2016年高三創(chuàng)新設(shè)計(jì)資料包（理科）教師資料：8章

第八章立體兒何最新考綱1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖；3.會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；4.會(huì)畫(huà)某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不做嚴(yán)格要求);5.了解球、柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多邊形.(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.(3)棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形旋轉(zhuǎn)體(1)圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.(2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到(4)球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.yy軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x圓柱圓錐圓臺(tái)S例=π(r?+r?)直棱柱正棱錐正棱臺(tái)球=2π,故選A.側(cè)視圖子俯視圖正視圖A.90cm2B.129c6cm,4cm,3cm,直三棱柱的底面是直角三角形，邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm,考點(diǎn)突破分類(lèi)講練，以例素法非安情彩PPT名師講解體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2),則俯視圖A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四邊形解析(1)(排除法)由正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體不可能是圓柱，排除選項(xiàng)C;又由俯視圖可知，該幾何體不可能是棱柱或棱臺(tái)，排除選項(xiàng)A,B,故選D.應(yīng)有OD=20D'=2×2V2故四邊形OABC是菱形.考點(diǎn)二空間幾何體的表面積(示，則該多面體的表面積為()正視圖側(cè)視圖A.21+√3正視圖側(cè)視圖俯視圖)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為()解析(1)由三視圖可知該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體從后面右上角和前面左下角分別截去一個(gè)小三棱錐后剩余的部分(如圖所示),其表面積為幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積.平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.(2)一個(gè)幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積為側(cè)花圖正視圖側(cè)花圖俯視圖等，均為a.?為2,幾何體的表面積是兩個(gè)半圓的面積、圓臺(tái)側(cè)面積的一半和軸截面的面積之和，故這個(gè)幾何體的表面積為考點(diǎn)三空間幾何體的體積中點(diǎn)，則三棱錐A-B?DC?的體積為()A.3)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()正視圖側(cè)視圖A.8-2πB.8-πD.又∵平面BB?C?C⊥平面ABC,AD⊥BC,ADC平面ABC,由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面BB?C?C,即AD為三棱錐A-B?DC?的底面B?DC?上的高.(2)直觀圖為棱長(zhǎng)為2的正方體割去兩個(gè)底面半徑為1白園柱，所以該幾何體規(guī)律方法(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解，其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.【訓(xùn)練3】(1)如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)棱AA?與側(cè)面BCC?B?的距離為2,側(cè)面BCC?B?的面積為4,此三棱柱ABC-A?B?C的體積為示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的體積等于()AB解析(1)(補(bǔ)形法)將三棱柱補(bǔ)成四棱柱，如圖所示.記A?到平面BCC?B?的距離為d,則d=2.四邊形(2)由三視圖可知該幾何體是一個(gè)直三棱柱，底面為直角三角形，高為12,如圖所示，其中AC=6,BC=8,∠ACB=90°,則AB=10.由題意知，當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時(shí)，該球的半徑最大.B.微型專(zhuān)題空間幾何體表面上的最值問(wèn)題所謂空間幾何體表面上的最值問(wèn)題，是指空間幾何體表面上的兩點(diǎn)之間的最小距離或某些點(diǎn)到某一個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最值問(wèn)題.將空間幾何體表面進(jìn)行展開(kāi)是化解該難點(diǎn)的主要方法，對(duì)于多面體可以把各個(gè)面按照一定的順序展開(kāi)到一個(gè)平面上，將旋轉(zhuǎn)體(主要是圓柱、圓錐、圓臺(tái))可以按照某條母線進(jìn)行側(cè)面展開(kāi)，這樣就把本來(lái)不在一個(gè)平面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面上的問(wèn)題，結(jié)合問(wèn)題的具體情況在平面上求解最值即可.【例4】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=3,BC=4,CC?=5,則沿著長(zhǎng)方體表面從A到C?的最短路線長(zhǎng)為點(diǎn)撥求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離，可以將幾何體的側(cè)面展開(kāi)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解答.解析在長(zhǎng)方體的表面上從A到C?有三種不同的展開(kāi)圖.(1)將平面ADD?A?繞著A?D?折起，得到的平面圖形如圖1所示.課堂總結(jié)反要?dú)w納，感情探升1.棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決.2.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開(kāi)圖形狀.1.臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行.2.同一物體放置的位置不同，所畫(huà)的三視圖可能不同.3.在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來(lái)，即“眼見(jiàn)為實(shí)、不見(jiàn)為虛”.在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的虛線.4.對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計(jì)算時(shí)不要多算也不要少算.5.在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.”(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2014·江西卷)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是解析由直觀圖可知，該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)截角三棱柱組成.從上往下看，外層輪廓線是一個(gè)矩形，矩形內(nèi)部有一條線段連接的兩個(gè)三角形.2.(2015·合肥質(zhì)量檢測(cè))某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為正視圖側(cè)視圖俯視圖A.12+4√2B.18+8√2C.28解析由三視圖可得該幾何體是平放的直三棱柱，該直三棱柱的底面是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形、側(cè)棱長(zhǎng)為4,所以表面積答案D所有棱長(zhǎng)均為1,且AA?⊥底面ABC,則三棱錐B?-ABCBB口解析三棱錐B?-ABC?的體積等于三棱錐A-B?BC?的體積，三棱錐A-B?BC,側(cè)視圖俯視圖解析由俯視圖可知，三棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.由側(cè)視圖可知，邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則A.6V2B.4√2解析如圖，設(shè)輔助正方體的棱長(zhǎng)為4,三視圖對(duì)應(yīng)的多面體為三棱錐A-BCD,最長(zhǎng)的棱為AD=①②③④是圖③;其在面ABB?A?與面DCC?D?上的正投影是圖②;其在面ABCD與面A?B?C?D?上的正投影也是②,故①④錯(cuò)誤.解析如圖，構(gòu)造正方體ANDM-FBEC.因?yàn)槿忮F解析如圖，構(gòu)造正方體ANDM-FBEC.因?yàn)槿忮FA-BCD的所有棱長(zhǎng)都為√2,所以正方體ANDM-FBEC的棱長(zhǎng)為1.所以該正方體的外接球的半徑易知三棱錐A-BCD的外接球就是正方體ANDM-FBEC的外接球，所以三棱錐A-BCD的外接球的半徑解析如圖，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h,△PAB的面積為S,則,V?-Ye-40o-5×>5×h-5答案為所以三棱錐A-BCD的外接球的表面積為三、解答題9.如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖.(3)求出該幾何體的體積.解(1)正六棱錐.(2)其側(cè)視圖如圖，其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的長(zhǎng)是俯視圖中的正六邊形對(duì)邊的距離，即BC=√3a,AD的長(zhǎng)是正∴該平面圖形的面積側(cè)視圖側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖正視圖一A?D?P的組合體.PD?.故所求幾何體的表面積能力提升題組正視圖正視圖俯視圖解析依題意，題中的幾何體是從一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)半球后所剩余的部分，其中該圓柱的底面半徑是1cm、高是3cm,該球的半徑是1cm,因此該幾何答案C=30°,則棱錐S-ABC的體積為A.3√3解析由題意知，如圖所示，在棱錐S-ABC中，△SAC,△SBC都是有一個(gè)角為30°的直角三角形，其中AB=答案C13.(2014·云南統(tǒng)一檢測(cè))已知球O的體積等于如果長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的最大值等于解析由球O的體積為設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、為50.14.如圖1,在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°,CD//AB,AB=4,AD=CD=2,將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖2所示.從而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC,平面ADCN平面ABC=AC,BCC平面ABC,∴BC⊥平面ACD.*積*第2講空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系(2)公理2:過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a'//a,b′//b,3.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況.(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.(1)梯形可以確定一個(gè)平面.(√)(2)圓心和圓上兩點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.(×)(3)已知a,b,c,d是四條直線，若a//b,b//c,c//d,則a//d.(√)(4)兩條直線a,b沒(méi)有公共點(diǎn)，則a與b是異面直線.(×)2.已知a,b是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與b()解析由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b//c,則a//b,與已知a,b為異面直線相矛盾.3.下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面②梯形可以確定一個(gè)平面③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合解析經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，∴①不正確；兩條平行線可以確定一個(gè)平面，∴②正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)或三個(gè)平面，∴③正確；命題④中沒(méi)有說(shuō)明三個(gè)交點(diǎn)是否共線，∴④不正確.4.(2014·廣東卷)若空間中四條兩兩不同的直線l?,l?,l?,l4,滿足l?⊥lz,l?⊥l?,l?⊥l?,則下列結(jié)論一定正確的是()答案考點(diǎn)突破分卷講練，以例速法F精PPT名師講解②若點(diǎn)A,B,C,D共面，點(diǎn)A,B,C,E共面，則A,B,C,D,E③若直線a,b共面，直線a,c共面，則直線b,c共面；那么正方體的過(guò)P,Q,R的截面圖形是()平面，這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線；②不正確，從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A,B,C,但是若A,B,C共線，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形四條邊可以不在同一個(gè)平面上，如空間四邊形.CB延長(zhǎng)線交于M,且QP反向延長(zhǎng)線與CD延長(zhǎng)線交于N,連接MR交BB?于E,連接PE,則PE,RE為截面與正方體的交線，同理連接NG交DD?于F,連接QF,FG,則QF,FG為截面與正方體的交線，規(guī)律方法(1)公理1是判斷一條直線是否在某個(gè)平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù).要能夠熟練用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言來(lái)表示公理.(2)畫(huà)幾何體的截面，關(guān)鍵是畫(huà)截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置.則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形的序號(hào)是①②③④①②③解析可證①中的四邊形PQRS為梯形；②中，如圖所示，取A?A和BC的中點(diǎn)分別為M,N,可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形；③中，可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P,Q,R,S四點(diǎn)不共面.考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系【例2】如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，④DE與MN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是.解析把正四面體的平面展開(kāi)圖還原.如圖所示，GH與EF為MN.規(guī)律方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.B.MN與AC垂直∴MN與A?B?不可能平行，故D錯(cuò)誤，選D.【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.規(guī)律方法求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類(lèi)型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移.分別是BC,AD的中點(diǎn).(1)若直線AB與CD所成的角為60°,則直線AB和MN所成的角為.(2)若直線AB⊥CD,則直線AB與MN所成的角為:法?但還可以有一種不錯(cuò)的方法：補(bǔ)形法.將該三椎錐放在長(zhǎng)方體中，不妨用這種方法試一試本題第(1)問(wèn)?解析(1)法—如圖，取AC的中點(diǎn)P,連所以∠MPN(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角.則∠MPN=60°或∠MPN=120°,若∠MPN=60°,因?yàn)镻M//AB,所以∠PMN(或其補(bǔ)角)是AB與MN所成的角.又因?yàn)锳B=CD,所以PM=PN,則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN=60°,即AB與MN所成的角為60°綜上直線AB和MN所成的角為60°或30°法二由AB=CD,可以把該三棱錐放在長(zhǎng)方體AA?BB?-連接A?B?交AB于O,所以A?B?||CD,即∠AOA?(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角.所以∠AOA?=60°或120°,由矩形AA?BB?的性質(zhì)可得∠BAA?=60°或30°所以直線AB和MN即AB與MN所成的角為45°課堂總結(jié)反患?xì)w納，感悟提升1.主要題型的解題方法平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上或選擇某兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)都在這條直線上.2.判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)B的直線是異面直線.(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面.3.求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解.[易錯(cuò)防范]1.正確理解異面直線“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”.2.不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線”條件.4.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角. 課時(shí)作業(yè)分屈訓(xùn)練，提升能力基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.若空間三條直線a,b,c(建議用時(shí)：40分鐘)滿足a⊥b,b⊥c,則直線a與c()A.一定平行B.一定相交C.一定是異面直線D.平行、相交、是異面直線都有可能能相交.N分別是對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn)，則MN與()當(dāng)異面直線為EG,MN所在直線時(shí)，它們?cè)诘酌鍭BCD內(nèi)的射影為兩條相交直線；當(dāng)異面直線為DE,GF所在直線時(shí)，它們?cè)诘酌鍭BCD內(nèi)的射影分別為AD,BC,是兩條平行直線；當(dāng)異面直線為DE,BF所在直線時(shí)，它們?cè)诘酌鍭BCD內(nèi)的射影分別為AD和點(diǎn)B,是一條直線和一個(gè)點(diǎn)，故選C.6.平面a,β相交，在a,β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定 個(gè)平面.平面；否則確定四個(gè)平面.7.如果兩條異面直線稱(chēng)為“一對(duì)”,那么在正方體的十二條棱中共有異面直線 解析如圖所示，與AB異面的直線有B?C?,CC,A?D?,DD?四條，因?yàn)楦骼饩哂胁煌奈恢?，且正方體共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線①直線AM與CC?是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB?是異面直線；④直線AM與DD?是異面直線.其中正確的結(jié)論為解析A,M,C?三點(diǎn)共面，且在平面AD?C?B中，但C平面AD?C?B,因此平面MBB?,因此直線BN與MB?是異面直線，③正確.垂垂答案③④三、解答題9.如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,BCBEG,H分別為FA,FD的中點(diǎn).(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么?(1)證明由已知FG=GA,FH=HD,可得GHi∴GH繡BC,∴四邊形BCHG為平行四邊形.∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF//BG.又D∈FH,∴C,D,F,E四點(diǎn)共面.10.如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn).(1)求四棱錐O-ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大小.解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面積S=4,所以，四棱錐O-ABCD的體積(2)如圖，連接AC,設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E,連接ME,DE,則∠EMD(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知，故異面直線OC與MD所成角的正切值能力提升題組B,C,D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中A.AB//CDC.AB⊥CDD.AB與CD所成的角為60°解析如圖，把展開(kāi)圖中的各正方形按圖1所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖2所示的直觀圖，可見(jiàn)選項(xiàng)A,B,C不形，∴∠ABE=60°,∴正確選項(xiàng)為D.答案D12.(2014·北京西城區(qū)模擬)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F,G分別C.EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D.EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上解析依題意，可得EH//BD,FGBD,故EH//FG,所以E,F,G,H共,故EH≠FG,所以EFGH是梯形，EF與GH,必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上.同理，點(diǎn)M在平面ACD上，即點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，而AC是這兩個(gè)平面的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上.