2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第4章三角函數(shù)解三角形第6講解三角形

三角形中的實際測量問題角度1測量距離問題(2023·武漢模擬)如圖，一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔時，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔時，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是(A)A．6eq\r(2)海里 B．6eq\r(3)海里C．8eq\r(2)海里 D．8eq\r(3)海里[解析]過點C向正南方向作一條射線CD，如圖所示，由題意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°.AB＝24×0.5＝12(海里)．在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，即eq\f(12,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(1,2))，所以BC＝6eq\r(2)(海里)．故選A．名師點撥：距離問題的常見類型及解法1．類型：測量距離問題常分為三種類型：山兩側(cè)、河兩岸、河對岸．2．解法：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：(1)基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；(2)選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)．若圖中涉及多個三角形，則先解可解三角形，借助公共邊、公共角再解其他三角形從而求解．角度2測量高度問題(2024·鄭州模擬)如圖，一棟建筑物AB的高為(30－10eq\r(3))米，在該建筑的正東方向有一個通信塔CD，在它們之間的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角是30°，則通信塔CD的高為60米．[解析]在Rt△ABM中，AM＝eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(30－10\r(3),sin15°)＝eq\f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20eq\r(6).如圖過點A作AN⊥CD于點N，在Rt△ACN中，因為∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°.又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以eq\f(AC,sin105°)＝eq\f(AM,sin∠ACM)＝eq\f(20\r(6),sin30°)，所以AC＝60＋20eq\r(3)，所以CN＝30＋10eq\r(3)，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－10eq\r(3)＋30＋10eq\r(3)＝60.故填60.名師點撥：求解高度問題的三個關(guān)注點1．在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．2．在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．易錯提醒：解三角形實際問題時注意各個角的含義，根據(jù)這些角把需要的三角形的內(nèi)角表示出來．而容易出現(xiàn)的錯誤是把角的含義弄錯，把這些角與要求解的三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系弄錯．角度3角度問題在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12海里的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時10海里的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時14海里的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．[解析]如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14).名師點撥：角度問題的解題方法首先應(yīng)明確方向角的含義，在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點．提醒：方向角是相對于某點而言的，因此確定方向角時，首先要弄清是哪一點的方向角．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角30°，45°，且A，B兩點間的距離為60m，則樹的高度為(30＋30eq\r(3))m.[解析]在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得eq\f(PB,sin30°)＝eq\f(AB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，所以樹的高度為PB·sin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))m.2．(角度2)(2024·衡水模擬)如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了600m到達(dá)M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為300eq\r(2)m.[解析]在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(600,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝300eq\r(6).在Rt△ACD中，因為tan∠DAC＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，所以DC＝ACtan∠DAC＝300eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝300eq\r(2)(m)．3．(角度3)(2023·宜昌模擬)如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m,50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于(B)A．30° B．45°C．60° D．75°[解析]依題意可得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq