新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3函數(shù)的應(yīng)用一學(xué)案新人教B版必修第一冊

函數(shù)的應(yīng)用(一)

新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)

1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算

語言和工具

2.在實(shí)際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化

數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算

規(guī)律

隨著經(jīng)濟(jì)和社會的發(fā)展，汽車已逐步成為人們外出的代步工具.下面是某地一汽車銷售

公司對近三年的汽車銷售量的統(tǒng)計(jì)表：

年份201820192020

銷量/萬輛81830

結(jié)合以上三年的銷量及人們生活的需要，2021年初，該汽車銷售公司的經(jīng)理提出全年

預(yù)售43萬輛汽車的目標(biāo)……

［問題］(1)在實(shí)際生產(chǎn)生活中，對已收集到的樣本數(shù)據(jù)常采用什么方式獲取直觀信

息？

⑵你認(rèn)為該目標(biāo)能夠?qū)崿F(xiàn)嗎?

知識點(diǎn)常見的幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax-\'b{a,8為常數(shù)，aWO)

二次函數(shù)模型f^x)=ax+bx~\~c{a,b,c為常數(shù)，HWO)

fi(Q，zW?i

22(最9xGDz

分段函數(shù)模型f(力=<

??＞點(diǎn)w點(diǎn)、?

求解函數(shù)應(yīng)用題的程序

1.某物體一天中的溫度7與時間《滿足函數(shù)關(guān)系：7(t)=t3-3t+60,時間的單位是

小時，溫度的單位是℃,2=0表示中午12：00,其前t值為負(fù)，其后t值為正，則上午8

時的溫度是()

A.8℃B.12℃

C.58℃D.18℃

解析：選A求上午8時的溫度，即求￡=—4時的值，所以7(—4)=(-4”-3X(一

4)+60=8.故選A.

2.甲、乙、丙、丁四輛玩具賽車同時從起點(diǎn)出發(fā)并做勻速直線運(yùn)動，m

nr

n乙

O

丙車最先到達(dá)終點(diǎn)，丁車最后到達(dá)終點(diǎn).若甲、乙兩車的S-力圖像如圖所示，則對于丙、

丁兩車的圖像所在區(qū)域，判斷正確的是()

A.丙在III區(qū)域，丁在I區(qū)域B.丙在I區(qū)城，丁在III區(qū)域

c.丙在II區(qū)域，丁在I區(qū)域D.丙在iii區(qū)域，丁在n區(qū)域

解析：選A由圖像可得相同時間內(nèi)丙車行駛路程最遠(yuǎn)，丁車行駛路程最近，即丙在m

區(qū)域，丁在I區(qū)域，故選A.

3.某商品進(jìn)貨單價為45元，若按50元一個銷售，能賣出50個；若銷售單價每漲1

元，其銷售量就減少2個，為了獲得最大利潤，此商品的最佳售價應(yīng)為每個元.

解析：設(shè)漲價x元，銷售的利潤為y元，

則y=(50+為一45)(50—2x)=—2/+401+250

=-2(X-10)2+450,

所以當(dāng)x=10,即銷售價為60元時，y取得最大值.

答案：60

一次函數(shù)模型的應(yīng)用

［例1］(鏈接教科書第122頁例2)某報刊亭從報社買進(jìn)報紙的價格是每份0.24元,賣

出的價格是每份0.40元，賣不掉的報紙可以以每份0.08元的價格退回報社.在一個月(以

30天計(jì)算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社

買進(jìn)的報紙份數(shù)必須相同，試問報刊亭攤主應(yīng)該每天從報社買進(jìn)多少份報紙，才能使每月所

獲得利潤最大，每月最多可獲利多少元？

［解］設(shè)每天從報社買進(jìn)x份(250WxW400)報紙；每月所獲利潤是y元，則每月售出

報紙共(20x+10X250)份；每月退回報社報紙共10X(x—250)份.

依題意得y=(0.40-0.24)X(20^+10X250)—(0.24-0,08)X10(x—250).

