五年高考高考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)詳解 專題18 解析幾何綜合（含解析）文-人教高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專題18解析幾何綜合【2020年】1.（2020·新課標(biāo)Ⅰ文）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析.【解析】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為：，整理可得：整理得：故直線過(guò)定點(diǎn)2.（2020·新課標(biāo)Ⅱ文）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過(guò)F且與x軸重直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）：，：.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：,所以拋物線的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，因?yàn)闄E圓的方程為：，所以當(dāng)時(shí)，有，因此的縱坐標(biāo)分別為，；又因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以當(dāng)時(shí)，有，所以的縱坐標(biāo)分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，所以的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，的準(zhǔn)線為.由已知得，即.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.3.（2020·新課標(biāo)Ⅲ）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，過(guò)點(diǎn)作軸垂線，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點(diǎn)為，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點(diǎn)為或，①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：；②當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.4.（2020·北京卷）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】(1)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)設(shè)，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且：，注意到：，而：，故.從而.5.（2020·江蘇卷）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以所以.由于，所以.所以.6.（2020·江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B．（1）求△AF1F2的周長(zhǎng)；（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.【解析】（1）∵橢圓的方程為∴,由橢圓定義可得：.∴的周長(zhǎng)為（2）設(shè)，根據(jù)題意可得.∵點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限，∴∵準(zhǔn)線方程為∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.（3）設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為.∵，∴直線的方程為∵點(diǎn)到直線的距離為，∴∴∴①∵②∴聯(lián)立①②解得，.∴或.7.（2020·山東卷）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）12.【解析】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過(guò)點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線AM方程為：，點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.8.（2020·天津卷）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．【解析】（Ⅰ）橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，，由，得，又由，得，所以，橢圓的方程為；（Ⅱ）直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，所以，根據(jù)題意可知，直線和直線的斜率均存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，，消去，可得，解得或.將代入，得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的斜率為，又因?yàn)?，所以，整理得，解得?所以，直線的方程為或.9.（2020·浙江卷）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的方程為，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（Ⅱ）設(shè)，由，，由在拋物線上，所以，又，，，.由即，所以，，，所以，的最大值為，此時(shí).法2：設(shè)直線，.將直線的方程代入橢圓得：，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.將直線的方程代入拋物線得：，所以，解得，因此，由解得，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值為.【2019年】1．【2019·全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，│AB│=4，⊙M過(guò)點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切．（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，│MA│?│MP│為定值？并說(shuō)明理由．【答案】（1）的半徑或；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以M在直線上，故可設(shè).因?yàn)榕c直線x+2=0相切，所以的半徑為.由已知得，又，故可得，解得或.故的半徑或.（2）存在定點(diǎn)，使得為定值.理由如下：設(shè)，由已知得的半徑為.由于，故可得，化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為.因?yàn)榍€是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以.因?yàn)椋源嬖跐M足條件的定點(diǎn)P.2．【2019·全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2）如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．【答案】（1）；（2），a的取值范圍為.【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知在中，，，，于是，故的離心率是.（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在．當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，①，②，③由②③及得，又由①知，故．由②③得，所以，從而故.當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P．所以，的取值范圍為．3．【2019·全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或.【解析】（1）設(shè)，則．由于，所以切線DA的斜率為，故．整理得設(shè)，同理可得．故直線AB的方程為．所以直線AB過(guò)定點(diǎn)．（2）由（1）得直線AB的方程為．由，可得．于是.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則．由于，而，與向量平行，所以．解得t=0或．當(dāng)=0時(shí)，=2，所求圓的方程為；當(dāng)時(shí)，，所求圓的方程為．4．【2019·北京卷文數(shù)】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意得，b2=1，c=1．所以a2=b2+c2=2．所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線AP的方程為．令y=0，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．又，從而．同理，．由得．則，．所以．又，所以．解得t=0，所以直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，0）．5．【2019·天津卷文數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知（O為原點(diǎn)）.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，圓C同時(shí)與x軸和直線l相切，圓心C在直線x=4上，且，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知有，又由，消去得，解得.所以，橢圓的離心率為.（2）由（1）知，，故橢圓方程為.由題意，，則直線的方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足消去并化簡(jiǎn)，得到，解得.代入到的方程，解得.因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，所以.由圓心在直線上，可設(shè).因?yàn)椋矣桑?）知，故，解得.因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑長(zhǎng)為2，又由圓與相切，得，可得.所以，橢圓的方程為.6．