高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題3 突破點8 回歸分析、獨立性檢驗 理-人教高三數(shù)學試題

突破點8回歸分析、獨立性檢驗提煉1變量的相關性(1)正相關：在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域．(2)負相關：在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域．(3)相關系數(shù)r：當r>0時，兩變量正相關；當r<0時，兩變量負相關；當|r|≤1且|r|越接近于1，相關程度越高，當|r|≤1且|r|越接近于0，相關程度越低.提煉2線性回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為線性回歸方程，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))稱為樣本中心點.提煉3獨立性檢驗(1)確定分類變量，獲取樣本頻數(shù)，得到列聯(lián)表．(2)求觀測值：k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).(3)根據(jù)臨界值表，作出正確判斷．如果k≥kα，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α，否則就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”．回訪1變量的相關性1．(2015·全國卷Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結論中不正確的是()圖8-1A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關D對于A選項，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對于B選項，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確．對于C選項，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關，故選D.]2．(2012·全國卷)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1D樣本點都在直線上時，其數(shù)據(jù)的估計值與真實值是相等的，即yi＝eq\o(y,\s\up6(^))i，代入相關系數(shù)公式r＝eq\r(1－\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝1.]3．(2015·全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．圖8-2eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，w]＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8))eq\o(,\s\do4(i＝1))wi.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\a\vs4\al(\x\to(u)).解](1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.2分(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關于w的線性回歸方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，4分所以y關于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).6分(3)①由(2)知，當x＝49時，年銷售量y的預報值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.8分②根據(jù)(2)的結果知，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.10分所以當eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.12分回訪2獨立性檢驗4．(2012·遼寧高考)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：圖8-3將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：K2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635解](1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計75251002分將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得k＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈3.030.因為3.030<3.841，所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關.6分(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為eq\f(1,4).8分由題意知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，從而X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)10分E(X)＝np＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).12分熱點題型1回歸分析題型分析：高考命題常以實際生活為背景，重在考查回歸分析中散點圖的作用、回歸方程的求法和應用，難度中等.在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5組數(shù)據(jù)，得到一個變量y關于x的回歸方程模型，其對應的數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521(1)試作出散點圖，根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝eq\f(k,x)＋m哪一個適宜作為變量y關于x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立變量y關于x的回歸方程；(3)根據(jù)(2)中所求的變量y關于x的回歸方程預測：當x＝3時，對應的y值為多少？(保留四位有效數(shù)字)解](1)作出變量y與x之間的散點圖，如圖所示，2分由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關系，那么y＝eq\f(k,x)＋m適宜作為變量y關于x的回歸方程模型.4分(2)由(1)知y＝eq\f(k,x)＋m適宜作為變量y關于x的回歸方程模型，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt＋m，由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表如下：t4210.50.25y1612521……………6分作出y與t的散點圖，如圖所示．8分由圖可知y與t近似地呈線性相關關系．又eq\o(t,\s\up6(－))＝1.55，eq\o(y,\s\up6(－))＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝94.25，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(2,i)＝21.3125，所以k＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\o(t,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)＝eq\f(94.25－5×1.55×7.2,21.3125－5×1.552)≈4.1344，m＝eq\o(y,\s\up6(－))－keq\o(t,\s\up6(－))＝7.2－4.1344×1.55≈0.8，所以y＝4.1344t＋0.8，所以y關于x的回歸方程為y＝eq\f(4.1344,x)＋0.8.10分(3)由(2)得y關于x的回歸方程是y＝eq\f(4.1344,x)＋0.8，當x＝3時，可得y＝eq\f(4.1344,3)＋0.8≈2.178.12分1．正確理解計算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵．其中線性回歸方程必過樣本中心點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．2．在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值．變式訓練1](2016·石家莊二模)為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：噸)對價格y(單位：千元/噸)和年利潤z的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：x12345y7.06.55.53.82.2(1)求y關于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預測當年產(chǎn)量為多少時，年利潤z取到最大值？(保留兩位小數(shù))參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝5，2分eq\i\su(i＝1,5,x)i＝15，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝25，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝62.7，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝－1.23，eq\o(a,\s\up6(^))＝8.69，4分所以eq\o(y,\s\up6(^))＝8.69－1.23x.6分(2)年利潤z＝x(8.69－1.23x)－2x＝－1.23x2＋6.69x，10分所以當x＝2.72，即年產(chǎn)量為2.72噸時，年利潤z取得最大值.12分熱點題型2獨立性檢驗題型分析：盡管全國卷Ⅰ近幾年未在該點命題，但其極易與分層抽樣、概率統(tǒng)計等知識交匯，是潛在的命題點之一，須引起足夠的重視.(2016·山西四校第二次聯(lián)考)心理學家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男30，女20)，給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：(單位：人)幾何題代數(shù)題總計男同學22830女同學81220總計302050(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關？(2)經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率；(3)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人對她們的答題情況進行全程研究，記丙、丁2名女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望E(X)．附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解題指導]計算keq\o(→,\s\up7(查表))下結論eq\o(→,\s\up7(幾何概型))求概率eq\o(→,\s\up7(超幾何分布))求X的分布列及E(X)．解](1)由表中數(shù)據(jù)得k＝eq\f(50×22×12－8×82,30×20×30×20)＝eq\f(50,9)≈5.556>5.024，2分所以有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關.3分(2)設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x，y分鐘，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5≤x≤7，,6≤y≤8))表示的平面區(qū)域如圖所示．設事件A為“乙比甲先做完此道題”，則x>y滿足的區(qū)域如圖中陰影部分所示.5分由幾何概型可得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,2×2)＝eq\f(1,8)，即乙比甲先解答完的概率為eq\f(1,8).7分(3)由題可知，在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人的方法有Ceq\o\al(2,8)＝28種，其中丙、丁2人沒有一個人被抽到的有Ceq\o\al(2,6)＝15種；恰有一人被抽到的有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,6)＝12種；2人都被抽到的有Ceq\o\al(2,2)＝1種．所以X的可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(15,28)，8分P(X＝1)＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)，9分P(X＝2)＝eq\f(1,28).10分X的分布列為：X012Peq\f(15,28)eq\f(3,7)eq\f(1,28)11分E(X)＝0×eq\f(15,28)＋1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(1,28)＝eq\f(1,2).12分求解獨立性檢驗問題時要注意：一是2