即y=0.16(20x+2500)-0.16(10^-2500),

化簡得尸1.6x+800(其中250WE400).

,此一次函數(shù)(y=Ax+6,A=0)的"=1.6>0,

是一個單調(diào)增函數(shù)，再由250W;s<400知當(dāng)x=400時，y取得最大值，此時y=

1.6X400+800=1440(元).

...每天從報社買進(jìn)400份報紙時所獲利潤最大，每月最多可獲利1440元.

利用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的2個注意點(diǎn)

(1)待定系數(shù)法是求一次函數(shù)解析式的常用方法；

(2)當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正時，一次函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時，一次函數(shù)為減函

數(shù).

［跟蹤訓(xùn)練］

車管站在某個星期日保管的自行車和電動車共有3500輛次，其中電動車保管費(fèi)是每輛

一次0.5元，自行車保管費(fèi)是每輛一次0.3元.

(1)若設(shè)自行車停放的輛次為x,總的保管費(fèi)收入為y元，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式；

(2)若估計(jì)前來停放的3500輛次自行車和電動車中，電動車的輛次數(shù)不小于25%,但

不大于40%,試求該車管站這個星期日收入保管費(fèi)總數(shù)的范圍.

解：(1)由題意得

尸0.3x+0.5(3500—==一0.2x+l750(x^N*且0WxW3500).

(2)若電動車的輛次數(shù)不小于25%,但不大于40%,則

3500X(1-40%)<J<3500X(1-25%),

即2100^J<2625.

畫出函數(shù)y=-0.2x+l750(2100WW2625)的圖像(圖略)，可得函數(shù)尸一0.2x+l

750(2100WxW2625)的值域是［1225,1330］,即收入在1225元至1330元之間.

2^二次函數(shù)模型的應(yīng)用

［例2］(鏈接教科書第122頁例3)漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為成加>0),為了保證魚

群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于血以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y和實(shí)

際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>

0).

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；

(2)求魚群年增長量的最大值.

m—vm—v

［解］⑴根據(jù)題意知，空閑率是2故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是/=依?二0W

n

/、?/、，m—xk,k(mk?.,m,

(2)由(1)知，y=kx?--------x9+kx=?x--+—,GWxVm,貝!J當(dāng)時，y

mmm\2.)42

-"口-mk

取得取大值，加*=1.

所以魚群年增長量的最大值為亍.

二次函數(shù)模型主要用來解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等問題，是高考考查的重

點(diǎn).解題時，建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性

等來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題.

［跟蹤訓(xùn)練］

將進(jìn)貨單價為8元的商品按10元一個銷售時，一天可賣出100個.若這種商品的銷售

單價每漲1元，日銷售量減少10個，為了獲得最大利潤，此商品的銷售單價應(yīng)定為多少元？

解:設(shè)銷售單價定為X元，則日銷售量減少(X—10)X10個，那么，日銷售個數(shù)就成了

100-(x—io)X10=200—10x個.

設(shè)獲利為y元，則

y=(x—8)X(200—1Ox)

=10(—x?+28x—160)

=-10(J-14)2+360,

當(dāng)x=14時，％ax=360.

所以為了獲得最大利潤，此商品的銷售單價應(yīng)定為14元.

E對勾函數(shù)模型的應(yīng)用

［例3］(鏈接教科書第123頁例5)某工廠有一段舊墻長14m,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這段舊墻為

一面建造一個平面圖形為矩形，占地面積為126的廠房，工程條件是：①建1m新墻的

費(fèi)用為a元；②修1m舊墻的費(fèi)用為:元；③拆去1m舊墻，用所得的材料建1m新墻的費(fèi)

用為楙元.經(jīng)討論有兩種方案：(D利用舊墻的一段潁15〈14)為矩形廠房的一面；(2)矩形廠

房利用舊墻的一面邊長X214.問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻總費(fèi)用最省？(1)(2)

兩種方案哪個更好？

［解］易知矩形廠房中與舊墻相鄰的一面的邊長為當(dāng)m.設(shè)建墻總費(fèi)用為y元.

