實際問題與二次函數(shù)教案

科目數(shù)學(xué)課題26.3實際問題與二次函數(shù)(2)授課教師單位教材版本人教版課型新授課教材分析本節(jié)內(nèi)容為人教版九年級下冊第26章《二次函數(shù)》中第3節(jié)實際問題與二次函數(shù)內(nèi)容，重點研究建立合適的坐標(biāo)系解決實際問題。培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力，根據(jù)實際要求合理建立坐標(biāo)系，設(shè)出適當(dāng)?shù)慕馕鍪叫问剑瑥亩行Ы鉀Q問題的能力。學(xué)情分析學(xué)生在掌握了二次函數(shù)的幾種解析式設(shè)法，并能夠進行有效計算的前提下進行。教學(xué)目標(biāo).復(fù)習(xí)鞏固用待定系數(shù)法由已知圖象上三個點的坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式。.使學(xué)生掌握已知拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸等條件求出函數(shù)的關(guān)系式。教學(xué)重點根據(jù)不同條件選擇不同的方法求二次函數(shù)的關(guān)系式是教學(xué)的重點教學(xué)難點根據(jù)不同條件選擇不同的方法求二次函數(shù)的關(guān)系式解決實際問題教法學(xué)法教師引導(dǎo)合作探究教學(xué)準(zhǔn)備幻燈片教學(xué)過程師生活動設(shè)計意圖一、復(fù)習(xí)鞏固.如何用待定系數(shù)法求已知三點坐標(biāo)的二次函數(shù)關(guān)系式？.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(0,1),B(1,3),C(—1,1)。(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式，(2)畫出二次函數(shù)的圖象； (3)說出它的頂點坐標(biāo)和對稱軸。答案：(1)y=x2+x+l,(2)圖略，⑶對稱軸x=一1,頂點坐標(biāo)為(一1,3)。2 2 4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸，頂點坐標(biāo)各是什么？[對稱軸是直線x=一；,頂點坐標(biāo)是(一；，4aCb)]2a 2a 4a二、創(chuàng)設(shè)問題情境如圖，某建筑的屋頂設(shè)計成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。它的拱高AB為4m,拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢？復(fù)習(xí)舊識鞏固基礎(chǔ)分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再寫出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)這個關(guān)系式進行計算，放樣畫圖。如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點。的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。這時，屋頂?shù)臋M截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為： y=ax分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再寫出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)這個關(guān)系式進行計算，放樣畫圖。如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點。的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。這時，屋頂?shù)臋M截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為： y=ax2(a<0) ⑴因為y軸垂直平分AB,并交AB于點C,所以CB=AB=2(cm),2根據(jù)創(chuàng)設(shè)的實際問題情境，引導(dǎo)學(xué)生合理選擇拋物線解析式形式，讓學(xué)生充分理解解析式的靈活設(shè)法。又CO=0.8m,所以點B的坐標(biāo)為(2,—0.8)。因為點B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(1),得一0.8=aX22 所以a=—0.2因此，所求函數(shù)關(guān)系式是y=-0.2x2。請同學(xué)們根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系式，畫出模板的輪廓線。三、引申拓展問題1：能不能以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系？讓學(xué)生了解建立直角坐標(biāo)系的方法不是唯一的，以A點為原點，AB所在的直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系也是可行的。問題2,若以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂直為y軸，建立直角坐標(biāo)系，你能求出其函數(shù)關(guān)系式嗎？分析：按此方法建立直角坐標(biāo)系，則A點坐標(biāo)為(0,0),B點坐標(biāo)為(4,0),OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC=CB,AC=2m,。點坐標(biāo)為(2；0.8)。