因式分解總結(jié)

1.因式分解的概念

把一個含字母的多項式表示成若干個含有字母的多項式的乘積的形式，稱為把這個多項式因式分解。

2.運用提公因式法分解因式

（1）概念：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）依據(jù)：提公因式法的依據(jù)是逆用乘法分配律。

（3）找公因式的方法：

（a）公因式的系數(shù)：如果多項式的系數(shù)為整數(shù)，則取各項系數(shù)的絕對值的最大公因數(shù)作為公因式的系數(shù)，如果原多項式的第1項系數(shù)為負數(shù)，就把負號提出來，括號內(nèi)的各項要改變符號。

（b）公因式中的字母是取各項中相同的字母，字母的指數(shù)取各項次數(shù)最低的。

（c）公因式所含的式子是各項中相同的式子，該式子的指數(shù)取各項中次數(shù)最低的。提公因式法分解因式口訣：找準公因式，一次要提凈，全家都搬走，留1來把守，提負要變號，變形看奇偶。3.運用公式法分解因式：

（1）概念

利用分解因式與整式乘法的互逆關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。

（2）平方差公式：

a2－b2=(a＋b)(a－b)

它適用于分解的多項式是二項式且是平方差的形式。

它的特點是：

（a）左邊是二項式，兩項都可以寫成平方的形式，并且兩式的符號相反。

（b）右邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，而且被減數(shù)是左邊平方項為正的那個數(shù)。

（3）完全平方公式：

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

也可以把他們合在一起寫成以下的形式：a2±2ab+b2=(a±b)2

它適用于分解的多項式是三項式并且是完全平方式。

它的特點是：

（a）左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數(shù)（或兩個式子）的完全平方，這兩項的符號相同，中間一項是這兩個數(shù)（或兩個式子）的積的2倍，符號正負均可。

（b）右邊是兩個數(shù)（或兩個式子）的和（或者差）的平方，當中間的乘積項與首末兩項的符號相同時，是和的平方；當中間的乘積項與首末兩項的符號相反時，是差的平方。

4.因式分解的步驟及要求：

（1）通常先提公因式再用公式法進行因式分解。

（2）因式分解一定要進行到每一個因式不能再分解為止。

（3）多項式第一項為負系數(shù)，常先提出負號再分解因式。

5.綜合運用因式分解的方法的技巧1）先看多項式是否有公因式，有公因式盡量先提公因式。

（2）再看多項式是幾項式，如果是二項式，考慮是否符合平方差公式的特點，能否運用平方差公式分解因式。如果是三項式，考慮是否符合完全平方公式特點，能否運用完全平方公式分解因式。

分解因式步驟可用一句話概括為：一提二公三化簡。

四.本章思想方法歸納

1.類比思想

類比是常用的數(shù)學(xué)方法，本章中多次利用類比的方法，通過分解因數(shù)與分解因式的類比，來體會、理解，認識因式分解的意義；還類比整式的乘法探索因式分解的方法，通過類比，學(xué)起來學(xué)生會感覺新的知識易于接受。

2.逆向思維

因式分解與整式乘法之間是互逆關(guān)系，如提公因式是由乘法分配律反過來得到的一種分解因式的方法，正確的運用逆向思維會給我們解題帶來幫助。3.數(shù)學(xué)方法：本章所應(yīng)用的因式分解方法有：（1）提公因式法；（2）運用公式法。典型例題分析：

例1．分解因式：(1)4a2-9b2(2)-25a2y4+16b16

分析：①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b即可。

②將兩項交換后，這兩項式是平方差的形式。

解：(1)4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)

分析：①這是個兩項式，且兩項符號相反

②∵16b16=(4b8)225a2y4=(5ay2)2那么可將4b8和5ay2看作平方差公式中的a和b即可。

解：(2)-25a2y4+16b16=16b16-25a2y4=(4b8)2-(5ay2)2

=(4b8+5ay2)(4b8-5ay2)

注：要先將原式寫成公式左邊的形式，寫成(4b8)2-(5ay2)2

例2．分解因式：(1)36b4x8-9c6y10(2)(x+2y)2-(x-2y)2

分析：(1)題二項式有公因式9應(yīng)該先提取公因式，再對剩余因式進行分解，符合平方差公式。(2)題的兩項式符合平方差公式，x+2y和x-2y分別為公式中的a和b。

解：(1)36b4x8-9c6y10

=9(4b4x8-c6y10)

=9[(2b2x4)2-(c3y5)2]

=9(2b2x4+c3y5)(2b2x4-c3y5)

注：解題的第二步寫成公式的左邊形式一定不要丟。

(2)(x+2y)2-(x-2y)2

=[(x+2y)+(x-2y)][(x+2y)-(x-2y)]

=(x+2y+x-2y)(x+2y-x+2y)

=(2x)(4y)=8xy

注：此例可以用乘法公式展開，再經(jīng)過合并同類項得到8xy，由本例的分解過程可知，因式分解在某些情況下可以簡化乘法與加減法的混合運算

例3．分解因式：①(2m-n)2-121(m+n)2②-4(m+n)2+25(m-2n)2

分析：(1)題的第二項應(yīng)寫成[11(m+n)]2就可以用平方差公式分解，2m-n和11(m+n)為公式中的a和b，(2)題中將這二項先利用加法交換律后再將每一項寫成平方形式就找到公式中的a和b分別為5(m-2n)和2(m+n)，再應(yīng)用平方差公式分解。

解：(1)(2m-n)2-121(m+n)2

=(2m-n)2-[11(m+n)]2

=[(2m-n)+11(m+n)][(2m-n)-11(m+n)]

=(2m-n+11m+11n)(2m-n-11m-11n)

=(13m+10n)(-9m-12n)

=-3(13m+10n)(3m+4n)

注：(-9m-12n)這項應(yīng)提取公因式-3

(2)-4(m+n)2+25(m-2n)2

=25(m-2n)2-4(m+n)2

=[5(m-2n)]2-[2(m+n)]2

=[5(m-2n)+2(m+n)][5(m-2n)-2(m+n)]

=(5m-10n+2m+2n)(5m-10n-2m-2n)

=(7m-8n)(3m-12n)

=3(7m-8n)(m-4n)

注：利用平方差分解后的兩個因式要進行整式的四則運算，并要注意運算時去括號法則的應(yīng)用。例如:-2(m+n)=-2m-2n≠-2m+2n

例4.計算1.22222×9-1.33332×4

分析:這是數(shù)字的計算問題,若按運算順序一步步做很繁,我們認真觀察,尋求簡便算法,發(fā)現(xiàn)題中的兩項,每一項都可以寫成一個數(shù)的完全平方,再可以用平方差公式進行因式分解,這樣可以使計算簡化。

解：1.22222×9-1.33332×4

=(1.2222×3)2-(1.3333×2)2

=(1.2222×3+1.3333×2)(1.2222×3-1.3333×2)

=(3.6666+2.6666)(3.6666-2.6666)

=6.3332×1=6.3332

例5．若(248-1)可以被60和70之間的兩個數(shù)整除，求這兩個數(shù)。

分析：首先應(yīng)分析248-1的特殊形式為平方差，由題意248-1能被兩個數(shù)整除說明248-1能分解成哪兩個數(shù)與其它因式的積，并將248-1進行因式分解。并注意這兩個整數(shù)的取值范圍是大于60且小于70。

解：248-1

=(224)2-12=(224+1)(224-1)

=(224+1)(212+1)(212-1)

=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1)

∵26+1=65為整數(shù)，26-1=63為整數(shù)，224+1和212+1都為整數(shù)

∴=(224+1)(2