湖北省武漢市武昌區(qū)2022-2023學年上學期八年級期末數學模擬試卷

絕密★啟用前2022-2023學年湖北省武漢市武昌區(qū)八年級（上）期末數學模擬試卷試卷副標題考試范圍：全冊；考試時間：120分鐘；命題人：熊兵題號一二三總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）北京2022年冬奧會會徽“冬夢”已經發(fā)布．以下是參選的會徽設計的一部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠6 B．x≠0 C．x≠﹣ D．x≠﹣63．（3分）新冠病毒給世界各國帶來了極大的災難，中國在世界抗擊新冠病毒中發(fā)揮了重要作用．新冠病毒的整體尺寸一般在30﹣80nm，請將0.000000052m大的新冠病毒這個數用科學記數法表示為（）A．52×10﹣9 B．5.2×10﹣8 C．52×10﹣8 D．5.2×10﹣94．（3分）下列運算正確的是（）A．a4+a4＝a8 B．（﹣a2）3＝a6 C．a2?a3＝a5 D．（2ab2）3＝2a3b65．（3分）如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、D在同條直線上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF6．（3分）化簡的結果是（）A．a2 B． C． D．7．（3分）下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④．屬于正確的因式分解的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，則CD的長（）A．4 B．2 C．1 D．9．（3分）已知O為原點，A（2，2）為坐標平面內一點，B是y軸上一點，且△AOB為等腰三角形，那么符合條件的點B的個數為（）A．5 B．4 C．3 D．210．（3分）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC邊上一點，以AD為斜邊作等腰Rt△ADE，連接AE并延長交BC延長線于點F，若AD＝AF，下列結論：①AD平分∠BAC；②BA＝BF；③CE∥AB；④CG+CF＝CE，正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④第Ⅱ卷（非選擇題）請點擊修改第Ⅱ卷的文字說明評卷人得分二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）如果分式的值為零，那么x＝．12．（3分）已知多邊形的內角和等于外角和的兩倍，則這個多邊形的邊數為．13．（3分）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，則m的值為．14．（3分）如圖，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分線的交點，則∠BOC的度數是°．15．（3分）如果m﹣n﹣3＝0，那么代數式（﹣n）?的值為．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD，BE是△ABC的高，點P是直線AD上一動點，當PC+PE最小時，則∠BPC為度．評卷人得分三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）（1）計算：（x﹣4）（x+2）；（2）分解因式：a3b﹣ab．18．（8分）解分式方程：（1）＝（2）＝﹣219．（8分）如圖，點B，E，C，F在同一直線上，且AB＝DE，BE＝CF，_____．求證：∠ACB＝∠DFE．（1）請從①AB∥DE，②∠A＝∠D，③AC＝DF中選擇一個適當的條件填入橫線中，使命題成立．你的選擇是．（只需填一個序號即可）；（2）根據（1）中的選擇給出證明．20．（8分）先化簡代數式，再從2，﹣2，1，﹣1四個數中選擇一個你喜歡的數代入求值．21．（8分）如圖，在正方形網格中，點A、B、C、M、N都在格點上．（1）作△ABC關于直線MN對稱的圖形△A'B'C'．（2）若網格中最小正方形的邊長為1，求△ABC的面積．（3）點P在直線MN上，當△PAC周長最小時，P點在什么位置，在圖中標出P點．22．（8分）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡．某商家兩次購進冰墩墩進行銷售，第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購進同款冰墩墩，所購進數量是第一次的2倍，但單價貴了10元．（1）求該商家第一次購進冰墩墩多少個？（2）若所有冰墩墩都按相同的標價銷售，要求全部銷售完后的利潤率不低于20%（不考慮其他因素），那么每個冰墩墩的標價至少為多少元？23．（12分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于點D、點E，圖①，②，③是旋轉得到的三種圖形．（1）觀察線段PD和PE之間有怎樣的大小關系？并以圖②為例，并加以證明；（2）觀察線段CD、CE和BC之間有怎樣的數量關系？并以圖③為例，并加以證明；（3）△PBE是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出∠PEB的度數；若不能，請說明理由．24．（12分）如圖，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，連接DE交AC于點M．（1）如圖1，若AB＝2，∠C＝30°，AD⊥BC，求CD的長；（2）如圖2，若∠ADB＝45°，點N為ME上一點，MN＝BC，求證：AN＝EN+CD；（3）如圖3，若∠C＝30°，點D為直線BC上一動點，直線DE與直線AC交于點M，當△ADM為等腰三角形時，請直接寫出此時∠CDM的度數．