即把問題轉(zhuǎn)化為：已知拋物線過(0,0)、(4,0)；(2,0.8)三點，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式。二次函數(shù)的一般形式是y=ax2+bx+c,求這個二次函數(shù)的關(guān)系式，跟以前學(xué)過求一次函數(shù)的關(guān)系式一樣，關(guān)鍵是確定。、6、c,已知三點在拋物線上，所以它的坐標(biāo)必須適合所求的函數(shù)關(guān)系式；可列出三個方程，解此方程組，求出三個待定系數(shù)。解：設(shè)所求的二次函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c。因為OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC=CB,AC=2m,拱高OC=0.8m,所以。點坐標(biāo)為(2,0.8),A點坐標(biāo)為(0,0),B點坐標(biāo)為(4,0)。由已知，函數(shù)的圖象過(0,0),可得c=0,又由于其圖象過學(xué)生在選擇不同的解析式形式的過程中，體驗著如何選擇最優(yōu)化解析式形式，這個思維優(yōu)化的過程很重要，讓學(xué)生深入體會(2,0.8)、(4,0),可得到，4a+2b=0.816+4b=0<解這個方程組，得a=所以，所求的二次函數(shù)的關(guān)系式為丫=Mix。問題3：根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系式，畫出模板的輪廓線，其圖象是否與前面所畫圖象相同？問題4：比較兩種建立直角坐標(biāo)系的方式，你認(rèn)為哪種建立直角坐標(biāo)系方式能使解決問題來得更簡便?為什么？（第一種建立直角坐標(biāo)系能使解決問題來得更簡便，這是因為所設(shè)函數(shù)關(guān)系式待定系數(shù)少，所求出的函數(shù)關(guān)系式簡單，相應(yīng)地作圖象也容易）四、課堂練習(xí)圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m時，水面寬度增加了多少？（學(xué)生討論，用不同的方法解決問題）教材中的例3,在有了前面例題的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以通過合作探究的方式自主完成。三種不同的解法讓學(xué)生體會模型構(gòu)建的過程，在函數(shù)問題中很重要2.已知一次函數(shù)當(dāng)x——3時，有最大值一1,且當(dāng)x—0時，y——3,求二次函數(shù)的關(guān)系式。解法1：設(shè)所求一次函數(shù)關(guān)系式為y—ax2+bx+c,因為圖象過點(0,3),所以c—3,又由于一次函數(shù)當(dāng)x——3時，有最大值一_b_0 _4”,\—2a——3 / <a—91,可以得到：19 . 解這個方程組，得：12a—b2 8 ——1 b--I4a 1 1b3所以，所求一次函數(shù)的關(guān)系式為y—4x2+|x+3。9 3解法2：所求一次函數(shù)關(guān)系式為y—a(x+h)2+k,依題意，得y—a(x+3)2—1因為一次函數(shù)圖象過點(0,3),所以有 3—a(0+3)2—1-, 4解得a—9所以，所求一次函數(shù)的關(guān)系為y—44/9(x+3)2—1,即y—4x29.|,.十x十3.3小結(jié)：讓學(xué)生討論、交流、歸納得到：已知一次函數(shù)的最大值或最小值，就是已知該函數(shù)頂點坐標(biāo)，應(yīng)用頂點式求解方便，用一般式求解計算量較大。3.已知一次函數(shù)y=x2+px+q的圖象的頂點坐標(biāo)是(5,—2),求一次函數(shù)關(guān)系式。PLIF簡解：依題意，得/ 解得：p——10,q—234q—p2I4一所以，所求一次函數(shù)的關(guān)系式是y—x2—10x+23。五、當(dāng)堂小結(jié)1,求一次函數(shù)的關(guān)系式，常見的有幾種類型？兩種類型：(1)一般式：y—ax2+bx+c(2)頂點式：y—a(x-h)2+k,其頂點是(h,k)2.如何確定一次函數(shù)的關(guān)系式？讓學(xué)生回顧、思考、交流，得出：關(guān)鍵是確定上述兩個式子中的待定系數(shù)，通常需要三個已知條件。在具體解題時，應(yīng)根據(jù)具體的已知條件，靈活選用合適的形式，運用待定系數(shù)法求解。六、課后作業(yè)：(隨機選擇).已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(一1,—3),與y軸交點為(0,—5),求一次函數(shù)的關(guān)系式。.函數(shù)y—x?+px+q的最小值是4,且當(dāng)x—2時，y—5,求p和q。.若拋物線y——x?+bx+c的最高點為(一1,—3),求b和鞏固配套練習(xí)，讓學(xué)生熟悉并掌握選取合適解析式一般形式的方法。對本節(jié)課內(nèi)容進行歸納和總結(jié)，使學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)化作業(yè)依據(jù)本節(jié)課學(xué)生實際學(xué)習(xí)情況選取，便于靈活和分層。

c。.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(0,1),B(—1,0),C(1,0),那么此函數(shù)的關(guān)系式是。如果y隨x的增大而減少，那么自變量x的變化范圍是。.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過A(0,—5),B(5,0)兩點，它的對稱軸為直線x=2,求這個二次函數(shù)的關(guān)系式。.如圖是拋物線拱橋，已知水位在AB位置時，水面寬4、M米，水位上升3米就達到警戒線CD,這時