利用eviews實(shí)現(xiàn)時間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)與協(xié)整檢驗(yàn)以及GARCH模型

在對時間序列丫、X1進(jìn)行回歸分析時需要考慮Y與X1之間是否存在某種切實(shí)的關(guān)系，所以需

要進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)。

1.1利用eviews創(chuàng)建時間序列Y、X1：

打開eviews軟件點(diǎn)擊file-new-workfile,見對話框又三塊空白處workfilestructure

type處又三項(xiàng)選擇，分別是非時間序列unstructured/undate,時間序列dated-regular

frequency,和不明英語balancepanel。選擇時間序歹ijdated-regularfrequency。在date

specification中選擇年度，半年度或者季度等，和起始時間。右下角為工作間取名字和頁數(shù)。

點(diǎn)擊ok。

在所創(chuàng)建的workfile中點(diǎn)擊object-newobject,選擇series,以及填寫名字如丫，點(diǎn)擊OK。

將數(shù)據(jù)填寫入內(nèi)。

1.2對序列Y進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)：

此時應(yīng)對序列數(shù)據(jù)取對數(shù)，取對數(shù)的好處在于可將間距很大的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為間距較小的數(shù)據(jù)。

具體做法是在workfiley的窗口中點(diǎn)擊Genr,輸入logy=log(y),則生成y的對數(shù)序列l(wèi)ogy。

再對logy序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

點(diǎn)擊view-Unitedroottest,testtype選擇ADF檢驗(yàn)，滯后階數(shù)中l(wèi)aglength選擇SIC

檢驗(yàn)，點(diǎn)擊ok得結(jié)果如下：

NullHypothesis:LOGYhasaunitroot

Exogenous:Constant

LagLength:0(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=1)

t-StatisticProb.*

AugmentedDickey-Fullertest

statistic-2.750946017166370.0995139988900359

Testcriticalvalues:1%level-4.29707275602226

5%level-3.21269639026225

10%level-2.74767611540013

當(dāng)檢驗(yàn)值A(chǔ)ugmentedDickey-Fullerteststatistic的絕對值大于臨界值絕對值時，序列

為平穩(wěn)序列。

若非平穩(wěn)序列，則對logy取一階差分，再進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。直到出現(xiàn)平穩(wěn)序列。假設(shè)Dlogy

和DlogXI為平穩(wěn)序列。

1.3對Dlogy和DlogXI進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)

點(diǎn)擊窗口quick-equationestimation,輸入DLOGYCDLOGX1,點(diǎn)擊ok,得到運(yùn)行結(jié)

果，再點(diǎn)擊proc-makeresidualseries進(jìn)行殘差提取得到殘差序列，再對殘差序列進(jìn)行平穩(wěn)

性檢驗(yàn)，若殘差為平穩(wěn)序列，則Dlogy與DlogxI存在協(xié)整關(guān)系。

GARCH模型與應(yīng)用簡介

(2006,5)

0.前言.......................................2

1.GARCH模型...............................7

2.模型的參數(shù)估計(jì)............................16

3.模型檢驗(yàn)..................................27

4.模型的應(yīng)用................................32

5.實(shí)例.......................................42

6.某些新進(jìn)展................................46

參考文獻(xiàn)....................................50

0.前言(隨機(jī)序列的條件均值與條件方差簡介)

考察嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列{%},且E|yt|<oo.記其均值Eyt=H,

協(xié)方差函數(shù)Yk=E{(yt-R(yt+k-R}.其條件期望(或條件均值)：

E(ytlyt」,yt-2,…片(p(yt-i,ytz…)，(0.1)

依條件期望的性質(zhì)有

E(p(yt/,yt.2,…)=E{E(*|yt-i,yt-如??)}=Eyt=g.(0.2)

記誤差(或殘差)：

et=yt-(p(yt-byt-2v).(0.3)

由(0.1)(0.2)式必有：

Eet=Eyt-E(p(yt.1,yt.2,..-)

=Eyt-Eyt=0,(0-均值性)(0.4)

及

Eef2=E[yt-(p(yt”,yt.2,…)]之

2

=E{(yt-|i)-[(p(yt-Byt-2v-)-H]}仲心化)

22

=E(yt-(i)+E[(p(yt-i,yt-2v.?)-g]

?2E(yt叩)[<p(yt”,yt.2,…)叩]

=Yo+Var{(p(yt.i,yt.2v-)}

-2EE{(yt-p)[(p(yt-byt-2,...)-g]Iyt-i,yt-2,…}

(根據(jù)Ex=E{E[x|yt.byt.2,...]})

=Yo+Var{(p(yt.i,yt.2,...)}

-2E{[(p(yt.byt.2,...)-|Li]E[(yt-|Li)|丫.濟(jì)2…]}

(再用E[xx\|/(yt.i,yt-2,—)Iyt-i,yt.2,.-]

=v(yt-i,yt-2,…)E[xIyt-i,yt-2,…];

并取x=(yt-p),v(yt-i?yt-2v?)=[(p(yt-i,yt-2v?)-p];

由(0.1)(0.2)可得)

2

=Yo+Var{(p(yt.i,yt.2,...)}-2E[(p(yt.i,yt-2v)-p]

=Yo-Var{(p(yt.i,yt.2,...)}.(0.5)

即有：

y0=Var(yt)=Var((p(yt.i,yt.2,...))+Var(et).(0.6)

此式表明，yt的方差(=YO)可表示為：回歸函數(shù)的方差

(Var((p(yt.i,yt-2v?)),與殘差的方差(Var(e與之和.

下邊討論et的條件均值與條件方差.

為了符號簡便，以下記Ft.]={ytJ,yt2…}.

