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文檔簡介

2025屆新高考數(shù)學精準突破復習基本初等函數(shù)、函數(shù)的應用1.基本初等函數(shù)的圖象與性質是高考考查的重點,利用函數(shù)性質比較大小、解不等式是常見題型.2.函數(shù)模型及應用是近幾年高考的熱點,通??疾橹笖?shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時難度較大.考情分析思維導圖內容索引典型例題熱點突破典例1

(1)在同一直角坐標系中,函數(shù)y=

(a>0,且a≠1)的圖象可能是考點一基本初等函數(shù)的圖象與性質√A.b>c>a

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b√函數(shù)f(x)=e-(x-1)2是由函數(shù)y=eu和u=-(x-1)2復合而成的復合函數(shù),y=eu為R上的增函數(shù),u=-(x-1)2在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,所以由復合函數(shù)的單調性可知,f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.易知f(x)的圖象關于直線x=1跟蹤訓練1

(1)(2023·廣東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=

若f(a)<f(6-a),則實數(shù)a的取值范圍是A.(-3,+∞) B.(-∞,-3)C.(3,+∞) D.(-∞,3)√由解析式易知,f(x)在R上是增函數(shù),又f(a)<f(6-a),所以a<6-a,則a<3.(2)(2021·新高考全國Ⅱ)已知a=log52,b=log83,c=

,則下列判斷正確的是A.c<b<a

B.b<a<cC.a<c<b

D.a<b<c√典例2

(1)(2023·聊城模擬)“綠色出行,低碳環(huán)?!币殉蔀樾碌臅r尚.近幾年國家相繼出臺了一系列的環(huán)保政策,在汽車行業(yè)提出了重點扶持新能源汽車和最終停止傳統(tǒng)汽車銷售的時間計劃表,為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景.新能源汽車主要指電動力汽車,其能量來源于蓄電池.已知蓄電池的容量C(單位:A·h)、放電時間t(單位:h)、放電電流I(單位:A)三者之間滿足關系C=

.假設某款電動汽車的蓄電池容量為3074A·h,正常行駛時放電電流為15A,那么該汽車能持續(xù)行駛的時間大約為(參考數(shù)據(jù):6×≈3074)A.60hB.45hC.30hD.15h√考點二函數(shù)模型及其應用由C=

,得當C=3074,I=15時,3074=

,∴t=

.又6×≈3074,∴t=

≈=

=3×=3×

=30(h).(2)(多選)(2023·新高考全國Ⅰ)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級Lp=20×,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則A.p1≥p2

B.p2>10p3C.p3=100p0

D.p1≤100p2√√√且

∈[60,90],

∈[50,60],所以

,所以p1≥p2,故A正確;因為

=40,所以p3=

=100p0,故C正確;假設p2>10p3,則

,所以

>10,所以

>20,不可能成立,故B不正確;所以p1≤100p2,故D正確.跟蹤訓練2

(1)(2023·濰坊模擬)某公司為實現(xiàn)利潤目標制定獎勵制度,其中規(guī)定利潤超過10萬元且少于1000萬元時,員工獎金總額y(單位:萬元)隨利潤x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金總額不超過5萬元,則y關于x的函數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù):1.0021000≈7.37,lg7=0.845)A.y=1.002x

B.y=log7x+1C.y=

-5 D.y=5+sinx√由題意,函數(shù)在(10,1000)上單調遞增,故D不符合題意,排除D;因為當x∈(10,125)時,y=

-5<0,故C不符合題意,排除C;當x=1000時,1.0021000≈7.37>5,故y=1.002x不符合題意,排除A;(2)(2023·北京市八一中學模擬)某公司工人甲生產(chǎn)第x件產(chǎn)品的所需時間f(x)(單位:h)滿足:f(x)=

其中a>0且a≠1,若甲生產(chǎn)第2件產(chǎn)品的時間為3h,生產(chǎn)第λ件產(chǎn)品的時間為2h,則f(3)=________.4-log23又甲生產(chǎn)第2件產(chǎn)品的時間為3h,則f(2)=4-loga2=3,解得a=2,典例3

(多選)(2023·西安模擬)已知函數(shù)f(x)=log3(x2-2x),則下列結論正確的是A.函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是[1,+∞)B.函數(shù)f(x)的值域是RC.函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱D.不等式f(x)<1的解集是(-1,3)考點三函數(shù)的綜合運用√√對于A,令x2-2x>0,解得x>2或x<0,故f(x)的定義域為(-∞,0)∪(2,+∞),∵y=log3u為增函數(shù),u=x2-2x在(-∞,0)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增,∴f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增,A錯誤;對于B,∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1,即y=x2-2x的值域M=[-1,+∞),又(0,+∞)?M,∴函數(shù)f(x)的值域是R,B正確;對于C,∵f(2-x)=log3[(2-x)2-2(2-x)]=log3(x2-2x)=f(x),∴函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱,C正確;對于D,f(x)=log3(x2-2x)<1=log33,且y=log3x是增函數(shù),可得0<x2-2x<3,解得2<x<3或-1<x<0,故不等式f(x)<1的解集是(-1,0)∪(2,3),D錯誤.跟蹤訓練3