則CD與PA所成角的余弦值為解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，故CD//AB,則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.利用余弦定理可知cos∠PAB=答案AB和AA?的中點(diǎn).求證：(1)E,C,D?,F四點(diǎn)共面；(2)CE,D?F,DA三線共點(diǎn).∴EF//BA?.又A?B//D?C,∴EF//CD?,∴E,C,D?,F四點(diǎn)共面.∴CE與D?F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P,則由P∈CE,CEC平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD?Ai.又平面ABCD∩平面ADD?A?=DA,∴P∈直線DA.∴CE,D?F,DA三線共點(diǎn).第3講直線、平面平行的判定與性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何的有關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、面面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理；2.能運(yùn)用線面平行、面面平行的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題. 1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a//a,C結(jié)論2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形B食B條件結(jié)論1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)瞳精彩PPT展示(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.(×)(2)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線.(×)(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(×)2.若直線mc平面a,則條件甲：“直線l//a”是條件乙：“1//m”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.已知m,n表示兩條不同直線，a表示平面.下列說(shuō)法正確的是()則n//a或nca,故C錯(cuò)誤；若m//a,m⊥n,則n與a可能平行、相交或ncα,故D錯(cuò)誤.因此選B.4.過(guò)三棱柱ABC-A?B?C?任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB?A?平行的直線共有條.解析各中點(diǎn)連線如圖，只有面EFGH與面ABB?A?平行，在四邊形EFGH中有6條符合題意.DD?的中點(diǎn)，則BD?與平面AEC的位置關(guān)系為所以EO為△BDD?的中位線，則BD?EO,而B(niǎo)D?4平面ACE,E所以BD?平面ACE.答案平行考點(diǎn)突破分類(lèi)講練，以例來(lái)法留情彩PPT名師講解面，下列命題中正確的是()B.若a//β,mca,ncβ,,則mllnA.若m//a,m//n,則nllaC.若a//β,m//a,m/ln,則n/lβ面；C中，若a//β,仍然滿足m⊥n,mCa,ncβ,故C錯(cuò)誤；故D正確.n4β,∴nllβ,若m/lβ,過(guò)m作平面y交平面β于直線l,則m//l,又n//m,形結(jié)合，畫(huà)圖或結(jié)合正方體等有關(guān)模型來(lái)解題.C.bca或b//aD.b與a相交或bca或b//a(2)給出下列關(guān)于互不相同的直線l,m,n和平面a,β,γ的三個(gè)命題：①若1與m為異面直線，ca,mcβ,③若a∩β=l,β∩y=m,y解析(1)可以構(gòu)造一草圖來(lái)表示位置關(guān)系，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)b與a相交或bca或b//a時(shí)，均滿足直線a⊥b,且直線a//平面α的情況，故選D.(2)①中，當(dāng)α與β相交時(shí)，也能存在符合題意的l,m;②中，1與m也可能【例2】如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，平面BEC.深度思考證明線面平行的方法常用線面平行的判定定理，但有些問(wèn)題可先證面面平行，本題就可用這兩種方法，你不妨試一試.又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,ECc平面EOC,所以BD⊥平面EOC,又EOC平面EOC,因此BD⊥EO.又O為BD的中點(diǎn)，所以BE=DE.(2)法一如圖，取AB的中點(diǎn)N,連接DM,DN,MN.所以MN//BE,又MN4平面BEC,BEC平面BEC,所以MN//平面BEC.又因?yàn)椤鰽BD為正三角形，所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°所以DN//BC.又DN4平面BEC,BCC平面BEC,所以DN//平面BEC.又MN∩DN=N,所以平面DMN//平面BEC.又DMC平面DMN,所以DM//平面BEC.法二如圖，延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)F,連接EF.因?yàn)镃B=CD,∠BCD=120°,因?yàn)椤鰽BD為正三角形，因?yàn)椤螦FB=30°,所以又AB=AD,所以D為線段AF的中點(diǎn).連接DM,由于點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)，因此DM//EF.又DM4平面BEC,EFC平面BEC,所以DM//平面BEC.規(guī)律方法判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義，一般用反證法；(2)利用線面平行的判定定理(ata,bca,allb→allα),其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言的敘述；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(a//β,acα→allβ);(4)利用面面平行的性質(zhì)(allβ,a4β,alla→allβ).【訓(xùn)練2】如圖，直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,(2)求三棱錐A'-MNC的體積.(1)證明法一連接AB',AC',如圖，由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'為直三棱柱，所以M為AB'中點(diǎn).又因?yàn)镹為B'C'的中點(diǎn)，所以MN//AC'.又MN4平面A'ACC',AC'C平面A′ACC',因此MN//平面A'ACC'.法二取A'B'的中點(diǎn)P,連接MP,NP,AB',如圖，而M,N分別為AB'與B'C'的中點(diǎn)，所以MP//AA',PN//A'C',又MPNNP=P,因此平面MPN//平面A'ACC'.而MNC平面MPN,因此MN//平面A'ACC',(2)解法一連接BN,如上圖，由題意A'N⊥B'C”,平面A’B′C′∩平面B'BCC'=B'C',A'NC平面A'B'C',所以A'N⊥平面NBC.又考點(diǎn)三平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖，四棱柱ABCD-A?B?C?D?的底面ABCD是正方形，O是底面(1)證明：平面A?BD//平面CD?B?;(2)求三棱柱ABD-A?B?D?的體積.又BDX平面CD?B?,B?D?C平面CD?B?,∴BD//平面CD?Bi.∴四邊形A?BCD?是平行四邊形，∴A?B//D?C.又A?B4平面CD?B?,∴A?B//平面CD?Bj.∴平面A?BD//平面CD?B?.∴A?O是三棱柱ABD-A?B?D?的高.