(完整版)工程非線(xiàn)性振動(dòng)學(xué)習(xí)總結(jié)-文檔

東北大學(xué)《非線(xiàn)性振動(dòng)》學(xué)習(xí)總結(jié)第一章非線(xiàn)性振動(dòng)的定性分析方法1.1穩(wěn)定性理論的基本概念特定的運(yùn)動(dòng)成為系統(tǒng)的未受干擾的運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，而受擾運(yùn)動(dòng)則是偏離穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義有：穩(wěn)定的、漸進(jìn)穩(wěn)定、不穩(wěn)定李雅普諾夫直接方法的理論基礎(chǔ)由三個(gè)定理組成：（1）若能夠早可謂征訂函數(shù)V(x)，使得沿?cái)_動(dòng)方程解曲線(xiàn)計(jì)算的全導(dǎo)數(shù)V為半負(fù)定或等于零，則系統(tǒng)的未擾運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。（2）若能構(gòu)造可微正定函數(shù)V(x)，使得沿?cái)_動(dòng)方程解曲線(xiàn)計(jì)算的全導(dǎo)數(shù)V為負(fù)定，則系統(tǒng)的未擾運(yùn)動(dòng)漸進(jìn)穩(wěn)定。（3）若能構(gòu)造可微正定、半正定函數(shù)V(x)，使得沿?cái)_動(dòng)方程解曲線(xiàn)計(jì)算的全導(dǎo)數(shù)V為正定，則系統(tǒng)的未擾運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定。定理：若保守系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡狀態(tài)處有孤立極小值，則平衡狀態(tài)穩(wěn)定。對(duì)于復(fù)雜的非線(xiàn)性系統(tǒng)，可以以近似的線(xiàn)性系統(tǒng)代替可以根據(jù)一次近似方程的穩(wěn)定性，判斷原方程的穩(wěn)定性：（1）若一次方程的所有本征實(shí)部均為負(fù)，則原方程的零解漸進(jìn)穩(wěn)定（2）若一次近似方程至少有一本征實(shí)部為正，則原方程的零解不穩(wěn)定（3）若一次近似方程存在零實(shí)部的本征值，其余根的實(shí)部為負(fù)，則不能判斷原方程的零解的穩(wěn)定性1.2相平面、相軌跡和奇點(diǎn)與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)的像平面上的點(diǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)的相點(diǎn)，相點(diǎn)的移動(dòng)軌跡稱(chēng)為相軌跡。像平面內(nèi)能使方程右邊分子分母同時(shí)為零的特殊點(diǎn)稱(chēng)為相軌跡的奇點(diǎn)。保守系統(tǒng)的相軌跡有以下特點(diǎn)：（1）相軌跡曲線(xiàn)相對(duì)橫坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)；（2）勢(shì)能曲線(xiàn)z=V(x)與橫坐標(biāo)軸的平行線(xiàn)z=E交點(diǎn)的橫坐標(biāo)C1，C2，C3，處，相軌跡與橫坐標(biāo)軸相交；（3）橫坐標(biāo)軸上與勢(shì)能曲線(xiàn)的駐點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)S1，S2，S3，為奇點(diǎn)，因?yàn)樗麄儩M(mǎn)足幾點(diǎn)的定義；（4）在勢(shì)能取極小值處，設(shè)E>V（S1），則在x=S1的某個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)都有E大于等于V（x）。這種類(lèi)型的奇點(diǎn)是穩(wěn)定的，稱(chēng)為中心。（5）在勢(shì)能取極大值的點(diǎn)x=S2處，設(shè)E小于V(S2)則在區(qū)間（C1，C2），內(nèi)沒(méi)有對(duì)應(yīng)的相軌跡，這種類(lèi)型的奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的，稱(chēng)為鞍點(diǎn)。通過(guò)鞍點(diǎn)的相軌跡稱(chēng)為分割線(xiàn)。在勢(shì)能曲線(xiàn)的拐點(diǎn)x=S3，奇點(diǎn)為退化的鞍點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定的平衡態(tài)保守系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡狀態(tài)處有非孤立極小值，則平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。線(xiàn)性系統(tǒng)存在等時(shí)性。分段線(xiàn)性系統(tǒng)是一類(lèi)特殊的非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)，其恢復(fù)力f（x）為x的分段線(xiàn)性函數(shù)。f（x）=Fsgnx這類(lèi)最簡(jiǎn)單的分段線(xiàn)性恢復(fù)力常見(jiàn)于自動(dòng)控制系統(tǒng)，稱(chēng)為邦邦控制。具有線(xiàn)性恢復(fù)力的保守系統(tǒng)的相軌跡為橢圓族。對(duì)于更復(fù)雜的分段線(xiàn)性系統(tǒng)，其相軌跡可由直線(xiàn)、拋物線(xiàn)和橢圓線(xiàn)拼接形成。定理：如果區(qū)域f（xs，μ）>0位于曲線(xiàn)f（xs，μ）=0的上方，則平衡位置穩(wěn)定，奇點(diǎn)為中心。如果f（xs，μ）=0的下方，則平衡位置不穩(wěn)定，起點(diǎn)為鞍點(diǎn)。曲線(xiàn)是那個(gè)dμ/dxs為零或取不定值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)μ=μ1，μ2，μ3，都具有臨界性質(zhì)，因?yàn)楫?dāng)μ經(jīng)過(guò)這些點(diǎn)時(shí)，奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)和類(lèi)型都發(fā)生突變，因此μ1，μ2，μ3，就是相軌跡的分叉點(diǎn)。若f（x，μ）為線(xiàn)性函數(shù)，則不存在分叉點(diǎn)，所以分叉現(xiàn)象只發(fā)生于非線(xiàn)性系統(tǒng)。1.2.5相軌跡的作圖法等傾線(xiàn)法：另方程右邊等于常數(shù)C，得到（x，y）兩平面內(nèi)以C為參數(shù)的曲線(xiàn)族，稱(chēng)為相軌跡的等傾線(xiàn)族。列納法：只用于線(xiàn)性恢復(fù)力的特殊情形1.2.6耗散系統(tǒng)的自由振動(dòng)1、粘性阻尼運(yùn)動(dòng)過(guò)程伴隨能量耗散的機(jī)械系統(tǒng)稱(chēng)為耗散系統(tǒng)，如帶有粘性阻尼活干摩擦的系統(tǒng)。圖a相軌跡是朝原點(diǎn)趨緊的螺線(xiàn)，它圍繞奇點(diǎn)（遠(yuǎn)點(diǎn)）轉(zhuǎn)動(dòng)卻始終達(dá)不到奇點(diǎn)的位置，這類(lèi)奇點(diǎn)稱(chēng)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為衰減振動(dòng)。圖b相軌跡尚未完成繞奇點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周既接近奇點(diǎn)，這類(lèi)奇點(diǎn)稱(chēng)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為衰減的非往復(fù)運(yùn)動(dòng)。耗散系統(tǒng)的c必須為正數(shù)，若c為負(fù)值，則意味著系統(tǒng)的總機(jī)械能不僅沒(méi)有耗散，相反，不斷從外界取得能量。這種特殊情況稱(chēng)為負(fù)阻尼。負(fù)阻尼系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，相軌跡為不斷向外擴(kuò)展的螺線(xiàn)或射線(xiàn)。這類(lèi)奇點(diǎn)稱(chēng)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)或不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)2、干摩擦相軌跡線(xiàn)為由半徑遞減的半圓組成的螺線(xiàn)，x軸上區(qū)間（-F，F(xiàn)）內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)而構(gòu)成干摩擦的死區(qū)。1.3奇點(diǎn)的分類(lèi)1.3.1平面動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)設(shè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的普遍形式為含兩個(gè)狀態(tài)變量的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)成為平面動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，或簡(jiǎn)稱(chēng)平面系統(tǒng)。右邊不含時(shí)間t而稱(chēng)為平面自治系統(tǒng)。其中為狀態(tài)變量，選擇適當(dāng)?shù)腡可是變換后的J稱(chēng)為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，矩陣J與A有相同的本征值1.3.2線(xiàn)性系統(tǒng)的奇點(diǎn)類(lèi)型分別對(duì)以下不同情形討論矩陣J的本征值與奇點(diǎn)的關(guān)系：1、J有不同的本征值λ1，λ2相軌跡為指數(shù)曲線(xiàn)族。α<0即λ1，λ2異號(hào)時(shí)，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)，α>0即λ1，λ2同號(hào)時(shí)，奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定性可以利用式來(lái)判斷，λ1，λ2同為負(fù)號(hào)時(shí)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，λ1，λ2同為正號(hào)時(shí)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。2、J有二重實(shí)本征值λ1=λ2若λ1=0，則相軌跡與u2軸重合，。若λ1≠0，當(dāng)t→∞時(shí)u2/u1無(wú)限增大，du2/du1→∞，及所有的相軌跡都趨向于u2軸相切，奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定性用式來(lái)判斷，λ1>0時(shí)不穩(wěn)定，λ1<0時(shí)穩(wěn)定。3、J有共軛負(fù)本征值λ1，2=α±iβ相軌跡為圍繞奇點(diǎn)的螺線(xiàn)，奇點(diǎn)為焦點(diǎn)。焦點(diǎn)的穩(wěn)定性用式判斷α<0時(shí)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，α>0時(shí)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。對(duì)于α=0的特殊情形，相軌跡轉(zhuǎn)化為橢圓奇點(diǎn)為中心。1.3.3奇點(diǎn)的分類(lèi)準(zhǔn)則線(xiàn)性變換后的變量與變換前的變量x為線(xiàn)性同構(gòu)，他們的奇點(diǎn)的類(lèi)型完全相同。起點(diǎn)的不同類(lèi)型由參數(shù)p和Δ完全確定：Δ>0：λ1，2為不等實(shí)根；若p>0,則λ1，λ2同號(hào)，奇點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，p<0穩(wěn)定，p>0不穩(wěn)定。若q<0，則λ1，λ2異號(hào)，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。若q=0.，即A為奇異情形，則λ1，2出現(xiàn)零根，相軌跡為平行直線(xiàn)族。奇點(diǎn)為退化情形Δ=0：λ1，2為重根。奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)。P<0穩(wěn)定,P>0不穩(wěn)定Δ<0：λ1，2為共軛復(fù)根。若p=0，奇點(diǎn)為中心，p≠0，奇點(diǎn)為焦點(diǎn)，p<0穩(wěn)定，P>0不穩(wěn)定。1.4極限環(huán)1.4.1瑞利方程和范德波爾方程極限環(huán)：其運(yùn)動(dòng)微分方程的解在相平面上所確定的相軌跡是一條孤立的封閉曲線(xiàn)自激振動(dòng)是一種與極限環(huán)相對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)。瑞利方程：范德波爾方程：1.4.2閉軌跡的穩(wěn)定性定義：若給定任意小的正數(shù)ε，存在正數(shù)δ，使得在初始時(shí)刻t=t0，從閉軌跡Γ的任一側(cè)距離δ處出現(xiàn)的受擾相軌跡上的點(diǎn)在t>t0時(shí)從留在閉軌跡Γ的距離ε以?xún)?nèi)，則稱(chēng)未擾閉軌跡為穩(wěn)定。反之不穩(wěn)定。若未擾閉軌跡穩(wěn)定，且受擾軌跡與未擾閉軌跡距離當(dāng)t→∞時(shí)趨近于零，則稱(chēng)無(wú)擾閉軌跡為漸進(jìn)穩(wěn)定。極限環(huán)的穩(wěn)定性也可以利用點(diǎn)映射概念說(shuō)明：在相平面內(nèi)做線(xiàn)段L使在任何位置均不與相軌跡相切，稱(chēng)為無(wú)切點(diǎn)線(xiàn)段。從L上任一點(diǎn)P出發(fā)的相軌跡若再一次與線(xiàn)段L相交，稱(chēng)交點(diǎn)P’為P的后繼點(diǎn)。設(shè)P和P’相對(duì)于L上的參考點(diǎn)O的坐標(biāo)為s和s’，則s’是s的函數(shù)，稱(chēng)為后繼函數(shù)，此函數(shù)建立起線(xiàn)段L上得點(diǎn)P與后繼點(diǎn)P’之間的點(diǎn)映射關(guān)系。定義為P與P’的距離，若飛f（s0）=s0或d（s0）=0，則s0是點(diǎn)映射的不動(dòng)點(diǎn)，即過(guò)該點(diǎn)的相軌跡為閉軌跡。若d（s0）=0，而d’（s0）≠0，則為Γ孤立閉軌跡，即極限環(huán)。d’（s0）<0，時(shí)為Γ穩(wěn)定極限環(huán)，d’（s0）>0，為不穩(wěn)定極限環(huán)。極限環(huán)也有可能出現(xiàn)一側(cè)穩(wěn)定但另一側(cè)不穩(wěn)定的情形，稱(chēng)為半穩(wěn)定極限環(huán)。更普遍的意義下，若，且，則稱(chēng)Γ為k的重極限環(huán)。k=1時(shí)稱(chēng)為單重極限環(huán)，若k為奇數(shù)，且，則Γ穩(wěn)定；Γ不穩(wěn)定。若k為偶數(shù)，則為Γ半穩(wěn)定。穩(wěn)定或不穩(wěn)定的單重極限環(huán)也成為雙曲閉軌。1.4.3閉軌跡存在的必要條件（1）封閉相軌跡內(nèi)部至少有一個(gè)奇點(diǎn)（2）若只有一個(gè)奇點(diǎn)，則此奇點(diǎn)必須是中心、焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)（3）若有幾個(gè)奇點(diǎn)，則奇點(diǎn)指數(shù)的代數(shù)和為+1，即鞍點(diǎn)的數(shù)目必須比其他奇點(diǎn)的數(shù)目少11.4.4閉軌跡存在的充分條件若平面自治系統(tǒng)在環(huán)形域D的邊界上的相軌跡均由外向內(nèi)進(jìn)入D域，且D域內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)，則在D域內(nèi)存在穩(wěn)定極限環(huán)。1.4.5閉軌跡不存在條件對(duì)于用式描述的平面自治系統(tǒng)，如果在單連通域D內(nèi)P，Q有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且為常號(hào)函數(shù)，則在D域內(nèi)必不存在閉軌跡。1.4.6閉軌跡穩(wěn)定性定理若平面自治系統(tǒng)的閉軌跡Γ的特征指數(shù)h<0，則閉軌跡Γ穩(wěn)定；若h>0，則Γ不穩(wěn)定。第二章非線(xiàn)性振動(dòng)的近似解析方法近似解析方法的研究對(duì)象多為弱非線(xiàn)性系統(tǒng)，通常是尋求非線(xiàn)性系統(tǒng)可能存在的周期解。2.1諧波平衡法2.1.1諧波平衡法概述諧波平衡法的基本思想是將振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)項(xiàng)和方程的解都展成傅里葉級(jí)數(shù)。從物理意義考慮，為保證系統(tǒng)的作用力與慣性力的各階諧波分量自相平衡，必須令動(dòng)力學(xué)方程兩端的同階諧波的系數(shù)相等，從而得到包含未知系數(shù)的一系列代數(shù)方程，以確定待定的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。討論以下普遍形式的非線(xiàn)性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)：不是一般性，設(shè)F(t)為偶函數(shù)，且不含常值分量。另一種敘述方式稱(chēng)為伽遼金法根據(jù)虛功原理，得到：伽遼金法只要求此等式在每個(gè)周期內(nèi)的平均意義上成立。2.1.2弱非線(xiàn)性系統(tǒng)但自由度弱非線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)為：ε是足夠小的獨(dú)立參數(shù)，稱(chēng)為小參數(shù)方程所表示的線(xiàn)性系統(tǒng)成為原非線(xiàn)性系統(tǒng)的派生系統(tǒng)，ω0為派生系統(tǒng)的固有頻率。派生系統(tǒng)的解稱(chēng)為派生解。方程的解稱(chēng)為基本解。2.1.3達(dá)芬系統(tǒng)的自由振動(dòng)達(dá)芬系統(tǒng)就是打分方程描述的系統(tǒng)。對(duì)于弱非線(xiàn)性情形，以三項(xiàng)系數(shù)ε為小參數(shù)，動(dòng)力學(xué)方程為：2.1.4達(dá)芬系統(tǒng)的受迫振動(dòng)相位差與頻率的關(guān)系式為：線(xiàn)性系統(tǒng)的相頻特性是該式ε=0的特殊情形2.1.6跳躍現(xiàn)象當(dāng)激勵(lì)頻率從零開(kāi)始緩慢的增大時(shí)，受迫振動(dòng)振幅從圖2.3的點(diǎn)A處沿幅頻特性曲線(xiàn)連續(xù)變化至點(diǎn)B處，在增大頻率，則振幅從點(diǎn)B突降至C點(diǎn)。這種振幅突然變化的線(xiàn)性稱(chēng)為跳躍現(xiàn)象，是非線(xiàn)性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象之一。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨著參數(shù)變化而發(fā)生突然變化的現(xiàn)象稱(chēng)為動(dòng)態(tài)分岔。2.2正規(guī)攝動(dòng)法2.2.1攝動(dòng)法概述按小參數(shù)ε的冪次展開(kāi)的近似計(jì)算方法，稱(chēng)為攝動(dòng)法或小參數(shù)法。討論由以下帶小參數(shù)的動(dòng)力學(xué)方程描述的但自由度非自治系統(tǒng)：當(dāng)ε=0時(shí)，方程退化為固有頻率為w0的線(xiàn)性方程：即原系統(tǒng)的派生系統(tǒng)。實(shí)際使用小參數(shù)法，由于計(jì)算工作量隨著冪次的增高而迅速增加，因此往往只取級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)。2.2.2遠(yuǎn)離共振的受迫振動(dòng)討論達(dá)芬系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的受迫振動(dòng)，動(dòng)力學(xué)方程為：其中激勵(lì)頻率ω遠(yuǎn)離派生系統(tǒng)的固有頻率ω0?；鞠到y(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律為：省略號(hào)為更高階的近似解。與線(xiàn)性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)比較，非線(xiàn)性系統(tǒng)在ω頻率的激勵(lì)作用下，所產(chǎn)生的響應(yīng)中不僅包含ω頻率的受迫振動(dòng)，而且有3ω，5ω，等頻率高次諧波同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)為倍頻響應(yīng)，是非線(xiàn)性系統(tǒng)的有一特有現(xiàn)象。2.2.3多頻激勵(lì)的受迫振動(dòng)設(shè)硬彈簧系統(tǒng)同時(shí)受到兩個(gè)頻率不同的間歇激勵(lì)，激勵(lì)頻率ω1和ω2都遠(yuǎn)離派生系統(tǒng)的固有頻率，動(dòng)力學(xué)方程為：解為：除了激勵(lì)頻率ω1和ω2及其倍數(shù)之外，還存在2ω1+ω2、ω1+2ω2、|2ω1-ω2|、|ω1-2ω2|，等組合頻率，這種從根本上不服從線(xiàn)性系統(tǒng)疊加原理的頻率耦合現(xiàn)象，是非線(xiàn)性系統(tǒng)的又一重要特征。2.2.4久期項(xiàng)問(wèn)題以達(dá)芬系統(tǒng)為例，其自由振動(dòng)方程為：整理后得：于是出現(xiàn)了激勵(lì)頻率和固有頻率相同的共振情況。隨時(shí)間不斷增長(zhǎng)的項(xiàng)稱(chēng)為久期項(xiàng)。久期項(xiàng)的出現(xiàn)反映了正規(guī)攝動(dòng)法的缺陷，而各種改進(jìn)方法稱(chēng)為奇異攝動(dòng)法。2.3林滋泰德-龐加萊法2.3.1達(dá)芬系統(tǒng)的自由振動(dòng)基本思想是認(rèn)為非線(xiàn)性系統(tǒng)的固有頻率ω并不等于派生系統(tǒng)的固有頻率ω0，而也應(yīng)該是小參數(shù)ε的未知函數(shù)。應(yīng)將頻率ω寫(xiě)成ε的冪級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)的待定系數(shù)根據(jù)周期運(yùn)動(dòng)的要求依次確定。將原系統(tǒng)的解展成ε的冪級(jí)數(shù)：自由振動(dòng)頻率也展成ε的冪級(jí)數(shù)，整理后得到，為避免次方程的解中出現(xiàn)久期項(xiàng)，以保證x1(t)的周期性，必須令方程右邊的cosψ項(xiàng)的系數(shù)等于零，同理可得，周期解中除基頻為ω的諧波以外，還有頻率為3ω，5ω的高次諧波存在，是非線(xiàn)性系統(tǒng)區(qū)別于線(xiàn)性系統(tǒng)的有一本質(zhì)特點(diǎn)。在聲學(xué)中，這些高次諧波稱(chēng)為泛音。2.3.2接近共振的受迫振動(dòng)討論帶微阻尼的達(dá)芬系統(tǒng)接近共振的受迫振動(dòng)。設(shè)激勵(lì)力的幅值與小參數(shù)ε同數(shù)量級(jí)，動(dòng)力學(xué)方程為：整理后得到：避免次方程的解中出現(xiàn)久期項(xiàng)以保證響應(yīng)的周期性，并得到幅頻關(guān)系式：2.3.3亞諧波共振當(dāng)達(dá)芬系統(tǒng)的派生系統(tǒng)固有頻率w0接近于激勵(lì)頻率的三分之一時(shí)，也可能發(fā)生強(qiáng)烈的共振現(xiàn)象，稱(chēng)為三分之一次亞諧波響應(yīng)，或三分之一次亞諧波共振。2.4平均法2.4.1弱非線(xiàn)性系統(tǒng)的自由振動(dòng)如果所要求的精度只限于ε的一次項(xiàng)，則可采用更為有效的方法直接求出一次近似解，這就是非線(xiàn)性振動(dòng)解析方法的依次近似理論，其中最主要的方法是平均法。但如果當(dāng)ε充分小時(shí)，實(shí)際觀(guān)察到原系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與周期運(yùn)動(dòng)十分接近，只是振幅和初相角隨時(shí)間t緩慢變化。平均發(fā)的物理本質(zhì)：在每一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中認(rèn)為運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但第二個(gè)周期的振幅和初相角與第一個(gè)周期相比，已經(jīng)發(fā)生了微小的改變。平均化方程就是描述振幅和初相角變化規(guī)律的微分方程。也可形象的認(rèn)為，簡(jiǎn)化方程是計(jì)算振動(dòng)過(guò)程的包絡(luò)線(xiàn)方程。平均化方程：式中P和Q的定義為：2.4.2動(dòng)相平面以x和為坐標(biāo)建立相平面（x，y），可以認(rèn)為（x1，y1）平面以角速度平面相對(duì)（x，y）平面以角速度ω0勻速旋轉(zhuǎn)。我們將（x1，y1）平面稱(chēng)為動(dòng)相平面。2.4.3諧波線(xiàn)性化方法忽略其他高次諧波時(shí)，可將函數(shù)寫(xiě)為：整理后得到線(xiàn)性方程：方程成為線(xiàn)性常系數(shù)常微分方程，從而簡(jiǎn)化為線(xiàn)性系統(tǒng)的自由振動(dòng)問(wèn)題，這種近似解析方法稱(chēng)為諧波線(xiàn)性化法。2.4.4弱非線(xiàn)性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)弱非線(xiàn)性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)，寫(xiě)為：化為自治形式的一階微分方程：系統(tǒng)的振幅特性：系統(tǒng)的相頻特性：此線(xiàn)性擾動(dòng)方程的本征方程為：其中2.4.5達(dá)芬系統(tǒng)1、達(dá)芬系統(tǒng)的自由振動(dòng)達(dá)芬系統(tǒng)的自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)頻率為打分方程的諧波線(xiàn)性化方程：2、達(dá)芬系統(tǒng)的受迫振動(dòng)其微分方程為：幅頻特性和相頻特性關(guān)系式為：圖2-2周期分叉的時(shí)間波形，相軌跡f=0.25圖2-3混沌狀態(tài)的時(shí)域波形和相平面圖f=0.36當(dāng)大于0.826時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入大尺度的周期運(yùn)動(dòng)如圖2-4所示，此時(shí)0.826為由混沌轉(zhuǎn)為周期運(yùn)動(dòng)的閥值。