(2023·紅河州模擬)若函數(shù)f(x)=

與函數(shù)g(x)=loga(x+3)(a>0且a≠1)的圖象有且僅有一個交點,則a的取值范圍為√當x>2時,由f(x)=f(x-2),得f(x)是以2為周期的函數(shù).作出分段函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,當0<a<1時,由圖可知,0<a<1顯然成立.當a>1時,令g(2)≥1,即loga5≥1,得1<a≤5.綜上所述,0<a≤5且a≠1.解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合問題時要注意:(1)所有問題都必須在定義域內討論.(2)它們的圖象與性質受底數(shù)a的影響,解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題時,首先要看底數(shù)a的取值范圍.(3)復合函數(shù)的構成,分析它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的.總結提升1234567891011121.(2023·通州模擬)下列函數(shù)中,是奇函數(shù)且在定義域內單調遞增的是A.y=

B.y=x3C.y=ex+e-x

D.y=tanx√對于B,函數(shù)y=f(x)=x3的定義域為R,關于原點對稱,因為f(-x)=-x3=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),又函數(shù)在R上是增函數(shù),故B符合題意;對于C,函數(shù)y=f(x)=ex+e-x的定義域為R,關于y軸對稱,因為f(-x)=e-x+ex=f(x),所以函數(shù)為偶函數(shù),故C不符合題意;對于D,函數(shù)y=f(x)=tanx,1234567891011122.(2023·淮安模擬)已知函數(shù)f(x)=(3m-2)xm+2(m∈R)是冪函數(shù),則函數(shù)g(x)=loga(x-m)+1(a>0,且a≠1)的圖象所過定點P的坐標是A.(2,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(-1,2)√123456789101112∵函數(shù)f(x)=(3m-2)xm+2(m∈R)是冪函數(shù),∴3m-2=1,∴m=1,∴g(x)=loga(x-1)+1,令x-1=1得x=2,此時g(2)=loga1+1=1,∴函數(shù)g(x)的圖象所過定點P的坐標是(2,1).1234567891011123.(2022·北京)在北京冬奧會上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術,為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強,單位是bar.下列結論中正確的是A.當T=220,P=1026時,二氧化碳處于液態(tài)B.當T=270,P=128時,二氧化碳處于氣態(tài)C.當T=300,P=9987時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當T=360,P=729時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)√123456789101112對于A選項,當T=220,P=1026時,lgP=lg1026>lg103=3,根據(jù)圖象可知,二氧化碳處于固態(tài);對于B選項,當T=270,P=128時,lgP=lg128∈(lg102,lg103),即lgP∈(2,3),根據(jù)圖象可知,二氧化碳處于液態(tài);對于C選項,當T=300,P=9987時,lgP=lg9987<lg104=4,且與4非常接近,根據(jù)圖象可知,二氧化碳處于固態(tài);123456789101112對于D選項,當T=360,P=729時,lgP=lg729∈(lg102,lg103),即lgP∈(2,3),根據(jù)圖象可知,二氧化碳處于超臨界狀態(tài).1234567891011121234567891011124.(2023·湖南師范大學附中模擬)設a=0.30.4,b=0.40.3,c=log0.40.3,則a,b,c的大小順序為A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.c<a<b√∵指數(shù)函數(shù)y=0.3x,y=0.4x為R上的減函數(shù),∴a=0.30.4<0.30.3<0.30=1,b=0.40.3<0.40=1,∵冪函數(shù)y=x0.3在[0,+∞)上單調遞增,∴0.30.3<0.40.3,∴a<b<1,∵對數(shù)函數(shù)y=log0.4x在(0,+∞)上單調遞減,∴c=log0.40.3>log0.40.4=1,即c>1,∴a<b<c.1234567891011121234567891011125.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若不等式f(x)<0的解集為(-∞,-1)∪

,則不等式f(10x)>0的解集為A.(-∞,-1)∪(lg2,+∞)B.(-1,lg2)C.(-lg2,+∞)D.(-∞,-lg2)√設t=10x,t>0,123456789101112解得x<-lg2,則不等式f(10x)>0的解集為(-∞,-lg2).6.(2023·新高考全國Ⅰ)設函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調遞減,則a的取值范圍是A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)√123456789101112函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),而函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調遞減,123456789101112所以a的取值范圍是[2,+∞).123456789101112A.函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱B.函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱C.函數(shù)f(x)的值域為(-1,1)D.函數(shù)f(x)是減函數(shù)√√所以f(x)為奇函數(shù),f(x)的圖象關于原點對稱,故A正確,B錯誤;123456789101112故f(x)的值域為(-1,1),故C正確;設x2>x1,則f(x2)-f(x1)=

,因為x2>x1,所以

>0,又所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù),故D錯誤.1234567891011128.(多選)(2023·長春吉大附中模擬)關于函數(shù)f(x)=|ln|2-x||,下列描述正確的有A.f(x)在區(qū)間(1,2)上單調遞增B.y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),則x1+x2=4D.f(x)有且僅有兩個零點√√√123456789101112根據(jù)圖象變換作出函數(shù)f(x)的圖象(先作出y=lnx的圖象,再作出其關于y軸對稱的圖象,然后向右平移2個單位長度,最后把x軸下方的部分關于x軸翻折上去即可得),如圖所示,由圖象知f(x)在(1,2)上單調遞增,A正確;函數(shù)圖象關于直線x=2對稱,B正確;設f(x1)=f(x2)=k,則直線y=k與函數(shù)f(x)圖象可能有4個交點,如圖,如果最左邊的兩個交點橫坐標分別是x1,x2,則x1+x2=4不成立,C錯誤;f(x)與x軸有且僅有兩個公共點,即函數(shù)f(x)有且僅有兩個零點,D正確.1234567891011129.(2023·泰州模擬)已知函數(shù)f(x)=

則f(f(-2))=___.4123456789101112所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,

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