遼寧省葫蘆島市興城東辛莊中學高三數學理期末試卷含解析

遼寧省葫蘆島市興城東辛莊中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.

已知為第四象限的角，且，則=（

）A.-

B.

C.-

D.參考答案：A2.下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞增的函數是A. B.C. D.參考答案：C略3.設集合，，則M∩N=（

）A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{－1，0,1}參考答案：C分析：求出集合，即可得到.詳解：故選C.點睛：本題考查集合的交集運算，屬基礎題.4.一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.用數學歸納法證明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步證明由“k到k＋1”時，左邊應加()A．k2

B．(k＋1)2

C．k2＋(k＋1)2＋k2

D．(k＋1)2＋k2參考答案：D6.已知函數f（x）=cos（2x+φ），且f（x）dx=0，則下列說法正確的是（） A．f（x）的一條對稱軸為x= B．存在φ使得f（x）在區(qū)間[﹣，]上單調遞減 C．f（x）的一個對稱中心為（，0） D．存在φ使得f（x）在區(qū)間[，]上單調遞增 參考答案：D【考點】余弦函數的圖象． 【分析】利用f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx，求出φ值，然后找出分析選項，即可得出結論． 【解答】解：f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx=sin（2x+φ）=sin（+φ）+sinφ=0， ∴tanφ=﹣，解得φ=﹣+kπ，k∈Z． 令2x﹣+kπ=nπ，n∈Z，可得x=（n﹣k）π+， 令（n﹣k）π+=π，=，矛盾； 令2mπ≤2x﹣+kπ≤π+2mπ，k為奇數，單調減區(qū)間為[+mπ，+mπ]，不符合題意，k為偶數，單調減區(qū)間為[+mπ，+mπ]，不符合題意； 令2x﹣+kπ=π+mπ，x=+（m﹣k）=，∴=，矛盾； 令π+2mπ≤2x﹣+kπ≤2π+2mπ，k為奇數，單調減區(qū)間為[+mπ，+mπ]，符合題意． 故選D． 【點評】本題主要考查定積分，余弦函數的圖象的性質，屬于中檔題． 7.已知，則等于（

）A． B．－ C． D．參考答案：D略8.設為兩個平面，為兩條直線，且，有如下兩個命題：

①若；②若.那么（

）

A．①是真命題，②是假命題

B．①是假命題，②是真命題

C．①、②都是真命題

D．①、②都是假命題

參考答案：D略9.已知函數，則的大致圖象是（

）

參考答案：B,所以非奇非偶，排除A,C.,即過點，選B.10.下列說法正確的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開式中，的系數是_____．（用數字作答）參考答案：二項式展開式，令，所以，所以，所以的系數為.12.棱長為2的正四面體ABCD（如左圖），它的正視圖如右圖，則其側視圖面積是

.

參考答案：13.一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為

.參考答案：4由三視圖可知，該組合體是由兩個邊長分別為2,1，1和1,1,2的兩個長方體，所以體積之和為。14.一質地均勻的正方體三個面標有數字，另外三個面標有數字.將此正方體連續(xù)拋擲兩次，若用隨機變量表示兩次拋擲后向上面所標有的數字之積，則數學期望=___________.參考答案：略15.設函數f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x+1，則=．參考答案：【考點】函數的周期性；函數奇偶性的性質；函數的值．【分析】利用函數的周期性先把轉化成f（），再利用函數f（x）是定義在R上的偶函數轉化成f（），代入已知求解即可．【解答】解：∵函數f（x）是定義在R上的周期為2的函數，∴=f（+2）=f（），又∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（）=f（），又∵當x∈[0，1]時，f（x）=x+1，∴f（）=+1=，則=．故答案為：．16.已知的展開式中，的系數為，則常數a的值為

．參考答案：，所以由得，從而點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.17.已知是定義在上的奇函數.當時,,則不等式的解集用區(qū)間表示為

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）

已知函數．（1）設a=1，討論的單調性；（2）若對任意，，求實數a的取值范圍．參考答案：解：（1），，定義域為．．

設，則．因為，，所以在上是減函數，又，于是，，；，，．所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．

……6分19.如圖，四棱錐P－ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E，F分別是AB，BC的中點N在軸上（I）求證：PF⊥FD；（II）在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD；（III）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值。

參考答案：（Ⅰ）連接AF，則AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，

……………4分（Ⅱ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD且AH＝AD．再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．從而滿足AG＝AP的點G為所求．

………………8分

（Ⅲ）建立如圖所示的空間直角坐標系，因為PA⊥平面ABCD，所以是與平面所成的角．又由已知可得，所以，所以．設平面的法向量為，由得，令，解得：，所以．又因為，所以是平面的法向量，所以．由圖知，二面角的余弦值為．

……13分20.（本題14分）已知函數在上單調遞減且滿足.（1）求的取值范圍.（2）設，求在上的最大值和最小值.參考答案：（1）；（2）當時，在取得最小值，在上取得最大值.當時，在取得最大值，在時取得最小值.當時，由，得.當時，在時取得最小值，在時取得最大值.當時，在時取得最大值，在時取得最小值，當時，在時取得最小值；當時，在時取得最小值.（1）由得：則，依題意需對于任意.有.當時，因為二次函數的圖像開口向上，而，所以需，即；當時，對任意有，符合條件；當時，對任意有，符合條件；當時，因為，不符合條件.故的取值范圍為.（2）因，，當時，，在取得最小值，在上取得最大值.當時，對任意有，在取得最大值，在時取得最小值.當時，由，得.①若，即時，在上單調遞增，在時取得最小值，在時取得最大值.②若，即時，在時取得最大值，在時取得最小值，而，.則當時，在時取得最小值；當時，在時取得最小值.21.如圖，四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD=DC=4，AD=2，E為PC的中點.(I）求證：AD⊥PC；(II）求三棱錐P-ADE的體積；(III）在線段AC上是否存在一點M，使得PA//平面EDM，若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.參考答案：（I）因為PD⊥平面ABCD.

所以PD⊥AD.

又因為ABCD是矩形，

所以AD⊥CD.

因為

所以AD⊥平面PCD.

又因為平面PCD，

所以AD⊥PC.(II）因為AD⊥平面PCD，VP-ADE=VA-PDE，

所以AD是三棱錐A—PDE的高.因為E為PC的中點，且PD=DC=4，所以又AD=2，所以(IIII）取AC中點M，連結EM、DM，

因為E為PC的中點，M是AC的中點，所以EM//PA，又因為EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA//平面EDM.所以即在AC