規(guī)律方法證明兩個(gè)平面平行的方法有：(1)用定義，此類(lèi)題目常用反證法來(lái)完成證明；(2)用判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(3)根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”這一性質(zhì)進(jìn)行證明；(4)借助“傳遞性”來(lái)完成：兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.【訓(xùn)練3】如圖，在三棱柱ABC-A?B?C中，E,F,G,H分別是AB,AC,A?B?,A?C?的中點(diǎn)，求證：(2)平面EFA?//平面BCHG.證明(1)∵GH是△A?B?C?的中位線，∴GH//B?C?,又B?C?//BC,∴GH//BC,∴B,C,H,G四點(diǎn)共面.∴EF//BC,∵EFQ平面BCHG,BCC平面BCHG,∴EF//平面BCHG.又∵G,E分別為A?B?,AB的中點(diǎn)，∴四邊形A?EBG是平行四邊形，∴A?E//GB.∵A?EQ平面BCHG,GBC平面BCHG,∴A?E//平面BCHG.又∵A?E∩EF=E,∴平面EEA?//平面BCHG.考點(diǎn)四平行關(guān)系中的探索性問(wèn)題【例4】(2014·四川卷)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB?A?和ACC?A都為矩形.(1)若AC⊥BC,證明：直線BC⊥平面ACC?A?;(2)設(shè)D,E分別是線段BC,CC?的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使直線DE//平面A?MC?請(qǐng)證明你的結(jié)論.(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BB?A?和ACC?A?都是矩形，所以AA?⊥AB,AA?⊥AC.因?yàn)锳B,AC為平面ABC內(nèi)兩條相交直線，所以AA?上平面ABC.因?yàn)橹本€BCC平面ABC,所以AA?⊥BC.又AC⊥BC,AA?,AC為平面ACC?A?內(nèi)兩條相交直線，所以BC⊥平面ACC?Ai.(2)解取線段AB的中點(diǎn)M,連接A?M,MC,A?C,AC,OM,設(shè)O為A?C,AC的交點(diǎn).由已知可知O為AC?的中點(diǎn).連接MD,OE,則MD,OE分別為△ABC,△ACC?的中位線.所以MD,OE,從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE//MO.因?yàn)橹本€DE4平面A?MC,MOC平面A?MC,所以直線DE//平面A?MC,即線段AB上存在一點(diǎn)M(線段AB的中點(diǎn)),使直線DE//平面A?MC.規(guī)律方法解決探究性問(wèn)題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾),則不存在.而對(duì)于探求點(diǎn)的問(wèn)題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明.(2)AC邊上是否存在一點(diǎn)M,使得PA//平面EDM?若存在，求出AM的長(zhǎng)；解(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,所以PD⊥AD.因?yàn)镻DNCD=D,所以AD⊥平面PCD,因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，且PD=DC=4,又因?yàn)镋MC平面EDM,PAQ平面EDM,所以PA//平面EDM.即在AC邊上存在一點(diǎn)M,使得PA//平面EDM,AM的長(zhǎng)為V5. 醒面面平行具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”.2.線面平行關(guān)系證明的難點(diǎn)在于輔助面和輔助線的添加，在添加輔助線、輔助面時(shí)一定要以某一性質(zhì)定理為依據(jù)，絕不能主觀臆斷.3.解題時(shí)注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用.課時(shí)作業(yè)分醫(yī)訓(xùn)棟，提升能力基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.若直線a平行于平面a,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.a平行于a內(nèi)的所有直線B.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行C.直線a上的點(diǎn)到平面α的距離相等D.a內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與a成90°角解析若直線a平行于平面a,則α內(nèi)既存在無(wú)數(shù)條直線與a平行，也存在無(wú)數(shù)平面間的平行線段相等，所以C正確.2.平面a//平面β,點(diǎn)A,C∈a,B,D∈β,則直線AC//直線BD的充要條件A.AB//CDB.AD//CBC.AB與CD相交D.A,B,C,D四點(diǎn)共面解析充分性：A,B,C,D四點(diǎn)共面，由平面與平面平行的性質(zhì)必要性顯然成立.3.設(shè)l為直線，a,β是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是()A.若l//a,l//β,則a//βB.若l⊥a,l⊥β,則a//βC.若l⊥a,I//β,則a//βD.解析I//a,llβ,則a與β可能平行，也可能相交，故A項(xiàng)錯(cuò)；由“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”可知B項(xiàng)正確；由l⊥a,IⅡβ可知α⊥β,故C項(xiàng)錯(cuò)；由α⊥β,llla可知1與β可能平行，也可能Icβ,故D項(xiàng)錯(cuò).故選B.4.(2015·吉林九校聯(lián)考)已知m,n為兩條不同的直線，a,β,y為三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是C.若a//β,m//n,m//a,則n/lβD.若a⊥y,β⊥γ,則a//β解析對(duì)于選項(xiàng)A,mlla,nlla,則m與n可以平行，可以相交，可以異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,由線面垂直的性質(zhì)定理知，mlln,對(duì)于選項(xiàng)C,n可以平行β,也可以在β內(nèi)，故C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D,α與β可5.在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結(jié)A.AC⊥BDD.異面直線PM與BD所成的角為45°解析因?yàn)榻孛鍼QMN是正方形，由線面平行的性質(zhì)知MN//AC,則AC//截面PQMN,66又因?yàn)锽D//MQ,所以異面直線PM即為45°,故D正確.6.棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M是棱AA?的中點(diǎn)，過(guò)C,M,D?作正方體的截面，則截面的面積是解析由面面平行的性質(zhì)知截面與面AB?的交線MN是△AA?B的中位線，所以截面是梯形CD?MN,易求其面積答案AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF//平面AB?C,則線平面ABCD,且因?yàn)橹本€EF//平面平面ABCD,且平面AB?C∩平面ABCD=AC,所以EF//AC,“a∩β=a,bcy,且,則a//b”為真命題，解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)b//β,acy時(shí)，a和b在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平行，③正確.故應(yīng)填入的條件為①或③.答案①或③AD,EF的中點(diǎn).(2)平面BDE//平面MNG.的交點(diǎn)O,連接MO,則MO為△ABE的中位線，所以BE//MO,又BE(平面DMF,MOC平面DMF,所以BE//平面DMF.