首先考慮et的條件均值:

E(et|Ft.i)=E{yt-(p(yt-byt-2,—)IFt-i)

=E(ytIFt.i)-E{(p(yt-byt-2v)I%}

=<p(yt“，yt-2,…)-(p(yt-i,yt-2,-)

=0.(0.7)

再看條件方差:

2

Var(et|Ft.1)=E{[et-E(et|F^)]1Ft4}

2

=E{et1FQ(用(0.7)式)

2

=S(yt-i5yt-2v)?(0?8)

此處出(—&…)為條件方差函數(shù).注意,et的條件均值是零,

2

條件方差是非負(fù)的函數(shù)S(yt-i,yt.2,...),它不一定是常數(shù)！

依(0.3)式，平穩(wěn)隨機(jī)序列｛yj總有如下表達(dá)式：

yt=<p(yt/,yt-2,…)(0.9)

其中q(V川V⑶…)被稱為自回歸函數(shù),不一定是線性的?｛生｝

可稱為新息序列，與線性模型的新息序列不同，除非｛yj是

正態(tài)序列.順便指出，滿足(0.4)式的為鞅差序列,因?yàn)閷?/p>

它的求和是離散的鞅序列.由于｛yj是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列，且

E|yt|<oo,上述推演是嚴(yán)格的，從而｛生｝是嚴(yán)平穩(wěn)的鞅差序歹!].

當(dāng)｛yj有遍歷性時，它也是遍歷的.此處所涉及的抽象概念

可不必深究.

現(xiàn)在將由標(biāo)準(zhǔn)化，即令

仇三e/S(yt-i,yt-2,…)?

則有，

E(st|Ft.i)=E[et/S(yt.i,yt.2v?-)IFt-il

=｛l/S(yt.i,yt.2,...)｝E[et|Ft.1]

=0.(依(0.7)式)(0.10)

以及

222

E(st1Ft.1)=E[et/S(yt.i,yt-2,...)IFt.d

22

=｛l/S(yt-i,yt.2,...)｝E[et1FM](用(0.8))

22

=｛S(yt.i,yt-2v.-)｝/｛S(yt-byt-2v.))

=1.(a.s.)(0.11)

由此可見，佃｝也是平穩(wěn)鞅差序列，與｛.｝相比，｛3的條件方

差為常數(shù)1.于是(0.9)式可寫為：

yt=(p(yt-i,yt-2,...)+5(丫b1品.如??)5，(0.12)

此式可稱為條件異方差自回歸模型,所謂條件異方差就是指:

條件方差S2(ym,yt.2,…)不為常數(shù).請注意，條件異方差自回

歸模型與下文中的自回歸條件異方差模型是不同的概念！

*還有一點(diǎn)很重要，如果(0.9)模型具有可逆性，那么，

Var(etIFt.i)=Var(et|丫仁即方…)

=Var(etlet.i,et.2,...)

=h(et.i,et-2v-)-(0.13)

因此，模型(0.12)式又可些成

yt=^p(yt-i,yt-2>,e,)+h(?！?)

請注意，模型(0.12)(0.14)式是

普遍適用(或稱萬用)的模型!

但是，為便于研究建模理論，在(0.12)式中還附加假定：

我與｛yt」,yt-2,…｝相互獨(dú)立！

此假定是實(shí)質(zhì)性的，人為的.

它對仇｝的概率分布有實(shí)質(zhì)性的限制.

還須指出：若在(0.9)式中直接假定生與｛yt」,yt-2,…｝獨(dú)立,

此假定除了上述的人為性含義外，還增多了如下假定：

2

Var(et1丫口品⑵…):Var(et?)=常數(shù).(0.15)

這里用了條件期望的一條性質(zhì)，即當(dāng)X與Y獨(dú)立時，

E(X|Y)=EX.

大家要問，為什么加這些人為的假定呢？

讓我們回顧一下這些假定演變的歷程吧.

在文獻(xiàn)中(0.9)式生先后被假定為：

且N(0,O2)”，(1943-)

且0-均值-方差有窮”，(I960-)

“鞅差序列，且條件方差S2(...)=常數(shù)”，(1970-)

"et=S(yt4,yt.2,...)et,但｛仇｝為i.i.d.N(0,。與序列，

而且S(y』yt.2,…)為有限參模型”，(1982??)

w

et=S(yt.i,yt.2,…)￡t，但｛7｝為i.i.d.序列

而且S(yu,ytz…)為有限參模型”。(2000-)

究其根源，主要是受時間序列統(tǒng)計(jì)理論知識的限制.

以上專門討論了的定義,性質(zhì),和人為限制的歷程.

但是，這里也順便提一下自回歸函數(shù)…)的發(fā)展史,

大致如下(不細(xì)論)：

線性一非線性參數(shù)一半?yún)?shù)f非參數(shù)。

在以上的討論中，使用記號9(y.Rz…)，是為了突出普適性.

在文獻(xiàn)中和實(shí)際應(yīng)用中，所考慮的①(yt」,yt.2,…)的形式很簡

單.半個多世紀(jì)來，雖說有了很大的改進(jìn)，但是，與最一般

的＜P(yt」,yt-2,…)還有很大差距.

類似的討論也適用S(yt.byt.2,...).也是為了突出普適

性，才引入了記號S(y』yt.2,…)和模型(012)(0.14).在文獻(xiàn)中

和實(shí)際應(yīng)用中，直到近二十來年才考慮了不為常數(shù)的

§@“怎一2,...)的簡單情況--小區(qū)d1模型.近幾年來，也在向著

半?yún)?shù)，非參數(shù)方面發(fā)展.但是，與最一般的S(ytj,yt.2,...)也

還相差甚遠(yuǎn).

1.ARCH與GARCH模型

1.1.概述

在條件異方差模型問世以前，時間序列分析主要討論自

回歸結(jié)構(gòu)，或者說，主要討論中國.1怎.2,…)的有關(guān)內(nèi)容.當(dāng)條

件異方差模型問世后，在時間序列分析中，特別是建模分析

中，就包含了兩個內(nèi)容,一個與(p(yt-i,yt-2,…)有關(guān)；另一個與

有關(guān).如何統(tǒng)計(jì)分析它們，是擺在我們面前的主

要問題.對此問題，通常作法是：分兩步完成，先按平穩(wěn)序

列建模方法，對①…)建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ停热鏏R模型；

由此獲得彌合的殘差序列，把它當(dāng)做新息序列｛臣｝的樣本值,

再對它進(jìn)行條件異方差建模分析.分兩步完成有方便之處,

其一，做第一步時，由于｛ej是鞅差序列，其建模有理論根據(jù).