【2019·江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過(guò)F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.因?yàn)镕1(?1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因?yàn)镈F1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2?c2，得b2=3.因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因?yàn)锳F2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程(x?1)2+y2=16，解得y=±4.因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(?1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得 ，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.因?yàn)锽F2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因?yàn)镕2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因?yàn)锳F2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因?yàn)镕1(?1，0)，由，得.又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.因此.7．【2019·浙江卷】如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記的面積分別為．（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】（1）p=2，準(zhǔn)線方程為x=?1；（2）最小值為，此時(shí)G（2，0）．【解析】（1）由題意得，即p=2.所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1.（2）設(shè)，重心.令，則.由于直線AB過(guò)F，故直線AB方程為，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x軸上，故，得.所以，直線AC方程為，得.由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故.從而.令，則m>0，.當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)G（2，0）．【2018年】1．【2018·全國(guó)Ⅰ文數(shù)】設(shè)拋物線，點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）證明：．【答案】（1）y=或；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2，可得M的坐標(biāo)為（2，2）或（2，–2）．所以直線BM的方程為y=或．（2）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN．當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），則x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．直線BM，BN的斜率之和為．①將，及y1+y2，y1y2的表達(dá)式代入①式分子，可得．所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM=∠ABN．綜上，∠ABM=∠ABN．2．【2018·全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【答案】（1）y=x–1；（2）或．【解析】（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程為y=x–1．（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為，即．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），則解得或因此所求圓的方程為或．3．【2018·全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)，，則，．兩式相減，并由得．由題設(shè)知，，于是．由題設(shè)得，故．（2）由題意得F（1，0）．設(shè)，則．由（1）及題設(shè)得，．又點(diǎn)P在C上，所以，從而，．于是．同理．所以．故．4．【2018·北京卷文數(shù)】已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B.（1）求橢圓M的方程；（2）若，求的最大值；（3）設(shè)，直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn)共線，求k.【答案】（1）；（2）；（3）1.【解析】（1）由題意得，所以，又，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，由消去可得，則，即，設(shè)，，則，，則，易得當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．（3）設(shè)，，，，則①，②，又，所以可設(shè)，直線的方程為，由消去可得，則，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．故，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得，即．5．【2018·天津卷文數(shù)】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求k的值．【答案】（1）；（2）．【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問(wèn)題的能力．滿分14分．（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．由，從而．所以，橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．由的面積是面積的2倍，可得，從而，即．易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意．所以，的值為．6．【2018·江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線l的方程．【答案】（1）橢圓C的方程為，圓O的方程為；（2）①；②．【解析】（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓C的方程為．又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得因此橢圓C的方程為．因?yàn)閳AO的直徑為，所以其方程為．（2）①設(shè)直線l與圓O相切于，則，所以直線l的方程為，即．由消去y，得．（*）因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②因?yàn)槿切蜲AB的面積為，所以，從而．設(shè)，由（*）得，所以．因?yàn)?，所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標(biāo)為．綜上，直線l的方程為．7．【2018·浙江卷】如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上．（1）設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；（2）若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的取值范圍．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】本題主要考查橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.滿分15分.（1）設(shè)，，．因?yàn)椋闹悬c(diǎn)在拋物線上，所以，為方程即的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．所以．因此，垂直于軸．（2）由（1）可知所以，．因此，的面積．因?yàn)?，所以．因此，面積的取值范圍是．【2017年】1．【2017·全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】設(shè)A，B為曲線C：y=上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4．（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，，x1+x2=4，于是直線AB的斜率．（2）由，得．設(shè)M（x3，y3），由題設(shè)知，解得，于是M（2，1）．設(shè)直線AB的方程為，故線段AB的中點(diǎn)為N（2，2+m），|MN|=|m+1|．將代入得．當(dāng)，即時(shí)，．從而．由題設(shè)知，即，解得．所以直線AB的方程為．2．【2017·全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)P（x，y），M（），則N（），，由得.因?yàn)镸（）在C上，所以.因此點(diǎn)P的軌跡方程為.（2）由題意知F（?1,0），設(shè)Q（?3，t），P（m，n），則，.由得，又由（1）知，故.所以，即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.3．【2017·全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說(shuō)明理由；（2）證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.【答案】（1）不會(huì)，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：設(shè)，，則滿足，所以.又C的坐標(biāo)為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況.（2）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），可得BC的中垂線方程為.由（1）可得，所以AB的中垂線方程為.