2022-2023學年湖北省武漢市武昌區(qū)八年級（上）期末數學模擬試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）北京2022年冬奧會會徽“冬夢”已經發(fā)布．以下是參選的會徽設計的一部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠6 B．x≠0 C．x≠﹣ D．x≠﹣6【考點】分式有意義的條件．【分析】根據分式的分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：要使分式有意義，必須x+6≠0，解得，x≠﹣6，故選：D．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式的分母不為0是解題的關鍵．3．（3分）新冠病毒給世界各國帶來了極大的災難，中國在世界抗擊新冠病毒中發(fā)揮了重要作用．新冠病毒的整體尺寸一般在30﹣80nm，請將0.000000052m大的新冠病毒這個數用科學記數法表示為（）A．52×10﹣9 B．5.2×10﹣8 C．52×10﹣8 D．5.2×10﹣9【考點】科學記數法—表示較小的數．【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【解答】解：將0.000000052m大的新冠病毒這個數用科學記數法表示為5.2×10﹣8．故選：B．【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．4．（3分）下列運算正確的是（）A．a4+a4＝a8 B．（﹣a2）3＝a6 C．a2?a3＝a5 D．（2ab2）3＝2a3b6【考點】冪的乘方與積的乘方；合并同類項；同底數冪的乘法．【分析】根據合并同類項運算法則進行計算判斷A，根據冪的乘方運算法則進行計算判斷B，根據同底數冪相乘的運算法則進行計算判斷C，根據積的乘方與冪的乘方運算法則進行計算判斷D．【解答】解：A、a4+a4＝2a4，故此選項不符合題意；B、（﹣a2）3＝﹣a6，故此選項不符合題意；C、a2?a3＝a5，故此選項符合題意；D、（2ab2）3＝8a3b6，故此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查合并同類項，同底數冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方（am）n＝amn，積的乘方（ab）n＝anbn運算法則是解題關鍵．5．（3分）如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、D在同條直線上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF【考點】全等三角形的判定．【分析】根據全等三角形的判定方法進行判斷．【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴當添加∠B＝∠E時，根據ASA判定△ABC≌△DEF；當添加AC＝DF時，根據SAS判定△ABC≌△DEF；當添加∠ACD＝∠BFE時，則∠ACB＝∠DFE，根據AAS判定△ABC≌△DEF．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．6．（3分）化簡的結果是（）A．a2 B． C． D．【考點】分式的乘除法．【分析】把能分解的進行分解，除法轉為乘法，再約分即可．【解答】解：＝＝，故選：B．【點評】本題主要考查分式的乘除法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．7．（3分）下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④．屬于正確的因式分解的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】因式分解的意義．【分析】根據因式分解的意義對各小題進行分析即可．【解答】解：①x2﹣x2y4＝x2（1﹣y4）＝x2（1﹣y2）（1+y2）＝x2（1+y）（1﹣y）（1+y2），故原題因式分解錯誤；②x2﹣1+2x＝（x﹣1）2，故原題因式分解錯誤；③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，正確；④等式左邊不是多項式，右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，所以屬于正確的因式分解的有1個．故選：A．【點評】本題考查的是因式分解的意義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，則CD的長（）A．4 B．2 C．1 D．【考點】勾股定理；等腰三角形的性質；含30度角的直角三角形．【分析】根據三角形外角的性質得∠DAC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性質可得CD的長．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°，∴∠DAC＝30°，∵CD是腰AB上的高，∴CD⊥AB，∴CD＝AC＝2，故選：B．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質等知識，求出∠DAC＝30°是解題的關鍵．9．（3分）已知O為原點，A（2，2）為坐標平面內一點，B是y軸上一點，且△AOB為等腰三角形，那么符合條件的點B的個數為（）A．5 B．4 C．3 D．2【考點】等腰三角形的判定；坐標與圖形性質．【分析】根據等腰三角形的判定畫出圖形即可判斷．