相軌跡將焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)統(tǒng)統(tǒng)圍住，其對(duì)應(yīng)的Poincaré映射亦為不動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)f為0.826時(shí)，系統(tǒng)處于由混沌轉(zhuǎn)為周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài),2-4穩(wěn)定周期狀態(tài)的時(shí)域波形，相平面圖f=0.8262.3.1Duffing方程的改進(jìn)—-受迫Duffing方程在混沌運(yùn)動(dòng)基本特性研究中曾經(jīng)指出：只有3個(gè)或3個(gè)以上變量的自治的非線(xiàn)性系統(tǒng)才有可能作混沌運(yùn)動(dòng)。而上一節(jié)介紹的Duffing系統(tǒng)是二維自治系統(tǒng)，因?yàn)槎S自治系統(tǒng)在相平面上的軌線(xiàn)不相交，這就注定二維自治系統(tǒng)只可能趨于定點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)，或者作閉曲線(xiàn)的周期運(yùn)動(dòng)。從這一點(diǎn)看，二維的Duffing系統(tǒng)是不能出現(xiàn)混沌的。因此，有必要對(duì)Duffing系統(tǒng)作必要的改進(jìn)，使之成為能夠產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)。常用的手段是給Duffing系統(tǒng)加上周期性策動(dòng)力fcosωt，使系統(tǒng)維數(shù)增加到三維。改進(jìn)后的Duffing方程稱(chēng)為受迫Duffing方程，如下式所示：2.4.6分段線(xiàn)性系統(tǒng)1、分段線(xiàn)性系統(tǒng)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)的微分方程為：導(dǎo)出：G(α)的定義為：2、分段線(xiàn)性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)其動(dòng)力學(xué)方程為：積分得到：2.5多尺度法2.5.1多尺度法概述為了提高平均法的計(jì)算精度，將時(shí)間尺度劃分的更為精細(xì)，由此發(fā)展出多尺度法。與攝動(dòng)法相比，多尺度法的明顯優(yōu)點(diǎn)是不僅能計(jì)算周期運(yùn)動(dòng)，而且能計(jì)算耗散系統(tǒng)的衰減運(yùn)動(dòng)；不僅能計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而且能計(jì)算非穩(wěn)態(tài)過(guò)程；也可以分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性，描繪非自治系統(tǒng)的全局運(yùn)動(dòng)性態(tài)。2.5.2達(dá)芬系統(tǒng)的自由振動(dòng)達(dá)芬方程的二階近似解：其中2.5.3達(dá)芬系統(tǒng)的受迫振動(dòng)其動(dòng)力方程為：經(jīng)整理后，得到幅頻關(guān)系式為2.5.4達(dá)芬系統(tǒng)的超諧波共振派生系統(tǒng)的固有頻率ω0接近激勵(lì)頻率ω時(shí)產(chǎn)生的共振現(xiàn)象稱(chēng)為主共振。實(shí)踐中還可以觀(guān)察到ω0接近激勵(lì)頻率的整數(shù)倍或分?jǐn)?shù)倍時(shí)出現(xiàn)的共振現(xiàn)象，分別稱(chēng)為超諧波共振和亞諧波共振，或統(tǒng)稱(chēng)為次共振。方程可寫(xiě)為：經(jīng)整理后，得到：在ω0≈ω或ω0≈ω/3時(shí)也可能出現(xiàn)次共振現(xiàn)象，分別稱(chēng)為三次超諧波共振和三分之一次亞諧波共振。超諧波共振情況下，ω0頻率的自由振動(dòng)振幅并不衰減為零。超諧波共振的峰值不僅與激勵(lì)力的幅值和阻尼系數(shù)有關(guān)，而且是非線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)α的函數(shù)。超諧波共振也存在與主共振類(lèi)似的跳躍現(xiàn)象。2.6漸進(jìn)法2.6.1漸進(jìn)方程組將平均法與攝動(dòng)法相結(jié)合形成一種新方法，稱(chēng)為漸進(jìn)法。討論自治的弱非線(xiàn)性系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)方程為：我們所關(guān)心的只是當(dāng)ε充分小時(shí)，取級(jí)數(shù)解前m項(xiàng)偉近似解，能否在足夠長(zhǎng)的時(shí)間范圍內(nèi)與精確解相近。整理后，得到漸進(jìn)方程組：其中2.6.2漸近解在一次近似方程中，是ψ的周期為2π的函數(shù)，可展成傅里葉級(jí)數(shù)：整理后，可求出：平均化方法是漸進(jìn)法的一次近似特例。同理，對(duì)于也可求出：2.6.3遠(yuǎn)離共振的受迫振動(dòng)討論受周期激勵(lì)的弱非線(xiàn)性系統(tǒng)：弱非線(xiàn)性系統(tǒng)可能在滿(mǎn)足時(shí)發(fā)生共振。弱非線(xiàn)性系統(tǒng)的共振通常有以下三種類(lèi)型：k=l=1,ω0≈ω：固有頻率ω0接近激勵(lì)頻率ω，即主共振k=1,ω0≈ω/l，固有頻率ω0接近激勵(lì)頻率ω的分?jǐn)?shù)倍，即亞諧波共振l=1,ω0≈kω，固有頻率ω0接近激勵(lì)頻率ω的整數(shù)倍，即超諧波共振討論遠(yuǎn)離共振的受迫振動(dòng)，可得到漸進(jìn)方程組：其中2.6.4接近共振的受迫振動(dòng)受激勵(lì)后發(fā)生共振的方程為：經(jīng)整理后，得到漸進(jìn)方程組：其中2.7多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)2.7.1非線(xiàn)性多自由度系統(tǒng)的研究方法對(duì)于弱非線(xiàn)性的多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)，諧波平衡法、平均法、多尺度法和漸進(jìn)法等近似解析方法都可以使用。對(duì)強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng)，需要先求的與之相近而又精確可積的非線(xiàn)性系統(tǒng)的精確解，然后對(duì)精確的非線(xiàn)性解進(jìn)行攝動(dòng)。對(duì)于非線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)，數(shù)值-解析方法的應(yīng)用有兩種途徑，一是對(duì)空間變量作出家丁，然后利用模態(tài)的正交性或伽遼金方法得到含對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的非線(xiàn)性二階常微分方程組。另一種是對(duì)時(shí)間關(guān)系做出假定，然后利用諧波平衡法導(dǎo)出描述空間性質(zhì)的非線(xiàn)性微分方程的邊值問(wèn)題，通常用含迭代過(guò)程的數(shù)值方法求解。第三章自激振動(dòng)自激振動(dòng)靠系統(tǒng)外的來(lái)源補(bǔ)充能量，但能量是恒定的而不同于受迫振動(dòng)。振動(dòng)頻率和振幅均由系統(tǒng)的物理參數(shù)確定，與初始條件無(wú)關(guān)。能產(chǎn)生自激振動(dòng)的系統(tǒng)必為非線(xiàn)性系統(tǒng)。3.1.1自激振動(dòng)的產(chǎn)生自振系統(tǒng)：接受外界的能量補(bǔ)充，但能源是恒定的，而不是周期變化的。系統(tǒng)已自己的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為調(diào)節(jié)器。這類(lèi)系統(tǒng)能自主地從定長(zhǎng)的能源汲取能量。當(dāng)輸入的能量與耗散的能量達(dá)到平衡時(shí)，系統(tǒng)即可維持等振幅振動(dòng)，稱(chēng)為自激振動(dòng)。自振系統(tǒng)由三部分組成：耗散的振動(dòng)系統(tǒng)，恒定的能源，受系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)反饋的調(diào)機(jī)器3.1.2自激振動(dòng)的特征（1）振動(dòng)過(guò)程中，存在能量的輸入與耗散，因此自振系統(tǒng)為非保守系統(tǒng)。（2）能源恒定，能量的輸入僅受運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即振動(dòng)系統(tǒng)的位移和速度的調(diào)節(jié)，因此自振系統(tǒng)不顯含時(shí)間變量，為自治系統(tǒng)。（3）振動(dòng)的特征量，如頻率和振幅，由系統(tǒng)的物理參數(shù)確定，與初始條件無(wú)關(guān)。（4）自治的線(xiàn)性系統(tǒng)只能產(chǎn)生衰減自由振動(dòng)，無(wú)耗散時(shí)也只能產(chǎn)生振幅由初始條件確定的等幅自由振動(dòng)。因此自振系統(tǒng)必為非線(xiàn)性系統(tǒng)。（5）自激振動(dòng)的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互關(guān)系。若振幅偏離穩(wěn)態(tài)值時(shí)，能量的增減能促使振幅回至穩(wěn)態(tài)值，則自激振動(dòng)穩(wěn)定。反之，自激振動(dòng)不穩(wěn)定。3.2工程中的自激振動(dòng)3.2.1時(shí)鐘原理振動(dòng)系統(tǒng)是帶干摩擦的重力擺，恒定的能量來(lái)源是發(fā)條機(jī)構(gòu)，調(diào)節(jié)器是特殊設(shè)計(jì)的擒縱機(jī)構(gòu)。這種機(jī)構(gòu)能保證擺在指定位受干摩擦作用的單擺微幅振動(dòng)的相軌跡與§1.2中討論的受干摩擦作用的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)（圖2.2）相同。當(dāng)y>0時(shí)是以（-F,0）為圓心的圓，y<0時(shí)，是以（F,0）為圓心的圓。設(shè)相點(diǎn)從起始位置（ξ,0）開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，相軌跡方程為在x=α處，擺受沖擊前的速度為受沖擊后，擺有能量增量ΔE，即從而導(dǎo)出沖擊后擺的速度：沖擊后，相點(diǎn)從（α,-y2）沿半徑增大了的圓繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，相軌跡方程為將式（3.2.2）和式（3.2.4）代入上式，整理為相點(diǎn)到達(dá)x軸時(shí)的坐標(biāo)為（-η,0）。令式（3.2.6）中的x=-η，y=0,求出為在平面（ξ,η）上作曲線(xiàn)（3.2.7）及直線(xiàn)η=ξ（圖2.4），此二曲線(xiàn)的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為若相點(diǎn)從點(diǎn)（ξP,0）出發(fā)運(yùn)動(dòng)，則繞原點(diǎn)一周后必回至原處，形成孤立的封閉相軌跡，即極限環(huán)。從圖2.4可看出，無(wú)論相點(diǎn)的初始坐標(biāo)ξ大于或小于ξP，以后都朝點(diǎn)P趨近。表明極限環(huán)內(nèi)的相軌跡不斷向外貼近極限環(huán)，極限環(huán)外的相軌跡不斷向內(nèi)貼近極限環(huán)，從而證明極限環(huán)是穩(wěn)定的。這種構(gòu)造的鐘只要收到微小的沖擊使擺幅到達(dá)x=±α處接受擒縱機(jī)構(gòu)的沖擊，就能自動(dòng)產(chǎn)生并維持穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。上述自激振動(dòng)的成因還可以從能量的觀(guān)點(diǎn)解釋。設(shè)每次沖擊的輸入能量ΔE為常值。由于干摩擦為常值，每個(gè)往復(fù)耗散的能量必與擺動(dòng)幅度成正比。作出輸入能量及耗散能量隨運(yùn)動(dòng)幅度的變化曲線(xiàn)，二曲線(xiàn)的交點(diǎn)即與穩(wěn)定的自激振動(dòng)相對(duì)應(yīng)。3.2.2干摩擦自振由干摩擦激發(fā)引起的自激振動(dòng)是生活中的常見(jiàn)現(xiàn)象。提琴弓子摩擦琴弦產(chǎn)生的音樂(lè)或推門(mén)時(shí)軸承產(chǎn)生的噪音都是干摩擦自振現(xiàn)象。工程中的典型例子是車(chē)刀在切削時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)。要解釋這種現(xiàn)象必須考慮滑動(dòng)摩擦力隨相對(duì)速度v變化非線(xiàn)性關(guān)系φ(v)，如圖2.7所示。圖中表明當(dāng)靜摩擦轉(zhuǎn)化為動(dòng)摩擦?xí)r，摩擦力突然下降，然后隨相對(duì)速度的增加而緩慢地上升。當(dāng)相點(diǎn)沿線(xiàn)段P1P2運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑塊相對(duì)平臺(tái)的相對(duì)速度為零，這時(shí)平臺(tái)咬住滑塊以速度v0一同勻速運(yùn)動(dòng)。待彈簧恢復(fù)力隨彈簧變形增長(zhǎng)得足以克服靜摩擦力時(shí)，滑塊開(kāi)始相對(duì)平臺(tái)向后滑動(dòng)，并在摩擦力作用下不斷減速，直到相對(duì)速度減至零，平臺(tái)再次咬住滑塊，則上述過(guò)程重復(fù)發(fā)生。在此系統(tǒng)中，等速移動(dòng)的平臺(tái)將恒定的能源通過(guò)滑塊與平臺(tái)之間的干摩擦特性的調(diào)節(jié)作用輸入滑塊，使滑塊維持穩(wěn)定的自激振動(dòng)。各種實(shí)際的干摩擦現(xiàn)象都可以從以上簡(jiǎn)單模型的分析得到解釋。在工程中，滑塊與平臺(tái)之間時(shí)而粘住時(shí)而滑動(dòng)的不連續(xù)爬行現(xiàn)象，可在機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中發(fā)生。利用潤(rùn)滑劑使干摩擦轉(zhuǎn)化為粘性摩擦，則干摩擦自振現(xiàn)象自然消失。3.2.3輸電線(xiàn)舞動(dòng)被冰層覆蓋的輸電線(xiàn)在水平陣風(fēng)作用下可產(chǎn)生強(qiáng)烈的上下抖動(dòng)，振幅可達(dá)一二米而導(dǎo)致嚴(yán)重事故。這種自激振動(dòng)現(xiàn)象稱(chēng)為輸電線(xiàn)舞動(dòng)。截取一小段電線(xiàn)為集中質(zhì)量，以無(wú)振動(dòng)時(shí)線(xiàn)段的質(zhì)心平衡位置O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系（Oxy），質(zhì)心C的垂直坐標(biāo)為y（圖2.12）。當(dāng)風(fēng)速為v0的水平陣風(fēng)吹來(lái)時(shí)，其相對(duì)輸電線(xiàn)的相對(duì)速度v為其中j為y軸的單位矢量。設(shè)α為攻角，及速度v與水平軸x的夾角。則有由于輸電線(xiàn)的圓形斷面被冰層覆蓋成為非圓形的不規(guī)則形狀，因此陣風(fēng)對(duì)輸電線(xiàn)不僅產(chǎn)生沿v方向的阻力Fd，同時(shí)產(chǎn)生于v垂直的升力FL。根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，阻力與升力的變化規(guī)律為其中ρ為空氣密度、l為斷面的特征長(zhǎng)度，cd，cL分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)。小攻角時(shí)空氣動(dòng)力沿y軸的垂直分量Fy近似為其中cy隨攻角α變化的非線(xiàn)性規(guī)律如圖2.13所示，代入式（3.2.20）后，F(xiàn)y隨α的變化可近似以三次多項(xiàng)式模擬：設(shè)m為線(xiàn)段的質(zhì)量，線(xiàn)段兩端拉力合成的彈性恢復(fù)力的剛度系數(shù)為k，風(fēng)力Fy以式（3.2.18）代入，導(dǎo)出輸電線(xiàn)段在風(fēng)力作用下沿y軸運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為瑞利方程：其中因此輸電線(xiàn)舞動(dòng)現(xiàn)象可用瑞利方程的極限環(huán)解釋。3.2.4管內(nèi)流體喘振輸水管道系統(tǒng)內(nèi)的流體在一定流速范圍內(nèi)發(fā)生的強(qiáng)烈振動(dòng)也是一種自激振動(dòng)。擰開(kāi)水龍頭時(shí)自來(lái)水管內(nèi)的水流與水管的耦合振動(dòng)常伴隨強(qiáng)烈的噪音。這種自激振動(dòng)稱(chēng)為流體喘振。利用動(dòng)量定理列寫(xiě)管內(nèi)水流的動(dòng)力學(xué)方程：管內(nèi)水流的流量為q=S1v，水泵的輸出水流的壓強(qiáng)p1和阻力Fd均為流量q的函數(shù)。令函數(shù)的實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)如圖2.15所示。導(dǎo)管與容器連接處的壓強(qiáng)p2取決于容器內(nèi)的水面高度h，設(shè)q0為容器的出水流量，則流體的連續(xù)性要求：將方程（3.2.25）各項(xiàng)對(duì)t求導(dǎo)，并將式(3.2.26),（3.2.27）和（3.2.28）代入，化為導(dǎo)出q穩(wěn)態(tài)值為q=q0，此時(shí)進(jìn)入容器與流出容器的流量完全相等，若圖2.15中q0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(q0)恰好位于特性曲線(xiàn)的斜率為正的拐點(diǎn)處，則在q=q0附近，函數(shù)f(q)可近似表示為令x=q-q0，方程（3.2.29）即化作范德波爾方程：其中因此喘振現(xiàn)象也可用范德波爾方程的極限環(huán)解釋。在輸水管道系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中應(yīng)避免正常流量q0與特性曲線(xiàn)f(q)的正斜率相對(duì)應(yīng)，以防止管內(nèi)流體喘振。3.3自激振動(dòng)的定性分析瑞利方程或范德波爾方程可產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)。極限環(huán)的幾何形狀取決于非線(xiàn)性參數(shù)ε的大小。當(dāng)ε足夠小時(shí)，系統(tǒng)接近線(xiàn)性，零斜率等傾線(xiàn)與y軸接近重合，極限環(huán)的形狀接近于圓形，自激振動(dòng)接近于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可稱(chēng)為擬簡(jiǎn)諧振動(dòng)。討論ε→∞的極限情形。引入新的變量ξ=x/ε，將方程（1.4.3）化為當(dāng)ε→∞時(shí)，（ξ,y）相平面內(nèi)除了零斜率等傾線(xiàn)上各點(diǎn)的斜率為零外，向量場(chǎng)的每一點(diǎn)的斜率都接近于無(wú)窮大。因此，極限環(huán)只能由零斜率等傾線(xiàn)的一部分與兩條垂直線(xiàn)組成。相應(yīng)的y波形為斷續(xù)的，x波形為鋸齒形。這種與簡(jiǎn)諧振動(dòng)完全不同的周期運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為張弛振動(dòng)。3.2.2張弛振動(dòng)的物理解釋從能量觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，對(duì)擬簡(jiǎn)諧振動(dòng)和張弛振動(dòng)進(jìn)行比較。ε足夠小時(shí)，自振系統(tǒng)與保守系統(tǒng)十分接近。保守系統(tǒng)的總機(jī)械能由動(dòng)能和勢(shì)能組成，在振動(dòng)過(guò)程中能量在動(dòng)能和勢(shì)能兩個(gè)儲(chǔ)能器之間周期性交換，表現(xiàn)為振動(dòng)的簡(jiǎn)諧性。接近保守系統(tǒng)的自振系統(tǒng)的波形自然也接近簡(jiǎn)諧。當(dāng)ε極大時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程的慣性項(xiàng)可近似地忽略，也可以認(rèn)為系統(tǒng)總機(jī)械能中的動(dòng)能部分可以忽略。系統(tǒng)只有一個(gè)勢(shì)能儲(chǔ)能器，因此自激振動(dòng)只有兩個(gè)階段，即儲(chǔ)能和放能。整個(gè)過(guò)程是張與弛的交替，表現(xiàn)為斷續(xù)的張弛振動(dòng)?？捎靡粋€(gè)直觀(guān)模型解釋張弛振動(dòng)（圖3.3）。將虹吸管嵌在漏斗的塞子中，水自水龍頭注入漏斗，當(dāng)水位達(dá)到一定高度時(shí)，虹吸管開(kāi)始作用，水由漏斗流出，待水位將到一定高度時(shí)，虹吸管停止作用，漏斗又重新積水。水量作鋸齒形振蕩，總流量作斷續(xù)振蕩。這種張弛振動(dòng)可從自然界中的間歇泉中觀(guān)察到。再以干摩擦自振為例。當(dāng)滑塊與平臺(tái)粘著時(shí)，滑塊的動(dòng)能固定不變，而彈簧勢(shì)能不斷增加，成為單儲(chǔ)能器系統(tǒng)，振動(dòng)為張弛性。但當(dāng)彈簧恢復(fù)力大于靜摩擦力時(shí)，滑塊跳脫平臺(tái)作相對(duì)滑動(dòng)，系統(tǒng)又成為雙儲(chǔ)能器系統(tǒng)，振動(dòng)接近簡(jiǎn)諧性。因此，干摩擦自振為簡(jiǎn)諧振動(dòng)與張弛振動(dòng)的綜合。v0較大時(shí)接近于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，v0很小時(shí)接近于張弛振動(dòng)。3.3.3動(dòng)態(tài)分岔研究干摩擦自振現(xiàn)象時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)平臺(tái)以很大速度v0運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能激發(fā)起滑塊的自激振動(dòng)，滑塊在彈簧和干摩擦作用下，在平衡位置附近只能做衰減振動(dòng)。當(dāng)v0減小到某個(gè)臨界值時(shí)，穩(wěn)定的平衡狀態(tài)突然變得不穩(wěn)定而轉(zhuǎn)化為自激振動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨參數(shù)變化而發(fā)生突變的現(xiàn)象稱(chēng)為動(dòng)態(tài)分岔。上述衰減振動(dòng)向自激振動(dòng)的轉(zhuǎn)化在相平面內(nèi)對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定焦點(diǎn)向不穩(wěn)定焦點(diǎn)伴隨極限環(huán)的轉(zhuǎn)變。這種特殊的動(dòng)態(tài)分岔稱(chēng)為霍普夫（E.Hopf）分岔。3.4自激振動(dòng)的定量計(jì)算3.4.1諧波平衡法自激振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型：令范德波爾方程（1.4.2）中的參數(shù)=1，寫(xiě)為只取一次諧波，設(shè)自激振動(dòng)解為代入方程（3.4.1），化為省略號(hào)表示超過(guò)一次的其他高次諧波。從上式導(dǎo)出自激振動(dòng)的頻率和振幅的近似值：表明自激振動(dòng)頻率的近似值等于ε=0時(shí)派生的線(xiàn)性系統(tǒng)的固有頻率0。3.4.2平均法令范德波爾方程（1.4.2）中=1，寫(xiě)為即近似以派生系統(tǒng)的固有頻率0為自激振動(dòng)的頻率，令x=acos(0t-θ)，代入式（2.4.9），積分得到代入方程組（2.4.8），得到積分得到其中a0和θ0為積分常數(shù)。3.4.3多尺度法為適當(dāng)簡(jiǎn)化計(jì)算，令范德波爾方程（1.4.2）中的0=1和=1，寫(xiě)為討論二次近似解。將式（2.5.8），（2.5.4）和（2.5.5）代入方程（3.4.10），令ε的同次冪系數(shù)為零，得到以下線(xiàn)性偏微分方程組：方程（3.4.11a）的解為避免久期項(xiàng)出現(xiàn)，要求則從方程（3.4.13）解出將式（3.4.12）和（3.4.15）代入方程（3.4.11c）的右邊，得到為避免久期項(xiàng)出現(xiàn)，要求：則方程（3.4.16）的解為為確定復(fù)函數(shù)A，從條件（3.4.14）和（3.4.17）解出D1A和D2A代入式（2.5.18）表示的A對(duì)t的導(dǎo)數(shù)，得到A應(yīng)滿(mǎn)足的常微分方程：將復(fù)函數(shù)A寫(xiě)成與式（2.5.20）相同的指數(shù)形式：代入方程（3.4.20），將實(shí)虛部分開(kāi)，得到將方程（3.4.22a）兩邊乘以a，可化為積分得到整理后得到方程（3.4.22b）可利用方程（3.4.22a）改寫(xiě)為可積分得到將式（3.4.25）和（3.4.27）代入式（3.4.21），再代入式（3.4.12），（3.4.15）和（3.4.18）等式，最終由式（2.5.8）得到范德波爾方程的二次近似解為其中a和θ的變化規(guī)律分別由式（3.4.25）和（3.4.27）給出。其中振幅變化規(guī)律（3.4.25）與用諧波平衡法計(jì)算的式（3.4.8）完全一致。將式（3.4.29）對(duì)t求導(dǎo)，設(shè)振幅保持穩(wěn)態(tài)值a0，從式（3.4.22b）導(dǎo)出自激振動(dòng)的頻率為上式為考慮二次近似精度時(shí)對(duì)自激振動(dòng)的修正。用多尺度法不僅能算出振幅和頻率，而且能導(dǎo)出近似解（3.4.28）以定量地描述自激振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。3.4.4KMB法仍令范德波爾方程（1.4.2）中的0=1和=1，寫(xiě)為即將代入式（2.6.14a），整理后得到代入方程（2.6.13a），得到周期解條件要求解出整理后得到周期解條件要求解出繼續(xù)計(jì)算至滿(mǎn)足精度要求，得到以及a和ψ應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程：與式（3.4.22）完全一致。從方程（3.4.42）積分得到與式（3.4.25）相同的振幅變化規(guī)律：當(dāng)振幅保持穩(wěn)態(tài)值a0時(shí)，從式（3.4.43）導(dǎo)出自激振動(dòng)的頻率為與多尺度法算出的式（3.4.30）完全一致。3.5自激系統(tǒng)的受迫振動(dòng)3.5.1遠(yuǎn)離共振的受迫振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：利用多尺度法，只考慮一次近似，令將式（3.5.2）和式（2.5.4），（2.5.5）代入方程（3.5.1），導(dǎo)出以下線(xiàn)性方程組：方程（3.5.3a）的零次近似解為頻率0的自由振動(dòng)解與頻率的受迫振動(dòng)解疊加。其復(fù)數(shù)形式為：其中A為表示自由振動(dòng)振幅的未知復(fù)函數(shù)，為復(fù)數(shù)形式的受迫振動(dòng)振幅，和為A和的共軛復(fù)數(shù)，且有將零次近似解（3.5.4）代入一次近似方程（3.5.3b）的右邊，整理后得到從方程（3.5.6）可看出，系統(tǒng)在頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，除產(chǎn)生派生系統(tǒng)固有頻率0的自由振動(dòng)和激勵(lì)頻率的受迫振動(dòng)以外，還產(chǎn)生30，3等倍頻響應(yīng)，以及20+，20-，2+0，2-0等組合頻率響應(yīng)。