(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點(diǎn)，所以DE//GN,又DE4平面MNG,GNC平面MNG,所以DE//平面MNG.又M為AB中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD//MN,又BD4平面MNG,MNC平面MNG,所以BD//平面MNG,又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE//平面MNG.示(其中M,N分別是AF,BC的中點(diǎn)).直觀圖正視圖側(cè)視圖(2)求多面體A-CDEF的體積.分別為AF,BC的中點(diǎn)可得，NG//CF,MG//AB//EF,且NG∩MG=G,CF∩EF=F,∴平面MNG//平面CDEF,又MNC平面MNG,MN4平面CDEF,∴MN//平面CDEF.(2)取DE的中點(diǎn)H∵AD=AE,∴AH⊥DE,在直三棱柱ADE-BCF中，平面ADE⊥平面CDEF,平面ADE∩平面CDEF=DE,AHC平面ADE,∴AH⊥平面CDEF.∴多面體A-CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，∴棱錐A-CDEF的體積為能力提升題組G,H分別是棱CC?,C?D?,D?D,DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足條件時(shí)，有MN//平面B?BDD?(請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件).的一個(gè)充分條件是()解析對(duì)于A,兩個(gè)平面還可以相交，若a//β,則存在一條直線a,alla,a易知C不是α//β的一個(gè)充分條件，而是一個(gè)必要條件；對(duì)于D,移把兩條異面直線平移到一個(gè)平面中，成為相交直線，則有a//β,a//β的一個(gè)充分條件.12.下列四個(gè)正方體圖形中，A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,P在棱的中點(diǎn)，能得出AB//平面MNP的圖形的序號(hào)是可以通過(guò)平分別為其所A.①③B.②③C.①④解析對(duì)于圖形①:平面MNP與AB所在的對(duì)角面平行，即可得到AB//平面MNP;對(duì)于圖形④:ABPN,即可得到AB//平面MNP;圖形②,③都不可以，故選C.解析如圖，連接FH,HN,FN,由題意知HN//面B?BDD,FH|面B?BDD?.且HN∩FH=H,∴面NHF//面B?BDDl.有MN//面B?BDD?.答案M∈線段HF14.(2014·南昌模擬)如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上，AE=AF=4,現(xiàn)將△AEF沿線段EF折起到△A'EF位置，使得A'C=(1)求五棱錐A'-BCDFE的體積；(2)在線段A'C上是否存在一點(diǎn)M,使得BM//平面A'EF?若存在，求A'M;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.∵四邊形ABCD是正方形，AE=AF=4,∴H是EF的中點(diǎn)，且EF⊥AH,EF⊥CH,從而有A'H⊥EF,CH⊥EF,又A'H∩CH=H,所以EF⊥平面A'HC,且EFC平面ABCD,從而平面A'HC⊥平面ABCD,過(guò)點(diǎn)A'作A'O垂直HC且與HC相交于點(diǎn)O,則A'O⊥平面ABCD,所以五棱錐A'-BCDFE的體積(2)線段A'C上存在點(diǎn)M,使得BM//平面A'EF,.證明如下：A''c.且易知BD過(guò)O點(diǎn).,所以O(shè)M//A'H,又OM4平面A'EF,A'HC平面A'EF,所以O(shè)M//平面A'EF,又BD//EF,BD4平面A'EF,EFC平面A'EF,所以BD//平面A'EF,又BD∩OM=O,所以平面MBD//平面A'EF,因?yàn)锽MC平面MBD,所以BM//平面特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容.第4講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何的有關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理；2.能運(yùn)用線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線1與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直11d性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行bbaa2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面體x體x3.直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角.(2)線面角θ的范圍：4.二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥a.(×)(2)若直線a⊥平面a,直線b//a,則直線a與b垂直.(√)(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(×)2.設(shè)平面α與平面β相交于直線m,直線a在平面a內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析若α⊥β,因?yàn)閍∩β=m,bcβ,b⊥m,所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥a,又aCa,所以a⊥b;反過(guò)來(lái)，當(dāng)a//m時(shí)，因?yàn)閎⊥m,且a,1滿足I⊥m,l⊥n,Na,Kβ,則()A.a//β且l//an,又直線l滿足1⊥m,l⊥n,則交線平行于1,故選D.O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC?上，直線OP與平面A?BD所成的角為α,則sina的取值范圍是()解析根據(jù)題意可知平面A?BD⊥平面AlACC?且兩平面的交線是A?O,所以過(guò)點(diǎn)P作交線A?O的垂線PE,則PE⊥平面A?BD,所以∠A?OP或其補(bǔ)角就是直線OP與平面A?BD所成P與點(diǎn)C重合時(shí)，可得根據(jù)選項(xiàng)可知B正確.∵∠PEO的大小為側(cè)面與底面所成的(銳)二面角的大小，∴側(cè)面與底面所成的(銳)二面角的大小為45°.答案45°考點(diǎn)突破分類(lèi)講鎮(zhèn)，以例求法考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,∴PA⊥CD,∵AC⊥CD,且PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AEC平面PAC,∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.∴AE⊥平面PCD.而PDC平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PDC平面PAD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①線面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性(allb,a⊥α=b⊥α);④面面平行的性質(zhì)(a⊥a,αllβ→a⊥β);⑤面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.AP⊥平面PCD,AD//BC,,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn).求證：(1)AP//平面BEF;(2)BE⊥平面PAC.AD//BC,因此四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又F為PC的中點(diǎn)，因此在△PAC中，可得AP//OF.又OFc平面BEF,AP4平面BEF,所以AP//平面BEF.