第十八章 平行四邊形活動(dòng)-探究中點(diǎn)四邊形 課件-2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

——探究中點(diǎn)四邊形人教版初中數(shù)學(xué)∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系用符號(hào)語(yǔ)言表示EABCD三角形的中位線定理:用

途①證明平行問(wèn)題②證明一條線段是另一條線段的2倍或1/2（DEBC）∥=∴

DE是△ABC的中位線∴⑴DE∥BC⑵DE=BC

知識(shí)回顧1ADCB中點(diǎn)四邊形的定義

順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。

定義

我思考,我進(jìn)步1順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是什么四邊形?觀察猜想并證明已知:如圖,點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH為平行四邊形。證明：連接AC∵E、F是AB、BC邊中點(diǎn)。EFGH

請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)一畫(huà)、看一看、猜一猜并證一證ABCD(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)∴EF∥AC且EF＝AC同理：HG∥AC且HG＝AC∴EF∥HG且EF＝HG∴四邊形EFGH為平行四邊形任意四邊形的中點(diǎn)四邊形都為平行四邊形

歸納

我思考,我進(jìn)步2

順次連接矩形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是什么四邊形？

連結(jié)兩條對(duì)角線，而矩形的對(duì)角線相等。觀察猜想并證明請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)一畫(huà)、看一看、猜一猜并證一證

小結(jié)：順次連結(jié)矩形四條邊中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形。ABCDEFGH證明：連結(jié)AC、BD∵H、G分別是AD、DC的中點(diǎn)?！?/p>

HG=EF=AC∴HG=EF=EH=FG∴四邊形EFGH是菱形同理：EF=AC∴

AC=BD已知：在矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。觀察猜想并證明

我思考,我進(jìn)步2

順次連接矩形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是什么四邊形？∴HG=AC21FG=BDEH=BDEH=FG=BD∵四邊形ABCD是矩形EF//ACHG//ACEH//BDFG//BD(四邊相等的四邊形是菱形）求證：四邊形EFGH是菱形ABCDEFGH矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形。（思路：由三角形的中位線定理中的數(shù)量關(guān)系和矩形的對(duì)角線相等推出中點(diǎn)四邊形的四邊相等。）

歸納

我思考,我進(jìn)步2

順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是什么形?觀察猜想并證明EFGHABCD已知:如圖,點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，且AC=BD。求證：四邊形EFGH是菱形思路：由三角形的中位線定理中的數(shù)

量關(guān)系和原四邊形對(duì)角線相等

推出中點(diǎn)四邊形的四邊相等。

對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形為菱形

歸納

小結(jié)：順次連結(jié)菱形四條邊中點(diǎn)，所得的四邊形是矩形。證明：連結(jié)AC、BD∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)。EH//FG∴∠1=90°∴平行四邊形EFGH是矩形同理：HG=AC∴AC⊥BD已知：在菱形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。觀察猜想并證明

我思考,我進(jìn)步3

順次連接菱形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是什么四邊形？∴EF=AC21FG=BDEH=BD∴

EF//HG∴四邊形EFGH是平行四邊形HG//ACEF//ACEH//BDFG//BD(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）ABCDEFGH1∟∟2∟3∵四邊形ABCD是菱形∵FG//BD∴∠1=∠2=90°∵HG//AC∴∠2=∠3=90°求證：四邊形EFGH是矩形菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形。ABCDEFGH∟（思路：由三角形的中位線定理中位置關(guān)系和菱形的對(duì)角線互相垂直推出中點(diǎn)四邊形有直角。）

歸納

我思考,我進(jìn)步3

順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是什么四邊形?觀察猜想并證明ABCDEFGHO已知:如圖,點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，且AC⊥BD。求證：四邊形EFGH是矩形∟思路：由三角形的中位線定理

中位置關(guān)系和菱形的對(duì)角線

互相垂直推出中點(diǎn)四邊形有直角。對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形為矩形

歸納∟∟∟小結(jié)：順次連結(jié)正方形四條邊中點(diǎn)，所得的四邊形是正方形。證明：連結(jié)AC、BD∵G、H分別是CD、DA的中點(diǎn)。EH//FG∴∠1=90°∴平行四邊形EFGH是矩形同理：EF=AC∴AC⊥BDAC=BD已知：在正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。觀察猜想并證明

我思考,我進(jìn)步4順次連接正方形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是什么四邊形？∴GH=AC21FG=BDEH=BD∴

HG//EF∴四邊形EFGH是平行四邊形EF//ACGH//ACEH//BDFG//BD(有一個(gè)角是直角且鄰邊相等的平行四邊形是正方形）∵四邊形ABCD是正方形∵FG//BD∴∠1=∠2=90°∵GH//AC∴∠2=∠3=90°FGABCDHE1∟3∟2∟∵AC=BD，HG=AC，EH=BD∴矩形EFGH是正方形∴HG=EH求證：四邊形EFGH是正方形ABCDEFGH正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形∟（思路：由三角形的中位線定理中數(shù)量和位置關(guān)系和正方形的對(duì)角

線互相垂直

且相等推出中點(diǎn)四邊形四邊相等且有直角。）

歸納

我思考,我進(jìn)步4

順次連接對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是什么四邊形?觀察猜想并證明ABCDEFGHO已知:如圖,點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC=BD且AC⊥BD。求證：四邊形EFGH是正方形∟思路：由三角形的中位線定理

中數(shù)量、位置關(guān)系和原

四邊形的對(duì)角線互相垂

直且相等推出中點(diǎn)四邊

形四邊相等且有直角。）對(duì)角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形為正方形

歸納∟∟∟結(jié)合一系列的證明過(guò)程，小組討論并思考：ABCHDEFGDBCAGEFG∟

我思考,我進(jìn)步5

中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的哪些線段有關(guān)？是與它們的位置還是數(shù)量有關(guān)？（2）要使中點(diǎn)四邊形是菱形，原四邊形一定要是矩形嗎？

原四邊形兩條對(duì)角線中點(diǎn)四邊形形狀互相垂直相等互相垂直且相等既不互相垂直也不相等矩形菱形正方形平行四邊形

中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形，但它是否特殊的平行四邊形取決于原四邊形的兩條對(duì)角線是否垂直或者是否相等，與是否互相平分無(wú)關(guān).練習(xí)結(jié)論：駛向勝利的彼岸如圖：四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，順次連接四邊ABCD的中點(diǎn)得到四邊形A1B1C1D1，依次類推，得到四邊形AnBnCnDn；挑戰(zhàn)自我駛向勝利的彼岸如圖：四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，AC⊥BD，(1)四邊形A1B1C1D1是_____，四邊形A2B2C2D2是___，四邊形A11B11C11D11____；矩形矩形菱形挑戰(zhàn)自我駛向勝利的彼岸四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，(2)四邊形A1B1C1D1的周長(zhǎng)是_____。四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)是_____。四邊形A3B3C3D3的周長(zhǎng)是_____。四邊形A4B4