表明系統(tǒng)除可產(chǎn)生≈0時(shí)的主共振外，還可能出現(xiàn)≈30時(shí)的亞諧波共振，以及≈0/3時(shí)的超諧波共振。對(duì)于非共振情形，為避免方程出現(xiàn)久期項(xiàng)，復(fù)函數(shù)A必須滿(mǎn)足以下條件：其中由于D0A=0，從式（2.5.18）和（3.5.7）導(dǎo)出一次近似意義下A的微分方程：將復(fù)函數(shù)A表示為式（2.5.20）的指數(shù)形式：代入方程（3.5.9），將實(shí)部和虛部分開(kāi)，得到以下方程組將方程（3.5.11a）兩邊乘以a，化為積分后導(dǎo)出方程（3.5.11b）的積分為將式（3.5.13）和式（3.5.14）代入式（3.5.10），再代入方程（3.5.6）的右邊，可以看出，一次近似解的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)取決于參數(shù)η的符號(hào)。當(dāng)η<0，即F0>21/2|02-2|時(shí)，隨著t→∞，a趨近于零，表明自由振動(dòng)趨于衰減，范德波爾方程（3.5.1）受激勵(lì)后的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)為頻率的受迫振動(dòng)。若η>0，即F0<21/2|02-2|，則隨著t→∞，a朝2η1/2趨近，表明穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)中除受迫振動(dòng)以外，還包含0頻率的穩(wěn)態(tài)自由振動(dòng)。由于一般情況下與0不可通約，此穩(wěn)態(tài)自由振動(dòng)為非周期的。上述大激勵(lì)力引起自由振動(dòng)衰減，小激勵(lì)力產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)自由振動(dòng)的結(jié)論明顯不同于§2.1中關(guān)于達(dá)芬系統(tǒng)受迫振動(dòng)的分析。達(dá)芬系統(tǒng)的自由振動(dòng)與激勵(lì)無(wú)關(guān)，而范德波爾系統(tǒng)由于激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)會(huì)通過(guò)非線(xiàn)性項(xiàng)對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行反饋，從而增強(qiáng)了阻尼作用，使自由振動(dòng)受到抑制。3.5.2接近共振的受迫振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為由于與0接近，令2=1+εσ1。利用平均法，將方程（3.5.15）寫(xiě)為其中令x=acos(t-θ)，代入式（2.4.24），積分得到代入式（2.4.28），得到幅頻特性關(guān)系式：在上一節(jié)中已算出自激振動(dòng)的振幅為a0=2。將上式各項(xiàng)除以a022，化為其中方程（3.5.20）在參數(shù)（σ，ρ）平面內(nèi)作出以α為參數(shù)的幅頻特性曲線(xiàn)（圖5.1）。其中穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)的分界線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足?W/?ρ=0。根據(jù)式（3.5.20）算出的分界線(xiàn)為圖5.1中的橢圓，橢圓方程為此橢圓所圍區(qū)域?yàn)椴环€(wěn)定區(qū)域。此外，若本征方程（2.4.32）中的系數(shù)a1<0，則穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)亦不穩(wěn)定。此條件可利用式（2.4.33）對(duì)a1的定義寫(xiě)為即as<21/2或，ρ<1/2。因此圖（5.1）中ρ=1/2直線(xiàn)在激勵(lì)頻率與固有頻率0接近的過(guò)程中，當(dāng)頻率差-0減小到某個(gè)臨界值時(shí)，盡管與0并不嚴(yán)格相等，仍可出現(xiàn)與激勵(lì)頻率相同且振幅足夠大的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。這種響應(yīng)頻率向激勵(lì)頻率靠近的現(xiàn)象稱(chēng)為同步現(xiàn)象。惠更斯最早發(fā)現(xiàn)兩只掛鐘相靠近時(shí)的同步現(xiàn)象。在電子技術(shù)中同步現(xiàn)象得到實(shí)際應(yīng)用，例如利用一個(gè)頻率高度穩(wěn)定的石英振子使一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)與它同步而構(gòu)成石英鐘。從更普遍的意義上理解，月球的自轉(zhuǎn)頻率與繞地球的公轉(zhuǎn)頻率嚴(yán)格相同也可用同步現(xiàn)象加以解釋。月球約27天繞地球運(yùn)行一周，即公轉(zhuǎn)周期；月球自轉(zhuǎn)周期27.32166日。我們看不見(jiàn)月球背面，這種現(xiàn)象我們稱(chēng)“同步自轉(zhuǎn)”3.6多自由度系統(tǒng)的自激振動(dòng)3.6.1電子管振蕩器范德波爾關(guān)于自激振動(dòng)問(wèn)題的研究來(lái)自對(duì)電子管振蕩器回路的分析。圖（6.1）所示的電子管振蕩器由相互耦合的兩個(gè)回路組成?；芈?為由電容C1、電感L1、電阻R1和電子管組成的柵極電路?；芈?由電容C2、電感L2和電阻R2組成。L1與L2之間的電感系數(shù)為N的互感作用使二回路之間產(chǎn)生耦合。此外，板極電路與柵極電路之間也存在電感系數(shù)為M的耦合作用。設(shè)二回路的電流分別為i1和i2，板極電流為ia，利用基爾霍夫定律分別列寫(xiě)二回路的電路微分方程：設(shè)u1，u2為電容C1和C2兩端的電壓降，則有板極電流ia受到柵壓u1的控制，是u1的非線(xiàn)性函數(shù)：利用式（3.6.2），（3.6.3）將方程組（3.6.1）化為u1，u2的借互感系數(shù)N耦合的微分方程組：引入新的變量x1，x2此方程組可化為其中3.6.2自激振動(dòng)的定量計(jì)算先討論ε=0時(shí)的派生系統(tǒng)。設(shè)x10，x20為派生系統(tǒng)的解，應(yīng)滿(mǎn)足以下零次近似方程：此線(xiàn)性微分方程組存在以下特解：其中0為派生系統(tǒng)的固有頻率，是以下本征方程的解：此4次代數(shù)方程的4個(gè)根對(duì)應(yīng)于派生系統(tǒng)的4個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解，可用于構(gòu)成一般解。式（3.6.8）中的模態(tài)參數(shù)為對(duì)于包含非線(xiàn)性因素的原系統(tǒng)，采用林滋泰德-龐加萊方法作近似計(jì)算。為此將方程組（3.6.5）的解x1，x2展成ε的冪級(jí)數(shù)：其中零次近似解x10，x20可根據(jù)式（3.6.8）寫(xiě)為其中ψ=t。將原系統(tǒng)的振動(dòng)頻率也展成ε的冪級(jí)數(shù)：將式（3.6.11），（3.6.12），（3.6.13）代入方程（3.6.5），將原來(lái)對(duì)t的微分符號(hào)改定義為對(duì)ψ的微分，令ε的同次冪的系數(shù)為零，導(dǎo)出以下各階近似的線(xiàn)性方程組：將零次近似解（3.6.12）代入一次近似方程組（3.6.15）的右邊，整理后得到其中為避免此方程組的解中出現(xiàn)久期項(xiàng)以保證運(yùn)動(dòng)的周期性，P，Q，R，S必須滿(mǎn)足以下條件：將式（3.6.17）代入后，導(dǎo)出以下條件：從條件（3.6.19a）解出表明在一次近似意義下，自激振動(dòng)的頻率等于其派生系統(tǒng)的固有頻率0。利用式（3.6.10）消去式（3.6.19b）中的后，解出自激振動(dòng)的振幅第四章參數(shù)振動(dòng)參數(shù)振動(dòng)由外界的激勵(lì)產(chǎn)生，但激勵(lì)不是以外力形式施加于系統(tǒng)，而是通過(guò)參數(shù)內(nèi)參數(shù)的周期性改變間接實(shí)現(xiàn)。由于參數(shù)的時(shí)變性，參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)。描述參數(shù)振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為周期變系數(shù)的常微分方程，因此對(duì)參數(shù)振動(dòng)的研究歸結(jié)于對(duì)變系數(shù)常微分方程組零解穩(wěn)定性的研究。4.1參數(shù)振動(dòng)概述4.1.1參數(shù)振動(dòng)的產(chǎn)生以變長(zhǎng)度擺的參數(shù)振動(dòng)為例，輸入能量與耗散能量曲線(xiàn)的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于周期運(yùn)動(dòng)，但此周期運(yùn)動(dòng)為不穩(wěn)定狀態(tài)。