X

(1)利用舊墻的一段加(點(diǎn)14)為矩形廠房的一面，則修舊墻的費(fèi)用為x元，將剩余的

舊墻拆得的材料建新墻的費(fèi)用為(14—x)元，

其余建新墻的費(fèi)用為14%元.

故總費(fèi)用為尸:?a+寧?a+,+等T4).=

(0<X14).

Y36

當(dāng)且僅當(dāng)彳=一，即x=12時，p取得最小值，%in=35a

4x

o7

⑵若矩形廠房利用舊墻的一面邊長X214,則修舊墻的費(fèi)用為"14=1a阮)，建新墻

的費(fèi)用為(2了十卓一14)a元，

故總費(fèi)用為y=-7a+\(2x+~25^2—14：\\a=7-a+2(^+-]2-6-7\、(x214).

1Q/2

令/tx)=x+—(x214),設(shè)14WX2〈X1,貝！！

x

(矛1至—126)

為+m）=（…）

X\X2

?.T4W吊〈不,「.Xi—至＞0,不用＞126.

xi^2—126

從而>0,

XxX2

126,126

??矛1--->x+---.

X12X2

...函數(shù)f（x）=x+T在［14,+8）上為增函數(shù).

故當(dāng)x=14時，p取得最小值，先行=57己+2q（14+不12■6—7、）=35.5a

綜上可知，采用方案（1）,利用12nl的舊墻為矩形廠房的一面時，建墻總費(fèi)用最省，為

353jG?

形如y=x+?a＞0）的函數(shù)模型，我們稱之為“對勾函數(shù)”模型，它是一個奇函數(shù)，在（一

8,—和［/，+8）上是增函數(shù)，在［―0）和（0,，?上是減函數(shù)，應(yīng)用此函數(shù)模

型求解最值時，要注意自變量的最值范圍及取得最值的條件.

［跟蹤訓(xùn)練］

某工廠擬建一座平面圖為矩形且占地面積為200平方米的三級污水處

理池（平面圖如圖所示）.如果池子四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩

道墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米,,水池所用墻的厚度忽略不計(jì).

（1）試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；

（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使

總造價最低，并求出最低總造價.

解：設(shè)污水處理池的長為x米，總造價為y元，則寬為v米，則有

,、200200259200

(1)y=2xX400+—X2X400+——X2X248+80X200=800^+------+1600022

XXX

y800x?259200,,

-------+16000=2X14400+16000=44800,

x

259200

當(dāng)且僅當(dāng)800x=即x=18時，p取得最小值.

x

，當(dāng)污水處理池的長為18米，寬為一“米時總造價最低，最低總造價為44800元.

⑵：?！春?6,O〈WW16,???12.5WA16.

(324'

令O(x)=尸800卜十二-+16000(12.5WxW16).

取任意矛1,生￡［12.5,16］,設(shè)矛i>如

800(xi-X2)(xi至一324)

則0(矛1)—0(范)=800-------------------------<0,

X1X2

「?0（矛1）<0（X2）,故函數(shù)0（X）在［12.5,16］上單調(diào)遞減,

從而有0（x）20（16）=45000,

???當(dāng)污水處理池的長為16米，寬為12.5米時總造價最低，最低總造價為45000元.

分段函數(shù)模型的應(yīng)用

［例4］（鏈接教科書第121頁例1）小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè),

經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入

流動成本為『（X）萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，/（X）=；/+x（萬元）.在年產(chǎn)量不小于8

O

萬件時,/（x）=6x+丁一38（萬元）.每件產(chǎn)品售價為5元.通過市場分析,小王生產(chǎn)的商

品能當(dāng)年全部售完.

