專訓2-常用構造中位線的五種方法

階段方法技巧訓練（一）專訓2常用構造中位線的五種方法習題課

三角形的中位線具有兩方面的性質：一是位置上的平行關系，二是數(shù)量上的倍分關系．因此，當題目中給出三角形兩邊的中點時，可以直接連出中位線；當題目中給出一邊的中點時，往往需要找另一邊的中點，作出三角形的中位線．1方法連接兩點構造三角形的中位線1．如圖，點B為AC上一點，分別以AB，BC為邊在AC

同側作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，點P，M，N分別為AC，AD，CE的中點．(1)求證：PM＝PN；(2)求∠MPN的度數(shù)．證明：(1)如圖，連接CD，AE.

由三角形中位線定理可得PM

CD，PNAE.∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.＝∥＝∥解：(2)如圖，設PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.

又∵∠DQH＝∠BQA，∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.

易證四邊形PFHG為平行四邊形，∴∠MPN＝120°.2已知角平分線+垂直構造中位線方法2．如圖，在△ABC中，點M為BC的中點，AD為△ABC

的外角平分線，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，

求DM的長．如圖，延長BD，CA交于N.由題易知∠NAD＝∠BAD，∠ADN＝∠ADB＝90°.又AD＝AD，∴△AND≌△ABD.∴DN＝DB，AN＝AB.又∵M為BC的中點，∴DM為△BNC的中位線，∴DM＝

NC＝(AN＋AC)＝(AB＋AC)＝15.解：3．如圖，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平

分∠BAC，BD⊥AD于點D，點E為BC的中點，求DE的長．如圖，延長BD交AC于點F，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．∴AF＝AB＝6，BD＝FD.∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.∵E為BC的中點，∴DE是△BCF的中位線．∴DE＝

CF＝×4＝2.解：3倍長法構造三角形的中位線方法4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M為AF的中點，求證：ME＝

CF.如圖，延長FE至N，使EN＝EF，連接BN，AN.易得ME＝

AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中，∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.∴ME＝

AN＝

CF.證明：4已知一邊中點，取另一邊中點構造三角形的中位線方法5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F(xiàn)分

別為CA，CB上一點，CE＝CF，M，N分別為AF，BE的中點，求證：AE＝

MN.如圖，取AB的中點H，連接MH，NH，則MH＝

BF，NH＝

AE.∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.∴MH＝NH.∵點M，H，N分別為AF，AB，BE的中點，∴MH∥BF，NH∥AE.∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.∴NH＝

MN.∴AE＝2NH＝2×MN＝

MN.證明：6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點P是AD的中點，延長BP交AC于點N，求證：AN＝

AC.5已知兩邊中點，取第三邊中點構造三角形的中位線方法如圖，取NC的中點H，連接DH，過點H作HE∥AD，交BN的延長線于E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D為BC的中點．又∵H為NC的中點，∴DH∥BN.又∵PD∥E