所以四邊形BCDE為平行四邊形，因此BE//CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,ACC平面PAC,所以BE⊥平面PAC.考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC,AB⊥PA,AB//CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn).事事求證：(1)CE//平面PAD;(2)平面EFG⊥平面EMN.證明(1)法一取PA的中點(diǎn)H,連接EH,DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EH//AB,又AB//CD,所以EH//CD,且EH=CD.因此四邊形DCEH是平行四邊形.又DHC平面PAD,法二連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以所以AF=CD,又AF//CD,所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF//AD又CF4平面PAD,ADC平面PAD,所以CF//平面PAD.因?yàn)镋,F分別為PB,AB的中點(diǎn)，所以EF//PA.又EF平面PAD,PAC平面PAD,所以EF//平面PAD.因?yàn)镃F∩EF=F,故平面CEF//平面PAD.又CEC平面CEF,所以CE//平面PAD.(2)因?yàn)镋,F分別為PB,AB的中點(diǎn)，所以EF//PA,又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG=F,EFC平面EFG,FGC平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分別為PD,PC的中點(diǎn)，因此MN⊥平面EFG.又MNC平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β,acα→a⊥β).(2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn).已知PA⊥AC,PA求證：(1)直線PA//平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.證明(1)因?yàn)镈,E分別為棱PC,AC的中點(diǎn)，所以DE//PA.又因?yàn)镻AQ平面DEF,DEC平面DEF,所以直線PA//平面DEF.(2)因?yàn)镈,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn)，PA=6,BC=8,所以DE//PA,EF//BC,且,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.因?yàn)锳CNEF=E,ACC平面ABC,EFC平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DEC平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.考點(diǎn)三線面角、二面角的求法⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,(1)求PB和平面PAD所成的角的大??；(3)求二面角A-PD-C的正弦值.(1)解在四棱錐P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD,ABC平面ABCD,故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,從而AB⊥平面PAD,故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,從而∠APB為PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中，AB=PA,故∠APB=45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.(2)證明在四棱錐P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,故CD⊥PA.由條件CD⊥AC,PA∩AC=A,又AEC平面PAC,∴AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.又PCNCD=C,綜上得AE⊥平面PCD.(3)解過(guò)點(diǎn)E作EM⊥PD,垂足為M,連接AM,如圖所示.由(2)知，AE⊥平面PCD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則AM⊥PD.因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角.由已知，可得∠CAD=30°.設(shè)AC=a,可得,,,,..在Rt△ADP中，∵AM⊥PD,∴AM·PD=PA:AD,則在Rt△AEM中，所以二面角A-PD-C的正弦值規(guī)律方法求線面角、二面角的常用方法：(1)線面角的求法，找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角來(lái)度量.平面角的作法常見(jiàn)的有①定義法；②垂面法.注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì).【訓(xùn)練3】(2014·天津一考)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC.E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(3)求二面角C-PB-D的大小.(1)證明如圖所示，連接AC,AC交BD于O,連接EO.∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).∴PA//EO.而EOC平面EDB且PAQ平面EDB,∴PA//平面EDB.(2)證明∵PD⊥底面ABCD,且DCc底面ABCD,∴PD⊥DC.∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形.而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC.①同樣，由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC∴BC⊥平面PDC.而DEC平面PDC,∴BC⊥DE.②由①和②且PC∩BC=C可推得DE⊥平面PBC.而PBC平面PBC,∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則PD=DC=a,BD=√2a,PB=√PD2+BD2=√Ba,PC=√PD2+DC2=VZa,∴∠EFD=60°.∴二面角C-PB-D的大小為60°.[思想方法]1.證明線線垂直的方法(1)定義：兩條直線所成的角為90°.(2)平面幾何中證明線線垂直的方法.2.空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某種垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一種垂直最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系為交.么.課時(shí)作業(yè)分醫(yī)訓(xùn)練，提升能力A.AB//mB.AC⊥mC.AB//βD.AC⊥βABlllllm;AC⊥l,mlll→AD.B.過(guò)a一定存在平面β,使得β⊥aC.在平面a內(nèi)一定不存在直線b,使得a⊥bD.在平面α內(nèi)一定不存在直線b,使得a//b解析當(dāng)a與α相交時(shí)，不存在過(guò)a的平面β,使得與其在平面α內(nèi)的投影所確定的平面β滿足β⊥a,故選B;平面α內(nèi)的直線b只要垂直于直線a在平面a內(nèi)的投影，則就必然垂直于直線a,故C錯(cuò)誤；當(dāng)a與α平行時(shí)，在平面a內(nèi)存在直線b,使得a//b,故D錯(cuò)誤.A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCD.PA≠PB≠PC故PA=PB=PC.C.aca,b⊥β,a//βD.aca,b//β,a⊥β兩直線可以平行，相交或異面，故不正確.A.平面ABC⊥平面ABDC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDEACC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,所以選C.答案C∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又AE⊥PB,AE∩AF=A, 解析∵PC在底面ABCD上的射影為AC,且PCC平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8.設(shè)a,β是空間兩個(gè)不同的平面，m,n是平面a及β外的兩條不同直線.從“①m⊥n;②a⊥β;③n⊥β;④m⊥a”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為解析假如①③④為條件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，過(guò)m上一點(diǎn)P作PB//n,則PB⊥m,PB⊥β,設(shè)垂足為B.又設(shè)m⊥a,垂足為A,過(guò)PA,PB的平面與a,β的交線1交于點(diǎn)C.因?yàn)閘⊥PA,l⊥PB,所以1⊥平面PAB,所以∠ACB是二面角α-1-β的平面角.由①③④→②成立.反過(guò)來(lái)，如果②③④成立，與上面證法類(lèi)似可得①成立.答案①③④→②(②③④→①)三、解答題9.(2014·包頭市學(xué)業(yè)水平測(cè)試)如圖，在直三棱柱ABC-(2)平面CDB?分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形，由于D為AA?的中點(diǎn)，故DC=DC?,又AA?=2A?C,可得DC2+DC2=CC},所以CD⊥平面B?C?D,因?yàn)锽?C?C平面B?C?D,所以CD⊥B?Ci.C?CnCD=C,則B?C?⊥平面ACC?A?,設(shè)V?是平面CDB?上方部分的體積，V?是平面CDB?下方部分的體積，10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：(2)BE//平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD,且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因?yàn)锳B//CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn)，所以AB//DE,且AB=DE.所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BE//AD.又因?yàn)锽E4平面PAD,ADC平面PAD,所以BE//平面PAD.(3)因?yàn)锳B⊥AD,而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD,AD⊥CD.所以PA⊥CD,又PA∩AD=A.所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.又E,F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD//EF.故CD⊥EF,由EF,BEC平面BEF,且EF∩BE=E.所以CD⊥平面BEF.又CDc平面PCD,能力提升題組BC?⊥AC,則C?在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上因此平面ABC⊥平面ABC],因此C?在底面ABC上的射影H在直線AB上.過(guò)點(diǎn)A作平面A?BD的垂線，垂足為點(diǎn)H.則以下命A.點(diǎn)H是△A?BD的垂心B.AH垂直于平面CB?DC.AH延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C?D.直線AH和BB?所成角為45°解析對(duì)于A,由于AA?=AB=AD,所以點(diǎn)A在平面A?BD上的射影必到點(diǎn)A?,B,D的距離相等，即點(diǎn)H是△A是△A?BD的垂心，命題A是真命題；對(duì)于B,由于B?D?ⅡBD,CD?|lA?B,故平面A?BDl平面CB?D?,而AH⊥平面A?BD,從而AH⊥平面CB?D?,命題B是真命題；對(duì)于C,由于AH⊥平面CB?D?,因此AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,命題C是真命題；對(duì)于D,由C知直線AH即是直線AC,又直線AA?||BB?,因此直線AC和BB?所成的角就等于直線AA?與AC所成而因此命題D是假命題.45°.其中正確的有(把所有正確的序號(hào)都填上).解析由PA⊥平面ABC,AEC平面ABC,得PA⊥AE,又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PBC平面PAB,∴AE⊥PB,①正確；又平面PAD⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC//AD,又ADC平面PAD,∴BCⅡ平2AB,∴∠PDA=45°,∴④正確.答案①④14.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD,AC=2V2,PA=2,E是PC上的一(2)設(shè)二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小.又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,因?yàn)锳C∩PA=A,所以BD⊥PC.如圖，設(shè)AC∩BD=F,連接EF.,BB所以BD⊥平面PAC,所又∠FCE=∠PCA,由此知PC⊥EF.又BD∩EF=F,所以PC⊥平面BED.(2)解在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥PB,G為垂足.因?yàn)槎娼茿-PB-C為90°,所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC=PB,故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.因?yàn)锽C與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA,AG都垂直，故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,所以底面ABCD為正方形，AD=2,PD=√PA2+AD2=2V2.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳D//BC,且AD4平面PBC,BCC平面PBC,故AD//平面PBC,A,D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，設(shè)PD與平面PBC所成的角為a,則1所以PD與平面PBC所成的角為30°第5講空間向量及其運(yùn)算空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表線和垂直. 基礎(chǔ)診斷燒理自羽，理解k憶名稱(chēng)概念表示零向量模為0的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為一a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個(gè)平面的向量實(shí)數(shù)λ,使得a=λb.(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a,b不共線，則向量p與向量a,b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+vb.存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律①兩向量的夾角則稱(chēng)a與b互相垂直，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a=(a?,az,a?),b=(b?,b?,b?).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積共線垂直模夾角C.;3.有下列命題：=(-1,1,1),|AD|=VI+1+1=V3.