其二，在介紹條件異方差建模時，可以只討論中心.1怎.2,...)=0

的情況.這并無損失，還便于理解條件異方差概念.其實(shí),

還有一言，在金融統(tǒng)計(jì)中，專門考慮條件異方差建模問題,

也有一定的實(shí)際背景.

綜上所說，我們將專門討論如下的鞅差平穩(wěn)序列，即,

E(ytlyt-i，yt-2，?「)m(p(yt-i，yt-2，???)=0?(11)

2

Var(yt|yt”,yt.2,…>S(yM,yt.2,...)>0.(1.2)

換句話說，考慮如下的(0.9)模型

yt=et,(1.3)

它的標(biāo)準(zhǔn)化的模型(0.12)為

yt=S(yt”,yt.2,…而(1-4)

請注意，這一模型幾乎含蓋了所有的條件異方差模型.我們

不可能泛泛地討論它.再請回看對鞅差序列佃｝的限制的歷

程，以下我們要講的恰好是：

"et=S(yt.byt.2,...)st,但｛仇｝為i.i.d.N(0,。序列，

而且S(yt.bytz…)為有限參模型“，(1982-).

再新的內(nèi)容，我們也將提到.至此，大家完全明白我們將要

討論什么樣的序列.

為說明該序列的某些特征，先看一看序列佃｝的自協(xié)方

差函數(shù)序列：

Ye(k)=Eet+ket=E[E(et+ket|et+k-i,et+k-2,???)]

=E[etE(et+k|et+k-i,et+k-2,??J]

=E｛etx0｝=0,k>l.

可見，平穩(wěn)鞅差序列也是白噪聲.根據(jù)自協(xié)方差序列做平穩(wěn)

序列的建模和譜分析時，除了判斷(p(yt」,yt.2,...)=0夕卜，幾乎

無話可說.換句話說，相關(guān)性分析和譜分析不能對(L4)式的

序列作出更深刻的分析.為了進(jìn)一步獲得它的深入的結(jié)構(gòu)特

征，必須引入新的概念和新的方法.

1.2.ARCH(p)模型.

(ARCH—AutoregressiveConditionalHeteroscedasticity)

在金融界，大量的數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)不可預(yù)報性，相當(dāng)于前

面的(0.9)或(0.12)式中的中仇.1/.2,…)=0,于是有興趣研究

(1.4)模型.Engle(1982)首先提出并使用了如下的有限參數(shù)模

型：

yt=S(yt_],yt-2，…)￡t三%%,(L5)

222

ht=ao+aiyt.i+?2yt-2+...+apyt-P,(L6)

ao>O,ai>0,i=l,2,...,p.

其中｛幻為i.i.d.的序歹!],￡t~N(0,1),且力與｛yt/，八2,…｝獨(dú)立,

2

為了簡化記號，記ht=S(yt.i,yt-2,…)?

此模型被稱為自回歸條件異方差模型,簡記ARCH(p),

其中P表示模型的階數(shù).

很明顯，此模型只是普遍適用的(1.4)式模型的子類，因

為，在ARCH模型中對模型(1.4)添加了很多的人為限制.

為了增進(jìn)對ARCH模型的了解，我們將作幾點(diǎn)明，以代

替嚴(yán)格的推理論述.

其一，限定｛臣｝為i.i.d.序列！這是很強(qiáng)的限制，這是由于

現(xiàn)有理論的基楚所限.

其二，限定條件方差有(1.6)式的簡單形式，即

2

ht=S(yt.i,ytz…)=ao+aiyt/+a2yt.2?+…+apyt.p2,

是為了統(tǒng)計(jì)分析方便.

其三，限定仇服從正態(tài)分布，是為了求極大似然估計(jì)方

2

便.限制￡t~N(O,1),而不用Et-N(O,Q),是因?yàn)椋鹮｝滿足標(biāo)

準(zhǔn)化的模型(0.11)式.

其四，限制a0>0,30,i=l,2,...,p,是為了保證條件

2

方差函數(shù)ht=S(yt.1,yt.2,—)>0-限制?o>O,而不是出現(xiàn)這

是為了保證模型(L5X1.6)有平穩(wěn)解，否則，當(dāng)a0=0時它沒有

平穩(wěn)解！這可從以下簡單例子看出.考查如下ARCH(l)模

型：

2

ht=aiyt.i,

將它代入(1.5)式得

1/221/2

yt=ht￡t=(aiyt-i)仇，

將它兩邊平方得

222

yt=aiyt.i￡t,

將它兩邊取對數(shù)得

222

log(yt)=log(a1)+log(yt.i)+log(￡t),(1.7)

2

記xt=log(yt),c=log(ai),幣=1。8(為2)(仍為i.i.d.序列)，上式為

Xt=C+Xtj+T|t,

這不是熟知的一元AR(1)模型嗎？而且不滿足平穩(wěn)性條件!

所以，沒有平穩(wěn)解.從而模型(L5)也沒有平穩(wěn)解.

其五，為使ARCH模型有平穩(wěn)解，對系數(shù)ai(i=l,2,...,p)

還要加限制.較早的限制(也是較強(qiáng))是

ai+a2+???+apVl.(1.8)

在此條件下，不僅有平穩(wěn)解，還有有窮二階矩.后來，也有

人放寬條件，只保證有平穩(wěn)解，不保證有有窮二階矩.所有

這些結(jié)果的推理，都要用到非線性時間序列分析的新成果.

其六，Engle(1982)首次先提出ARCH模型時，使用了

如下敘述：

ytlyt-i,yt-2,...,yi-N(o,ht),(1.5)'

222

ht=ao+aiyt.i+ot2yt.2+???+otpyt.p,

a0>0,aj>0,i=l,2,...,p.

易見,(1.5)，式與(1.5)式是等價的.

其七，ARCH模型有不同的變形形式.仿(1.7)式的做

法，即將(1.5)式兩邊平方，再將(1.6)式代入其中可得

222222

yt=ht8t=(ao+aiyt.i+ct2yt-2+???+a，pyt-p)St

2222

=(a()+aiyt.i+012X1-2+...+apyt-P)(1+7-1)

222

=a0+aiyt.i+a2yt.2+...+apyt.p

+(￡t2-i)(oto+otiyt-i2+oi2yt-22+??*+cipyt-p2)

222

=ao+aiyt-i+a2yt-2+.??+(xpyt-p+

222

=a0+aiyt.i+a2yt.2+...+apyt.p+wt,(1.9)

對序列舊2｝而言，此式很像線性AR(p)模型，其中Wt=ht?2-1)

是一個平穩(wěn)的鞅差序列，因?yàn)?/p>

E{wtlyt.i,yt-2?…}二

2

=E{ht（8t-l）lyt.i>yt-2>???}

2

=E{ht￡tlyt.byt-2,…卜E{htlyr,yt-2,…}

2

=htE{8tlyt.i,yt.2,...}-E{htlyt.byt.2,???}(依(1.6))

=ht-ht=0.(1.10)

用(1.9)式和線性AR(p)模型的求解方法，可得{y12}的平穩(wěn)解.

但是，從原理上說，得到了{(lán)寸}的解，還不能說就得到了原

序列'}的解.好在當(dāng)我們只關(guān)心人的條件方差時，有了舊2}

的解也足夠用了.(L9)式的變形方式是嚴(yán)格的，可放心地使

2

用它.所謂使用它，就是將原數(shù)據(jù)平方后得到y(tǒng)?,y2，…，

YT2,對它們建立AR(p)模型，便得到參數(shù)的一種

估計(jì).

如果對y,2=i1t1兩邊取對數(shù)可得

22

log(yt)=log(ht)+log(￡t)

2222

=log(ao+aiyt.i+a2yt.2+???+apyt.p)+log(￡t)

222

記x(t)=log(yt),c=Elog(et),T|t=log(8t)-c,于是上式可寫成

x(t4)x(t2)x(tp)

x(t)=c+log(ao+a1e+a2e'+...+ape-)+r|t.

于是又得到ARCH模型的另一種變形.此式是關(guān)于序列{x(t)}

的非線性自回歸模型，注意，上式中的序列{m}是i.i.d.的.此

外,ARCH模型還有別的表示方法，不再一一介紹了.

其八，根據(jù)數(shù)據(jù)yi,y2,...,yT,要作自回歸條件異方差模

型的統(tǒng)計(jì)分析，包含兩項(xiàng)內(nèi)容，首先是用假設(shè)檢驗(yàn)方法，判

別這些數(shù)據(jù)是否有條件異方差條件性，即,S(yt.bytz…片常

數(shù)?如果是否定回答，第二項(xiàng)內(nèi)容就是對ARCH模型未知

參數(shù)的估計(jì).在第2節(jié)中，我們將介紹參數(shù)的估計(jì)方法，在

第3節(jié)中，介紹檢驗(yàn)方法.

1.3.GARCH(GeneralizedARCH)模型：

在Engle(1982)提出ARCH模型后，受到應(yīng)用者的關(guān)注,

特別是金融界.稍后幾年，也被時間序列分析理論研究所重

視.從前面對新息序列｛ej限制條件的放寬過程可見，提出

ARCH模型，無疑是對時間序列分析理論和應(yīng)用研究有開拓

性的意義.在對ARCH模型的理論研究和應(yīng)用中，人們自然

會發(fā)問：在(1.6)式中,人的條件方差

2222

S(yt-i>Yt-2>???)=ht=ao+aiyt.i+oc2yt-2+?-+ctpyt.p>

只依賴于p個歷史值，能否考慮依賴全部歷史值的情況?

Bollerslev(1986)給出了回答，他提出了如下的更廣的模型,

即GARCH模型：

1/2

yt=S(yt.byt-2,…)a三ht%,(ill)

222

ht=a()+aiyt4+a2yt.2+???+apyt.p

+Blht/+…+”11卬(1.12)

a0>0,aj>0,i=l,2,...,p;Pj>0,j=l,2,...,q.(1.13)

其中｛仇｝為i.i.d.的N(0,7)分布，且&與｛yt4,yt.2,...｝獨(dú)立.

對此GARCH模型作如下說明：

2

其一,利用(1.12)式反復(fù)迭代可得知，ht=S(yt.i,yt.2,...)

確實(shí)依賴序列的全部歷史值，但是,％僅依賴有限個參數(shù).

其二，在1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，被兩位研究期權(quán)定價

理論的Black-Scholes方程的學(xué)者獲得.從理論上人們發(fā)現(xiàn),

Black-Scholes方程的解是連續(xù)時間變化的隨機(jī)過程，對它進(jìn)

行等間隔離散化采樣，所得到的序列，恰好滿足GARCH模

型.于是，GARCH模型更被認(rèn)可，而且，金融界特別偏愛

GARCH模型.

其三，如前所述,(L13)式的條件a0>0,仍不能放寬為

a0>0.而且，(1.13)式中的條件。心0,i=l,2,...,p,還應(yīng)附加一

個限制：ai+a2+...+ap>0,否則如果全部叫=0(i=l,2,...,p)將

導(dǎo)致(1.12)式的瓦為常數(shù)(仍用迭代法可證明).這一點(diǎn)未在文

獻(xiàn)中指出，一個潛在原因是：應(yīng)用者默認(rèn)pNl,且ap>0.

其四，與對ARCH模型的說明中的其五很類似，為使

GARCH模型有平穩(wěn)解，對系數(shù)ai(i=l,2,...,p)和除0,

j=l,2,...,q.還要加限制.較早的限制(也是較強(qiáng))是

ai+???+ap+Bi+.??+PqvL(1014)

在此條件下，不僅有平穩(wěn)解，還有有窮二階矩.其余的敘述

與ARCH情況相同，從略.

其五，統(tǒng)計(jì)問題.與對ARCH模型的說明中的其七很類

似.但是，它比ARCH模型要復(fù)雜些，具體如下：

22-

y，=htst=htht+ht(8tl)

222

=ao+aiyt-i+a2yt-2+???+ocpyt-p+Piht.i4-...+pqht.q+Wt

222

=a0+a1yt.1+a2yt-2+...+apyt.p

2-2+2-2

+Plht.l(CMSt-l+l)???+Pqht-q(￡t-lEt-q+l)+Wt

222

=Oo+aiyt.i+。2丫卜2+...+apyt.p

22

+Piht.1￡t.1+...+pqht.q￡t,q

-Plht-l(St-l2-l)-???"Pqht-q(￡t-q2-1)+Wt

222

=a<)+aiyt.i+0^-2+...+apyt.p

+Piyt-l2+?.?+Pqyt-q2_PlWt-l->??_PqWt-q+Wt

22+2

=ao+(ai+pi)yt.i+(a24-P2)yt-2???+(^m+Pm)yt-p

-PlWt4-...-pqWt.q+Wt,(1.15)

其中m=max｛p,q｝,而且，當(dāng)k>p時ak=O；當(dāng)k>q時限=0,

2

Wt=ht(￡t-1).如前所述｛Wj是平穩(wěn)鞅差序列，所以，以上表

達(dá)式說明，｛1｝是由｛wj驅(qū)動的平穩(wěn)ARMA序列.以上模型

不僅表達(dá)了GARCH模型的結(jié)構(gòu)特性，而且，依此可借助于

平穩(wěn)ARMA序列建模方法，得到GARCH模型參數(shù)的一種

簡單的估計(jì)方法.關(guān)于GARCH模型的參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)方

法，分別在第2節(jié)和第3節(jié)中介紹.

2.GARCH模型的參數(shù)估計(jì)

2.1.概述

在實(shí)際應(yīng)用中，人們擁有序列觀測值yi,y2,...,yn,如果

要為它們建立GARCH模型，將面對著下列問題：為什么要

建立GARCH模型？用多少階數(shù)的模型？怎樣獲得模型的

參數(shù)值？回答了這些問題，就解決了為GARCH模型建模的

問題.前兩個問題將在下一節(jié)中討論，這一節(jié)只討論模型的

參數(shù)估計(jì)問題，換言之，討論在模型階數(shù)已知時，如何根據(jù)

觀測值勤超,…,yn,估計(jì)出GARCH(或者ARCH)模型的參

數(shù).在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有多種方法可以用來解決這一問題，這里只

介紹兩種估計(jì)方法.一種是比較簡單的方法，另一種是熟知

的極大似然估計(jì)方法.前一種估計(jì)可能不如后者精細(xì)，但是

它可作為用迭代法求取后者時的初始值.另外，對ARCH和

GARCH模型而言，它們的參數(shù)估計(jì)方法的難易程度有明顯

差異，所以，我們將分別予以介紹.

2.2.ARCH模型的參數(shù)估計(jì)

2.2.1.最小二乘法估計(jì)

最小二乘法是非常熟悉的方法，此方法是基于最小二

乘原理。我們先指出在此可以使用此原理的依據(jù)，為此不

妨以ARCH(l)模型為例說明之。依(1.9)式知，滿足ARCH(l)

模型的序列{yj必滿足以下模型

22

yt=a0+aiyt.i+wt,(2.1)

其中{W#是鞅差序列，而且以=%(蠟.1),于是有

22

E{wtlyt4}=E{ht(￡t-l)Iy/}

22

=htE{(8t-1)Iyt4)

2

=htE{8tIyt/}.ht

2

=htE{￡t}-E

=ht-ht=0.(a.s.)(2.2)

利用此式可得知,

2-22222

E{ytao-aiyt-i}=E{ao+aiyt.i+wt-ao-aiyt.i}

22

=E{(a0-a0)+(ai-ai)yt-i+wt}

222

=E{(a()-ao)+(arai)yt-i}+E{wt}

2

+2E{[(a0-a0)+(arai)yt.i]wt}

222

=E{(a()-ao)+(arai)yt.i}+E{wt}

22

+2EE{[(a()-ao)+(arai)yt.i]wtlyt.i)

222

=E{(a()-ao)+(a「ai)yt.i}+E{wt}

22

+2EE{[(a()-ao)+(aj-ai)yt-i]E{wtlyt.i)

2

=E{(ao-a0)+(ar}(by(2.2))

2222

=E{(ao-ao)+(ai-ai)yt.i}+E{ht(st-1)}

22222

=E{(ao-ao)+(ai-ai)yt.i}+EhtE(st-l)

>Eht2E?2-l)2=c.(依平穩(wěn)性)

易見,上式中的二號成立，當(dāng)且僅當(dāng)(Oo-ao)=(ai-ai)=0.此事

實(shí)表明，

222222

min{E(yt-a0-aiyt.i)：ao,a1}=E{yt-ao-a1yt.i}.(2.3)

此式表明，用所有可能的系數(shù)擬合(2.1)模型時，只有以其真

系數(shù)擬合，才使擬合參差的方差最??！

在實(shí)際應(yīng)用時，我們沒有(2.1)式中的確切的概率分布，

但是，我們有序歹弘力}的觀測數(shù)據(jù)y1,y如根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)

的基楚性原理一大數(shù)定律，(2.3)式的最小化特征，用樣本平

均代替之，隨著樣本個數(shù)的增加將近似成立。換言之，求

解以下最小化問題之解，即

1n222

min{(n-l)Zt=2(yt-ao-aiyt.i)：a0,ai)

1n222

=(n-l)-Zt=2(yt-a0*-a1*yt.1),

顯然，此問題等價于如下的最小化問題

n222

min{Lt=2(yt-ao-aiyt.i)：ao,aj

WtMZPtZaJaKt』?(2.4)

以其解(a。*,%*)作為真參數(shù)Mg)的估計(jì)，稱它們?yōu)樽钚《?/p>

估計(jì)。這就是使用最小二乘原理的依據(jù)。

以上論述不難推廣到一般的ARCH(p)模型，除了符號

的繁瑣外，并無本質(zhì)差異。這里只強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：對ARCH(l)

使用最小二乘原理時，殘差項(xiàng)wt與yt.i相互獨(dú)立且Ewt=O是

常見的條件，至少也要滿足條件E{Wtlyt/}=O(a.s.)。這一點(diǎn)

對一般情況也適用。

現(xiàn)在介紹ARCH(p)模型參數(shù)最小二乘估計(jì)方法。首先重

新寫出(1.9)式

2222

yt=a0+aiyt.i+a2yt-2+...+apyt.p+wt,

t=p+l,p+2,...,n.(2.5)

在此特別強(qiáng)調(diào)足標(biāo)t的取值范圍，只是為了模型中的yt子都

落在我們的數(shù)據(jù)序列中。依前所述，未知參數(shù)

Ct—9Otj9???,Otp)

的最小二乘估計(jì)a*,就是如下的最小值問題的解，即

n22222

min{Zt=2(yt-ao-aiyt.i-a2yt.2-...-apyt-p)：a0,ai,...,ap}

n2-22

=Et=2(yt^0-3iytJ...-apyt.p),(2.6)

x

取最小二乘估計(jì)a*=(a。*,a；,…,ap*)o

欲給出(ao*,a1*,…,ap)的表達(dá)方式，既可用分析方法，又

可用代數(shù)方法。現(xiàn)在使用后一方法,為此將(2.5)式改寫成

Y=Xa+W,(2.7)

其中

2T

Y=(yp+/,yp+2：...,y，)\W=(Wp+]2,Wp+2)…,wn),

fi#…

x=；4'7*.

Jy?-i…yLp,

當(dāng)以a=(a(),ai,a2,…,ap)二為自由參數(shù)向量時，于是有

V*n/2cc-a2c202\2

Xt=p+i(yt-aoiyt-i"azyt-iyt-P)

=IIY-Xall2=(Y-Xa)T(Y-Xa)

=YTY-YTXa-aTXTY+aTXTXa

=(XTXa-XTY)x(XTX)'1(XTXa-XxY)

+YTY-(XTY)T(XTX)-1(XTY)

>YTY-(XTY)T(XTX)-1(XTY),

其中用到了以下的矩陣性質(zhì)

(XTXa-XTY)T(XTX)4(XTXa-XTY)>0.

由前一式可知,(2.6)式的最小值解必滿足XTXa-XxY=O.現(xiàn)在

求解XTXa-XTY=O,即XTXa=XTY,其解為

a*=(XTX)-1XTY.(2.8)

注意，上式右邊的矩陣X和向量Y,都是由已知數(shù)據(jù)量組成

的，計(jì)算(X、尸和(XtX)』X，，有許多軟件可供使用.當(dāng)然,

也可以自行編程序計(jì)算之.

自回歸模型(L9)的系數(shù)的最小二乘估計(jì)，被(2.8)式明顯

的表達(dá)出，而且便于計(jì)算.這一優(yōu)越性是自回歸模型所特有

的，因此，自回歸模型在時間序列分析中問世最早.類似地,

Engel(1982)最先引入的條件異方差模型，又是自回歸型的條

件異方差模型…ARCH模型，也是基于這一便于使用的優(yōu)點(diǎn).

稍后幾年才由Bollerslev(1986)提出更一般的GARCH模型.

在時間序列分析中，自回歸模型系數(shù)的最小二乘估計(jì),

有很多優(yōu)良性質(zhì)，這已經(jīng)被研究得很完美了.但是，將它用

于ARCH模型系數(shù)估計(jì)，這些優(yōu)良性質(zhì)不一定具有了.在

此，我們僅指它的優(yōu)缺點(diǎn).其優(yōu)點(diǎn)是：易理解，易計(jì)算；缺

點(diǎn)是：欠精細(xì)，缺少某些優(yōu)良性質(zhì).欠精細(xì)是相對極大似然

估計(jì)而言的，詳見后文.缺少某些優(yōu)良性質(zhì)，是指在使用最

22

小二乘估計(jì)方法時，還需要條件E(yt)<oo,才具有相合性,

然而此條件對ARCH模型而言，太強(qiáng)了.此外，使用最小二

乘估計(jì)方法時，不能保證估計(jì)a*=(XtX)」X，Y的每個分量都

是非負(fù)的，盡管其真值都是非負(fù)的.當(dāng)然，對其它估計(jì)也存

在同樣的問題.

在此順便指出，為了保證估計(jì)的每個分量都是非負(fù)的,

文獻(xiàn)中有如下方法可用，即求如下的最小值問題的解，

n2222

min{Zt=2(yt-ao-aiyt-i-a2yt.2-...-apyt-P)：

ao>O,ai>O,...,ap>O;(人之佻間山/也山』-…叫山丁)之0}

=Et=2n(yt2-ao+-ai+yt-i2-???-ap+yt-p2)2,(2.9)

取估計(jì)a*=(a0+,aj,…,ap?。這里敘述此方法的目的有三點(diǎn)

可言，其一，這是最有效的保證估計(jì)的分量都是非負(fù)的;其二,

有多種方法可獲得ARCH模型系數(shù)的估計(jì);其三，除了最小二

乘估計(jì)，都不易計(jì)算，比如(2.9)式的求解問題，就是典型的優(yōu)

化求解問題，其計(jì)算的復(fù)雜性可想而知.

2.2.2.極大似然估計(jì)

對于序列yi,y2,…,yn,如果它們的聯(lián)合分布的形式已知,

其中只有有限個參數(shù)未知，那么，尋求合適的參數(shù)值，使得

其分布在這些觀測值…,y0處達(dá)到最大值，稱其為極大

概率估計(jì)方法.其合理性是不言而喻的.相對其它方法，可

算是精細(xì)些.當(dāng)然，其前提是聯(lián)合分布的形式已知的.進(jìn)而

言之，如果已知聯(lián)合分布密度函數(shù)時，使用上述的極大概率

估計(jì)方法，應(yīng)改為尋求合適的參數(shù)值，使得其分布密度函數(shù)

在這些觀測值yi,y2,...,y?處達(dá)到最大值，稱其為極大概率密

度估計(jì)方法.此情況有更廣的應(yīng)用背景，ARCH模型數(shù)估計(jì)

就屬于此情況.再進(jìn)一步，如果已知聯(lián)合分布密度函數(shù)呈現(xiàn)

指數(shù)形式，改為尋求合適的參數(shù)值，使得其分布密度函數(shù)的

對數(shù)函數(shù)(此函數(shù)被稱為似然函數(shù))，在這些觀測值yi,y2,...,yn

處達(dá)到極大值，稱其為極大似然估計(jì)方法.用極大化似然函

數(shù)代替分布密度函數(shù)，只是討論和應(yīng)用時有方便之處，并無

本質(zhì)區(qū)別.極大化似然方法是統(tǒng)計(jì)學(xué)中熟知的，重要的方法.