聯(lián)立又，可得所以過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（），半徑故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，即過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.4．【2017·北京卷文數(shù)】已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為.由題意得解得.所以.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，則.由題設(shè)知，且.直線的斜率，故直線的斜率.所以直線的方程為.直線的方程為.聯(lián)立解得點(diǎn)的縱坐標(biāo).由點(diǎn)在橢圓上，得.所以.又，，所以與的面積之比為.5．【2017·天津卷文數(shù)】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為．（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程．【答案】（1）；（2）（?。?；（ⅱ）．【解析】（1）設(shè)橢圓的離心率為e．由已知，可得．又由，可得，即．又因?yàn)?，解得．所以，橢圓的離心率為．（2）（ⅰ）依題意，設(shè)直線FP的方程為，則直線FP的斜率為．由（1）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．由已知|FQ|=，有，整理得，所以，故直線FP的斜率為．（ii）由，可得，故橢圓方程可以表示為．由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，解得（舍去），或．因此可得點(diǎn)，進(jìn)而可得，所以．由已知，線段的長(zhǎng)即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線．因?yàn)?，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得．所以，橢圓的方程為．6．【2017·山東卷文數(shù)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為，橢圓C截直線y=1所得線段的長(zhǎng)度為.（1）求橢圓C的方程；（2）動(dòng)直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)，⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點(diǎn)，DE，DF與⊙N分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EDF的最小值.【答案】（1）；（2）的最小值為.【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，又當(dāng)時(shí)，，得，所以，因此橢圓方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程，得，由得.（*）且，因此，所以，又，所以整理得，因?yàn)?，所?令，故，所以.令，所以.當(dāng)時(shí)，,從而在上單調(diào)遞增，因此，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，所以，由（*）得且.故，設(shè)，則，所以的最小值為，從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率是.綜上所述：當(dāng)，時(shí)，取到最小值.7．【2017·浙江卷】如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q．（1）求直線AP斜率的取值范圍；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.滿分15分.（1）設(shè)直線AP的斜率為k，，因?yàn)椋灾本€AP斜率的取值范圍是．（2）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是．因?yàn)閨PA|==，|PQ|=，所以．令，因?yàn)?，所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時(shí)，取得最大值．8．【2017·江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線，的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c．因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，，解得，于是，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）由（1）知，，．設(shè)，因?yàn)闉榈谝幌笙薜狞c(diǎn)，故．當(dāng)時(shí)，與相交于，與題設(shè)不符．當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為．因?yàn)?，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程：，①直線的方程：．②由①②，解得，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對(duì)稱性，得，即或．又在橢圓E上，故．由，解得；，無(wú)解．因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【2016年】1.【2016·山東文數(shù)】（本小題滿分14分）

平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：

的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).

（=1\*ROMANI）求橢圓C的方程；（=2\*ROMANII）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.（=1\*romani）求證：點(diǎn)M在定直線上;（=2\*romanii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（=1\*romani）見(jiàn)解析；（=2\*romanii）的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】（Ⅰ）由題意知，可得：.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）（Ⅰ）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.設(shè)，聯(lián)立方程得，由，得且，因此,將其代入得，因?yàn)?，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)在定直線上.（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線方程為，令得，所以，又，所以，，所以，令，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿足，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.2.【2016·江蘇卷】（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線，拋物線（1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；②求p的取值范圍.【答案】（1）（2）①詳見(jiàn)解析，②【解析】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為由點(diǎn)在直線上，得，即所以拋物線C的方程為（2）設(shè)，線段PQ的中點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為，則可設(shè)其方程為①由消去得因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以從而，化簡(jiǎn)得.方程（*）的兩根為，從而因?yàn)樵谥本€上，所以因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為②因?yàn)樵谥本€上所以，即由①知，于是，所以因此的取值范圍為3.【2016·天津文數(shù)】（本小題滿分14分）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（Ⅱ）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（Ⅰ）知，，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.設(shè)，由方程組消去，解得.在中，，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或.所以，直線的斜率的取值范圍為.4.【2016·新課標(biāo)3文數(shù)】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．（I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【解析】由題設(shè).設(shè)，則，且.記過(guò)兩點(diǎn)的直線為，則的方程為......3分（Ⅰ）由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，則，所以.......5分（Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則.由題設(shè)可得，所以（舍去），.設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得.而，所以.當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，所以，所求軌跡方程為.5.【2016·浙江文數(shù)】（本題滿分15分）如圖，設(shè)橢圓（a＞1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a、k表示）；（II）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）．【解析】（Ⅰ）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得，故，．因此．（Ⅱ）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)