【解答】解：如圖，滿足條件的點B有四種情形，故選：B．【點評】本題考查等腰三角形的判定，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．10．（3分）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC邊上一點，以AD為斜邊作等腰Rt△ADE，連接AE并延長交BC延長線于點F，若AD＝AF，下列結論：①AD平分∠BAC；②BA＝BF；③CE∥AB；④CG+CF＝CE，正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【考點】含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】根據等腰直角三角形的性質得到∠BAC＝∠DAE＝45°，求得∠BAD＝∠CAE，根據等腰三角形的性質得到∠BAD＝∠DAC＝22.5°，求得AD平分∠BAC；故①正確；推出∠BAF＝∠F，得到AB＝BF；故②正確；根據等腰三角形的性質得到∠CEF＝∠F＝67.5°，得到∠B＝∠ECF，根據平行線的判定定理得到CE∥AB，故③正確；過E作EH⊥CE交AC于H，推出△HEC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的判定和性質得到HG＝CF，求得CH＝CG+HG＝CG+CF＝CE．故④正確；【解答】解：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝45°，∴∠BAD﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵AD＝AF，∠ACB＝90°，∴AC⊥DF，∴∠DAC＝∠FAC＝DAF＝22.5°，∴∠BAD＝∠DAC＝22.5°，∴AD平分∠BAC；故①正確；∴∠BAF＝67.5°，∵∠F＝90°﹣∠CAF＝67.5°，∴∠BAF＝∠F，∴AB＝BF；故②正確；∵AD＝AF，AC⊥DF，∴CD＝CF，∵∠DEF＝180°﹣∠AED＝90°，∴CE＝CF，∴∠CEF＝∠F＝67.5°，∴∠ECF＝180°﹣∠CEF﹣∠F＝45°，∴∠B＝∠ECF，∴CE∥AB，故③正確；過E作EH⊥CE交AC于H，∵∠ECF＝45°，∠ACF＝90°，∴∠HCE＝45°，∴△HEC是等腰直角三角形，∴∠GHE＝45°，∵∠HEC＝∠GEF＝90°，∴∠HEG＝90°﹣∠GEC，∠CEF＝90°﹣∠GEC，∴∠HEG＝∠CEF，∴∠HGE＝∠F＝∠HEG＝∠CEF，∴HG＝HE，∴HG＝CF，∴CH＝CG+HG＝CG+CF＝CE．故④正確；故選：D．【點評】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的性質，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）如果分式的值為零，那么x＝3．【考點】分式的值為零的條件．【分析】直接利用分式的值為零，分子的值為零，同時分母的值不為零，可得，進而得出答案．【解答】解：∵分式的值為零，∴，即，解得x＝3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關鍵．12．（3分）已知多邊形的內角和等于外角和的兩倍，則這個多邊形的邊數為6．【考點】多邊形內角與外角．【分析】任何多邊形的外角和是360°，內角和等于外角和的2倍則內角和是720°．n邊形的內角和是（n﹣2）?180°，如果已知多邊形的內角和，就可以得到一個關于邊數的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數．【解答】解：根據題意，得（n﹣2）?180＝720，解得：n＝6．故這個多邊形的邊數為6．故答案為：6．【點評】本題主要考查了多邊形的內角和以及外角和，已知多邊形的內角和求邊數，可以轉化為方程的問題來解決，難度適中．13．（3分）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，則m的值為﹣5．【考點】多項式乘多項式．【分析】根據整式的運算法則即可求出答案．【解答】解：∵（x+4）（x﹣9）＝x2﹣5x﹣36，∴m＝﹣5，故答案為：﹣5．【點評】本題考查多項式，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．14．（3分）如圖，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分線的交點，則∠BOC的度數是160°．【考點】線段垂直平分線的性質．【分析】連接OA，根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB＝100°，根據線段的垂直平分線的性質得到OA＝OB，OA＝OC，根據等腰三角形的性質計算即可．【解答】解：連接OA、OB，∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵O是AB，AC垂直平分線的交點，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA+∠OCA＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝10°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝160°，故答案為：160°．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，熟練掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．15．（3分）如果m﹣n﹣3＝0，那么代數式（﹣n）?的值為3．