依上所述，使用極大似然估計(jì)方法，有兩個關(guān)鍵步驟:

一是，找出y1,y2,…,yn的聯(lián)合分布密度函數(shù)，它僅依賴有限

個未知參數(shù)，由此易得其似然函數(shù)；二是，尋找使似然函數(shù)

達(dá)到極大值的參數(shù)，即參數(shù)的極大似然估計(jì).一般說來，第

一步僅是細(xì)心的推理，第二步是精心的計(jì)算，而且常常要使

用近似的迭代算法.以下介紹ARCH模型參數(shù)的極大似然

估計(jì)，就要對此兩步作具體敘述.

第一步：根據(jù)ARCH模型的假定，再使用條件概率密

度的公式可得知,yi,y2,...,yn的聯(lián)合分布密度函數(shù)

f(yi,y2,???,yn)=f(Y),丫=。1,丫如..,丫),

有以下表達(dá)式

f(Y)=f(yi,y2,...,yn)

=f(yniyi，y2,…，yQKyiM，…，y%i)(依條件密度公式)

1/22

=(27ihn)-exp{-yn/2hn}f(yi,y2,...,yn.i)

(依(L5)式和q~N(0,1),且如與{yn』,y>2,…}獨(dú)立)

二(cto+aiyn-i+...+otpyn.p)

222

xexp{-yn/2(a0+aiyn.1+...+apyn.p)f(yby2,.?.,yn-i)

(依(1.6)式)

n))

t=p+i(ctfl+aiyt-i+...+ay.p)'exp{-y/2(a+aiy.i+...+ayt.)}

nptt0tpp

(np)/2

xf(yi,y2,...,yP)(27r)-'.(依反復(fù)遞推)(2.10)

記其對數(shù)函數(shù)為

L(a)=logf(yby2,...,yn)

n,+22222

=-(l/2)Zt=p+i{og(aoaiyt-i+...+apyt.p)+yt/(ao+aiyt.i+...+apyt.p)}

(np)/2

+logf(y1,y2,...,yP)+Iog(27r)--.(2.11)

忽略上式中的常數(shù)項(xiàng)和常數(shù)因子-(172),再記

n

l(a)=Zt=P+ilt(a)-logf(yi,y2,…,yp),(2.12)

其中

22222

lt(a)={log(ao+aiyt-i+...+apyt.p)+yt/(ao+aiyt.i+...+apyt.p)}.

顯然,1(a)與L(a)只相差常數(shù)加項(xiàng)，所以，求解L(a)的最大值

解，等價于求解1(a)的最小值解.以后我們總是考慮后者.

在上述諸式中，f(yi,y2,…,yp)是yi,y如..,yp的聯(lián)合分布密度函

數(shù)，為了使用極大似然估計(jì)方法，也應(yīng)當(dāng)將它表達(dá)成依賴于

yi,y2,…,yp和…,ap的明確形式.這不是一件容易的事情!

僅以P=1為例，即可說明其難點(diǎn)所在.此時只須求出y0和yi

所滿足的共同的分布密度數(shù)，并使得它們滿足關(guān)系式

yi=(CQ)+otiyo2)1/2￡b￡t~N(0,1),且7與yo獨(dú)立.

此問題看似簡單，但是很難解答.舉此例的目的，還在于提

請注意，當(dāng)a~N(0,1)時，由它驅(qū)動生成的平穩(wěn)AR序列也是

正態(tài)分布的，但是，由它驅(qū)動生成的平穩(wěn)ARCH序列不是正

態(tài)分布的.因?yàn)?，在AR模型中，生以加項(xiàng)形式出現(xiàn)，在

ARCH模型中，q以乘積因子形式出現(xiàn)(見(L5)式).然而，在

(2.10)式中，人們?nèi)菀渍`以為f(y1,y2,…,yn)是正態(tài)分布的連乘

積形式，所以它是多元正態(tài)密度.其實(shí)，因子f(yi,y2,...,yp)不

是正態(tài)的密度函數(shù)(這一點(diǎn)容易被忽視)，所以f(yi,y2,…,yj

也不是正態(tài)的.

第二步：尋求極大似然估計(jì)，就是尋求使(2.11)式中

L(a)取最大值的a,等價于尋求使(2.12)式中1(a)取最小值的

a.很明顯，此極大似然估計(jì)沒有如同(2.8)式的顯示表達(dá)式，

于是只能尋找近似的數(shù)值解法.由于1(a)有很好的解性質(zhì)，

求(2.12)式中1(a)的最小值，可求Al(a)/aa=O的解.即使如此,

也還很難求解.進(jìn)一步還要使用其它近似手段，即將未知項(xiàng)

logf(yi,y2,.-.?yP)

從(2.12)式中忽略掉，尋求

n

Zt=p+1ait(a)/aa=O(2.13)

的解，其中

ait(a)/aa=aiog(ao+aiyt「+…+apyt-p2)/aa

222

+5{yt/(ao+aiyt-i+...+apyt.p))/5a.(2.14)

請注意，ait(a)/3a是向量，所以(2.13)式是(p+D元代數(shù)方程組,

利用(2.14)式很容易求得砥⑹/布的表達(dá)式，而且砥(a)/3a

有很簡單的形式，但是，它是非線性的，所以(2.13)式是(p+1)

元非線性代數(shù)方程組.求(2.13)式的數(shù)值解法，是計(jì)算數(shù)學(xué)

中的簡單問題，即可使用已有的軟件，亦可自行編程計(jì)算，

這里從略.