（1）寫出年利潤〃x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤=年銷售收

入一固定成本一流動成本）

（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

［解］（1）因?yàn)槊考唐肥蹆r為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，

依題意得：當(dāng)0VxV8時，

當(dāng)才28時，￡(x)=5x—(6x+^~^\(1100'

38I―3=35一1x+*

0VxV8,

所以￡(x)=<

x28.

(2)當(dāng)0<xV8時，￡(x)=一；(x—6)?+9.

此時，當(dāng)x=6時，￡（x）取得最大值￡（6）=9萬元,

100

當(dāng)時，L{x)=35-1^+―k35-2—=35-20=15,

x

當(dāng)且僅當(dāng)k丁時等號成立，

即x=10時，￡(x)取得最大值15萬元.

因?yàn)?<15,所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最

大利潤為15萬元.

1.現(xiàn)實(shí)生活中有很多問題都是用分段函數(shù)表示的，如出租車計(jì)費(fèi)、個人所得稅等，分

段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的重要模型.

2.分段函數(shù)的每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，因此可以先將其看成幾個問題，

將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

［跟蹤訓(xùn)練］

某市有46兩家羽毛球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同，/俱樂部

每塊場地每小時收費(fèi)6元；8俱樂部按月付費(fèi)，一個月中20小時以內(nèi)(含20小時)每塊場地

收費(fèi)90元，超過20小時的部分，每塊場地每小時2元，某企業(yè)準(zhǔn)備下個月從這兩家俱樂部

中的一家租用一塊場地開展活動，其活動時間不少于12小時，也不超過30小時.

(1)設(shè)在/俱樂部租一塊場地開展活動x小時的收費(fèi)為f(x)元(12W啟30),在6俱樂

部租一塊場地開展活動x小時的收費(fèi)為g(x)元(12W啟30),試求f(x)與g(x)的解析式；

(2)問該企業(yè)選擇哪家俱樂部比較合算，為什么？

解：(l)f(x)=6x,12^^30.

［90,12W后20,

g(x)—|

〔50+2x,20K30.

⑵①當(dāng)12WE20時，6x=90,解得x=15,

當(dāng)12W當(dāng)15時，f(x)<g(x)；

當(dāng)x=15時，f(x)=g(x)；

當(dāng)15〈xW20時，f(x)>g(x).

②當(dāng)20〈xW30時,f(x)〉g(x).

...當(dāng)12Wx〈15時，選/俱樂部比較合算；

當(dāng)x=15時，兩家俱樂部一樣合算；

當(dāng)15〈矛(30時，選8俱樂部比較合算.

1.隨著海拔高度的升高，大氣壓強(qiáng)下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量y(g/m3)

與大氣壓強(qiáng)x(kPa)成正比例函數(shù)關(guān)系.當(dāng)x=36kPa時，y=108g/m3,則y與x的函數(shù)關(guān)

系式為()

A.y=3x(x20)B.y—3x

1,、、1

C.y=-x{x^O）D.y=~x

oo

解析：選A由題意設(shè)y=4x（AW0）,將（36,108）代入解析式可得A=3,故尸3x,考

慮到含氧量不可能為負(fù)，可知xNO.

2.某地固定電話市話收費(fèi)規(guī)定：前三分鐘0.20元（不滿三分鐘按三分鐘計(jì)算），以后每

加一分鐘增收0.10元（不滿一分鐘按一分鐘計(jì)算），那么某人打市話用時550秒，應(yīng)支付電

話費(fèi)（）

A.1.00元B.0.90元

C.1.20元D.0.80元

解析：選B尸0.2+0.IX（［x］—3）（［x］是不小于x的最小整數(shù)，x>3）,令故

[^r]=10,則y=0.9.

3.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，為了降低消耗，現(xiàn)要

從這些邊角料上截取矩形鐵片（如圖所示）.當(dāng)截取的矩形面積最大時，

矩形兩邊的長x,P應(yīng)為（）

A.x=15,y=12

B.x=12,y=15

C.x=14,y=10

D.x=10,y=14

Y24—v4x

解析：選A結(jié)合題圖，可得指=