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線與圓中三角形面積的計算,考查計算能力,屬于中等題.20、(1),;(2),,.【解析】
(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.21、(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人,可以先計算其逆事件,即人都認(rèn)為不很幸福的概率,再用減去人都認(rèn)為不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量,列出分布列,根據(jù)公式求出期望即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?!钡?,則表示人都認(rèn)為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量,的可能的取值為;;;所以隨機變量的分布列為:所以的期望【點睛】本題考查了離散型隨機變量的概率分布列,數(shù)學(xué)期望的求解,概率分布中的二項分布問題,屬于常規(guī)題型.22、(1);(2)存在,且方程為或.【解析】
(1)依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組,求得a,b,進而可得到橢圓方程;(2)聯(lián)立直線和橢圓得到,要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點,則,結(jié)合韋達定理可得到參數(shù)值.【詳解】(1)直線的一般方程為.依題意,解得,故橢圓的方程式為.(2)假若存在這樣的直線,當(dāng)斜率不存在時,以為直徑的圓顯
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