2.3.GARCH模型的參數(shù)估計(jì)

2.3.1.極大似然估計(jì)

在這一小節(jié)，先介紹極大似然估計(jì)，因?yàn)檫@與前面聯(lián)系

緊密.如前所述，GARCH模型的參數(shù)估計(jì)，要比ARCH模

型復(fù)雜.其復(fù)雜性表現(xiàn)在：GARCH模型的參數(shù)估計(jì)不僅沒

有顯示的表達(dá)式，而且，其似然函數(shù)也沒有顯示的表達(dá)式,

只有迭代計(jì)算公式.這一特點(diǎn)，對求解極大似然估計(jì)的算法,

不帶來實(shí)質(zhì)困難，但是在敘述它時，會繁瑣些.

現(xiàn)在敘述GARCH模型似然函數(shù).仿照(2.10)式可得

f(Y)=f(yi,y2,...,yn)

=f(yiJyn-l，”，yn-p；hn.q+i)f(yn.i,..,yn.pjhn,...9hn.q+j)

=

(2兀hn)exp{~yn/2hn}f(yn-l,”,yn-p；hn.q+i)

n1/22

=nt=i(27iht)'exp{-yt/2ht}f(y0,..,y-P+i；h,q+2).

(2.15)

仿照(2.12)式又有

n

l(0)=Zt=P+ilt(0)+logf(y0,..,y-P+i；%,...,h.q+2),(2.16)

其中

2

lt(6)=loght+yt/ht,

e=(a0,ai,...,cip；Bi,...,0q)?

再仿照(2.13)式和(2.14)式，在求解GARCH模型參數(shù)的極大

似然估計(jì)時，近似為求解如下的方程組之解，即

n

Zt=P+iait(6)/50=0(2.17)

的解，其中

2

ait(e)/ao=aioght/ae+a(yt/ht)/ao

42

=ht（aht/a0）（l-yt/ht）.（2.18）

在以上各式中，雖然都是明確的表達(dá)式，但是，（dh/朋）尚未

被表達(dá)出來，實(shí)際上無法用顯式表達(dá)它.幸運(yùn)的是，它有遞

推關(guān)系式可利用.在設(shè)計(jì)求解方程（2.17）式時，有遞推關(guān)系

式也足夠了.記

Zt=（l,yt-i,Yt-2，…，Yt-p；ht”,11卜2,…，hjq）,

于是可得出（Sh/8。）的遞推關(guān)系式如下

q

5ht/ao=zt+zk=1pk（aht.k/a0）.（2.19）

雖然有（2.19）式可用，但是，此迭代公式的初始值

西/38,而陽仇...,dh.q+2/do

仍然未有明顯表達(dá)式.在實(shí)際應(yīng)用時，常用零值作為它們的

近似值使用，于是可求得近似的極大似然估計(jì)值.當(dāng)然，求

解過程又常用迭代算法，這里從略.

2.3.2.最小二乘估計(jì)

對GARCH模型參數(shù)使用最小二乘估計(jì)方法，也同樣遇

到像極大似然估計(jì)類似的麻煩.在此，我們推薦使用平穩(wěn)的

ARMA模型參數(shù)的矩估計(jì)方法.細(xì)節(jié)可參看有關(guān)著作.盡管

如此，當(dāng)q值較大時，其算法也不比極大似然估計(jì)更方便.

所以，最多使用的仍是極大似然估計(jì)方法.

3.模型檢驗(yàn)

根據(jù)觀測數(shù)據(jù)yi,y2,...,yn,判斷所要擬合的模型是否適

用，稱為模型檢驗(yàn).在為數(shù)據(jù)1,丫2,…,yn建立模型時，一般都

應(yīng)當(dāng)進(jìn)行模型檢驗(yàn).對于GARCH模型也不例外.所謂模型

檢驗(yàn)，有在建立模型前進(jìn)行的，有在之后進(jìn)行的.對于

GARCH模型來說，在為數(shù)據(jù)yi,y2,…,yn建立GARCH模型

前，首先應(yīng)當(dāng)判斷有沒有必要.如前言所說到，平穩(wěn)序列的

條件方差S(yt,y』...)可能是常數(shù)值，此時就不必建立

GARCH模型.于是判斷條件方差S(yt,yt」,…)是否為常數(shù),

就應(yīng)當(dāng)在建模前完成.即使經(jīng)判斷后，條件方差不是常數(shù),

它也未必滿足GARCH模型.然而目前GARCH模型是比較

熟知的條件異方差模型，所以常用它來近似擬合觀測數(shù)據(jù).

那么，在建模后還應(yīng)當(dāng)對所得到的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，以判斷其

是否可接受.在建模前和后所進(jìn)行的模型檢驗(yàn)，其方法不一

定相同.建模后使用的模型檢驗(yàn)方法，還可作為確定

GARCH模型階數(shù)的輔助手段.以下分別介紹.

3.1.條件異方差性檢驗(yàn)

在這一小節(jié)里，我們?nèi)钥紤]｛yj為鞅差序列的情況，也

就是(0.12)式中的6y7,ytz…)=0的情況，即

yt=s(yt』,yt-2,…)仇,(3.1)

其中｛仇｝為標(biāo)準(zhǔn)化的鞅差序列，即

E?iyt-i,yt-2,…)=0,E&lyt-i,yt-2,…)=L

考查(3.1)式兩邊平方的模型

222

yt=s(yt.byt-2v-)￡t,

當(dāng)S(y』yt.2,…)為常數(shù)時，不妨記為d即

22

E{ytlyt.byt-2v-}=S(yt.i,yt-2,...)=(3.2)

此時(3.1)式可寫成

222

yt=o￡t.(3.3)

于是又有

2222

yt-Q=Q(￡t-l).(3.4)

此時我們還發(fā)現(xiàn)

222222

E{(yt-CT)lyt-i,yt.2v..}=E{ytlyM,yt.2,...}-CT=CT-O=0,

這說明{yt2PB也是鞅差序列.還容易看出，如果{M}是任意

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一個鞅差序列，且Eyt=c,也2pB未必是鞅差序列.但是從

上式不難看到，當(dāng)且僅當(dāng)(3.2