4.1.2參數(shù)振動(dòng)的特征1、參數(shù)振動(dòng)過(guò)程中存在能量的輸入與耗散，因此參變系統(tǒng)為非保守系統(tǒng)2、激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)的作用通過(guò)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)的周期改變實(shí)現(xiàn)，因此參數(shù)系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為周期變系數(shù)的線(xiàn)性常微分方程，一般形式為可將（4.1.1）化為典型形式3、參數(shù)振動(dòng)的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互關(guān)系。若同一周期內(nèi)輸入能量超過(guò)耗散能量，則振幅不斷增大。若輸入能量低于耗散能量，則振幅趨于衰減。周期運(yùn)動(dòng)時(shí)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)與漸進(jìn)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)之間的臨界情況。4.2工程中的參數(shù)振動(dòng)4.2.1受軸向周期力激勵(lì)的直桿橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，即馬蒂厄方程其中4.2.2非圓截面軸的橫向振動(dòng)軸的橫向振動(dòng)方程為亦可化為馬蒂厄方程，其中4.2.3電動(dòng)車(chē)傳動(dòng)軸的扭振傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為也可化為馬蒂厄方程，其中4.2.4人造衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)討論沿橢圓軌道運(yùn)行的人造衛(wèi)星。衛(wèi)星O與地球Oe的質(zhì)心距離r的變化規(guī)律為衛(wèi)星在重力梯度力矩作用下的平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：化為馬蒂厄方程4.3弗洛凱理論4.3.1基本解弗洛凱理論是分析周期變系數(shù)線(xiàn)性常微分方程的解的穩(wěn)定性理論。其一般形式為滿(mǎn)足設(shè)x1（t）和x2（t）為方程（4.3.1）的兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的特解，滿(mǎn)足朗斯基判別式不為零的條件，x1（t）和x2（t）構(gòu)成方程（4.3.1）的基本解。方程（4.3.1）的任何解都可以用基本解的線(xiàn)性組合表示。若x1（t）和x2（t）為方程的基本解，由于x1（t+T）和x2（t+T）也是方程（4.3.1）的解，可以表示為x1（t）和x2（t）的線(xiàn)性組合：寫(xiě)為矩陣形式導(dǎo)出4.3.2正規(guī)解在常系數(shù)常微分方程中，以指數(shù)函數(shù)作為基本解。它具有以下性質(zhì)：其中為復(fù)常數(shù)。零解的穩(wěn)定性由λ的實(shí)部符號(hào)判斷：為漸進(jìn)穩(wěn)定，為不穩(wěn)定，為臨界情況。在周期變系數(shù)微分方程中，雖然找不到指數(shù)函數(shù)特解，但仍有可能找出滿(mǎn)足與（4.3.11）相同條件的特解其中σ也是某個(gè)復(fù)常數(shù)。這種特殊性質(zhì)的特解稱(chēng)為正規(guī)解。找到正規(guī)解以后可利用條件（4.3.11）判斷經(jīng)過(guò)任意周期以后解的變化趨勢(shì)。反復(fù)使用條件（4.3.11）m次，得到因此根據(jù)σ的?？梢耘袛嘟馐欠裼薪?，并依此判斷零解的穩(wěn)定性：若σ為實(shí)數(shù)，則臨界情況δ=±1對(duì)應(yīng)于周期解。δ=+1時(shí)周期為T(mén)，δ=-1時(shí)，周期為2T。將正規(guī)解x（t）表示為基本解x1（t）和x2（t）的線(xiàn)性組合：將式（4.3.8）和（4.3.14）代入式（4.3.11）。整理后得到于x1和x2線(xiàn)性獨(dú)立，其系數(shù)必為零，得到：設(shè)為方程（4.3.16）的系數(shù)矩陣，從α1和α2的非零解條件導(dǎo)出σ的本征方程：將y1和y2代替x1和x2，重復(fù)以上運(yùn)算可導(dǎo)出與（4.3.17）相同的本征方程。因此，當(dāng)微分方程的參數(shù)確定以后，本征方程以及所對(duì)應(yīng)的本正根都唯一被確定。因Q≠0，本征方程（4.3.17）無(wú)零根。根據(jù)條件（4.3.13），若全部本征值的模|δ|均小于1，則零解漸進(jìn)穩(wěn)定；只要其中有一個(gè)本征值的模|δ|大于1，零解必不穩(wěn)定。4.3.3希爾方程的正規(guī)解設(shè)方程（4.3.1）中p（t）≡0，q（t）為周期為T(mén)的周期函數(shù)，即成為希爾方程根據(jù)初始條件（4.3.5）導(dǎo)出基本解x1和x2，代入式（4.3.10）得到矩陣A。由于p（t）≡0從式（4.3.7）導(dǎo)出，則Q=1，本征方程為其中?？山獬霰菊髦捣忠韵聨追N情形討論：（1）|a|>1：δ1和δ2中必有一個(gè)根的值大于1，對(duì)應(yīng)的基本解無(wú)界，零解不穩(wěn)定（2）|a|<1：δ1和δ2為共軛復(fù)根，由于δ1δ2=1，此共軛復(fù)根的模比等于1，方程的基本解有界，零解穩(wěn)定（3）|a|=1：δ1=δ2=±1，其中一個(gè)正規(guī)解是以T或2T為周期的周期解，是穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界情形。因此選擇方程的參數(shù)組合使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)周期為T(mén)或2T的周期運(yùn)動(dòng)，即可在參數(shù)平面內(nèi)作出穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的分界線(xiàn)。4.4穩(wěn)定圖4.4.1方波激勵(lì)的參數(shù)振動(dòng)參數(shù)平面內(nèi)穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的分界線(xiàn)稱(chēng)為參數(shù)振動(dòng)的穩(wěn)定圖。設(shè)希爾方程中參數(shù)q（t）按以下周期為T(mén)的方波規(guī)律變化此參變系統(tǒng)在不同的半周期內(nèi)可用不同的常系數(shù)線(xiàn)性微分方程表示，寫(xiě)為方程（4.4.2a）和（4.4.2b）的通解分別為積分常數(shù)C1，D1，C2和D2由解的連續(xù)性及其正規(guī)解條件（4.3.11）確定將式（4.4.3）代入后，導(dǎo)出從C1，D1，C2和D2的非零解條件導(dǎo)出σ應(yīng)滿(mǎn)足的本征方程：此本征方程與式（4.3.21）相同，其中從本征方程（4.4.7）解出形式與（4.3.22）相同的本征值：根據(jù)上節(jié)的分析，零解得穩(wěn)定性取決于|a|>1或|a|<1,|a|=1為穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界情形。對(duì)于ε=的特殊情形，系統(tǒng)（4.4.2）派生為固有頻率為的線(xiàn)性保守系統(tǒng)，式（4.4.8）簡(jiǎn)化為其中，為派生系統(tǒng)的自由振動(dòng)周期。因此與臨界情形對(duì)應(yīng)的|a|=1條件轉(zhuǎn)化為利用式（4.4.8），（4.4.4）可直接在(δ,ε)參數(shù)平面上畫(huà)出穩(wěn)定區(qū)域的邊界曲線(xiàn)族。令T=π，此穩(wěn)定圖如4.12所示。各曲線(xiàn)與橫坐標(biāo)軸的一系列交點(diǎn)均對(duì)應(yīng)于派生線(xiàn)性系統(tǒng)的自由振動(dòng)。從式（4.4.11）導(dǎo)出，此交點(diǎn)為。由于δ<0,ε=0為支點(diǎn)固定的倒擺，其零解必不穩(wěn)定。只要ε稍稍偏離零值，就可能出現(xiàn)不穩(wěn)定而導(dǎo)致參數(shù)共振。也可以從式（4.4.11）推論：當(dāng)參數(shù)激勵(lì)的周期T等于派生系統(tǒng)的自由振動(dòng)周期T0的n/2(n=1,2,…）時(shí)，就可能產(chǎn)生參數(shù)共振。4.4.2簡(jiǎn)諧激勵(lì)的參數(shù)振動(dòng)討論用馬蒂厄方程表示的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的參數(shù)振動(dòng)，其穩(wěn)定域的邊界曲線(xiàn)必須利用近似解析方法導(dǎo)出漸進(jìn)表達(dá)式。設(shè)激勵(lì)周期T=π，即ω=2。馬蒂厄方程寫(xiě)為ε＝0時(shí)，為保證線(xiàn)性保守系統(tǒng)有周期等于π或者2π的周期解，必須令δ＝n2(n=0,1,2,…），分別對(duì)應(yīng)于線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解sinnt和cosnt。除n=0時(shí)的周期解為常值解以外，n為偶數(shù)時(shí)周期為π，n為奇數(shù)時(shí)周期為2π。利用林滋泰德—龐加萊攝動(dòng)方法，將方程（4.4.12)的解x(t)和參數(shù)δ都要展成ε的冪級(jí)數(shù)代入方程（4.4.12