【考點】分式的化簡求值．【分析】根據分式的減法以及乘除運算進行化簡，然后將m﹣n的值代入化簡后的式子即可求出答案．【解答】解：原式＝?＝?＝m﹣n，當m﹣n＝3時，原式＝3．【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎題型．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD，BE是△ABC的高，點P是直線AD上一動點，當PC+PE最小時，則∠BPC為135度．【考點】軸對稱﹣最短路線問題；等腰三角形的性質．【分析】由題可知B點C點關于直線AD對稱，當B、P、E三點共線時，PC+PE的值最小，則AD與BE的交點即為P點．【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的高，∴B點C點關于直線AD對稱，∴PC＝PB，∵點P是直線AD上一動點，∴PC+PE＝PB+PE≥BE，∴當B、P、E三點共線時，PC+PE的值最小，∴AD與BE的交點即為P點，∵∠BAC＝45°，∴∠ABC＝67.5°，∠ABE＝45°，∴∠PBD＝22.5°，∵BP＝PC，∴∠BCP＝22.5°，∴∠BPC＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，故答案為：135°．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握等腰三角形的性質，軸對稱求最短距離的方法是解題的關鍵．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）（1）計算：（x﹣4）（x+2）；（2）分解因式：a3b﹣ab．【考點】多項式乘多項式；提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】（1）利用多項式乘多項式法則計算即可得到結果；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）（x﹣4）（x+2）＝x2+2x﹣4x﹣8＝x2﹣2x﹣8；（2）原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．【點評】本題考查了多項式乘多項式和提公因式法與公式法的綜合運用，關鍵是熟練掌握運算法則．18．（8分）解分式方程：（1）＝（2）＝﹣2【考點】解分式方程．【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x＝3x+3，解得：x＝﹣3，經檢驗x＝﹣3是分式方程的解；（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，移項合并得：x＝2，經檢驗x＝2是增根，分式方程無解．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．19．（8分）如圖，點B，E，C，F在同一直線上，且AB＝DE，BE＝CF，_____．求證：∠ACB＝∠DFE．（1）請從①AB∥DE，②∠A＝∠D，③AC＝DF中選擇一個適當的條件填入橫線中，使命題成立．你的選擇是①或③．（只需填一個序號即可）；（2）根據（1）中的選擇給出證明．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】（1）根據全等三角形的判定方法可得出結論；（2）根據SAS和SSS可得出結論．【解答】解：（1）①或③；故答案為：①或③；（2）若選①．證明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE；若選③．證明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ACB＝∠DFE．【點評】本題考查了等式的性質和全等三角形的性質和判定的應用，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、等式的性質是解題的關鍵．20．（8分）先化簡代數式，再從2，﹣2，1，﹣1四個數中選擇一個你喜歡的數代入求值．【考點】分式的化簡求值．【分析】先算括號內的減法，再把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝÷＝?＝，∵a+2≠0，a﹣2≠0，a﹣1≠0，∴a只能取﹣1，當a＝﹣1時，原式＝＝．【點評】本題考查了分式的混合運算和求值和分式有意義的條件，能正確根據分式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．21．（8分）如圖，在正方形網格中，點A、B、C、M、N都在格點上．（1）作△ABC關于直線MN對稱的圖形△A'B'C'．（2）若網格中最小正方形的邊長為1，求△ABC的面積．（3）點P在直線MN上，當△PAC周長最小時，P點在什么位置，在圖中標出P點．【考點】作圖﹣軸對稱變換．【分析】（1）根據軸對稱的性質即可作△ABC關于直線MN對稱的圖形△A'B'C'；（2）根據網格中最小正方形的邊長為1，即可求△ABC的面積；（3）根據兩點之間線段最短，作點A關于MN的對稱點A′，連接A′C交直線MN于點P，此時△PAC周長最?。窘獯稹拷猓海?）如圖，△A'B'C'即為所求；（2）△ABC的面積為：3×2＝3；（3）因為點A關于MN的對稱點為A′，連接A′C交直線MN于點P，此時△PAC周長最?。渣cP即為所求．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質和兩點之間線段最短．22．（8分）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡．某商家兩次購進冰墩墩進行銷售，第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購進同款冰墩墩，所購進數量是第一次的2倍，但單價貴了10元．（1）求該商家第一次購進冰墩墩多少個？（2）若所有冰墩墩都按相同的標價銷售，要求全部銷售完后的利潤率不低于20%（不考慮其他因素），那么每個冰墩墩的標價至少為多少元？【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用．【分析】（1）設第一次購進冰墩墩x個，由題意：第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購進同款冰墩墩，所購進數量是第一次的2倍，但單價貴了10元．列出分式方程，解方程即可；（2）設每個冰墩墩的標價為a元，由題意：全部銷售完后的利潤率不低于20%，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設第一次購進冰墩墩x個，則第二次購進冰墩墩2x個，根據題意得：＝﹣10，解得：x＝200，經檢驗，x＝200是原方程的解，且符合題意，答：該商家第一次購進冰墩墩200個．（2）由（1）知，第二次購進冰墩墩的數量為400個．設每個冰墩墩的標價為a元，由題意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000），解得：a≥140，答：每個冰墩墩的標價至少為140元．【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．23．（12分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于點D、點E，圖①，②，③是旋轉得到的三種圖形．（1）觀察線段PD和PE之間有怎樣的大小關系？并以圖②為例，并加以證明；（2）觀察線段CD、CE和BC之間有怎樣的數量關系？并以圖③為例，并加以證明；（3）△PBE是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出∠PEB的度數；若不能，請說明理由．【考點】幾何變換綜合題．【分析】（1）連接PC，證明△DPC≌△EPB（ASA），由全等三角形的性質即可得出結論；（2）連接PC，同（1）得△DPC≌△EPB（ASA），則CD＝BE，進而得出結論；（3）分BE＝BP，EP＝EB，EP＝PB三種情況，由等腰三角形的性質分別求出∠PEB的度數即可．【解答】解：（1）PD＝PE，理由如下：如圖②，連接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P為斜邊AB的中點，∴PC＝AB＝PB，CP⊥AB，∠DCP＝∠ACB＝45°，∴∠DCP＝∠B，又∵∠DPC+∠CPE＝90°，∠CPE+∠EPB＝90°，∴∠DPC＝∠EPB，在△DPC和△EPB中，，∴△DPC≌△EPB（ASA），∴PD＝PE；（2）CD+BC＝CE，理由如下：連接CP，如圖③所示：同（1）得：△DPC≌△EPB（ASA），∴CD＝BE，∵BE+BC＝CE，∴CD+BC＝CE；（3）△PBE能成為等腰三角形，理由如下：①當BE＝BP，點E在CB的延長線上時，如圖③所示：則∠E＝∠BPE，又∵∠E+∠BPE＝∠ABC＝45°，∴∠PEB＝22.5°．②當BE＝BP，點E在CB上時，如圖④所示：則∠PEB＝∠BPE＝（180°﹣45°）＝67.5°．③當EP＝EB時，如圖⑤所示：則∠B＝∠BPE＝45°，∴∠PEB＝180°﹣∠B﹣∠BPE＝90°；④當EP＝PB，點E在BC上時，如圖⑥所示：則點E和C重合，∴∠PEB＝∠B＝45°；綜上所述，△PBE能成為等腰三角形，∠PEB的度數為22.5°或67.5°或90°或45°．【點評】本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉變換的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．24．（12分）如圖，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，連接DE交AC于點M．（1）如圖1，若AB＝2，∠C＝30°，AD⊥BC，求CD的長；（2）如圖2，若∠ADB＝45°，點N為ME上一點，MN＝BC，求證：AN＝EN+CD；（3）如圖3，若∠C＝30°，點D為直線BC上一動點，直線DE與直線AC交于點M，當△ADM為等腰三角形時，請直接寫出此時∠CDM的度數．【考點】幾何變換綜合題．【分析】（1）利用直角三角形30°角的性質求出BC＝4，BD＝1，可得結論；（2）如圖2中，過點A作AH⊥DE于H，AJ⊥BC于J，AT⊥AN交BC于T．首先證明△AEN≌△ADT（ASA），推出AN＝AT，EN＝DT，證明Rt△AHN≌Rt△AJT（HL），推出∠ANH＝∠ATJ，證明△ANM≌△ATB（ASA），推出NM＝BT，由MN＝BC，推出BT＝BC，可得BT＝CT，推出AT＝CT，即可解決問題；（3）分四種情形：如圖3﹣1中，當點D與B重合時，△ADM是等腰直角三角形，如圖3﹣2中，當AD＝DM時，如圖3﹣3中，當MA＝MD時，如圖3﹣4中，當DA＝DM時，分別利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求解即可．【解答】（1）解：如圖1中，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2AB＝4，∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3；（2）證明：如圖2中，過點A作AH⊥DE于H，AJ⊥BC于J，AT⊥AN交BC于T．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠E＝45°，∵∠ADB＝45°，∴∠ADB＝∠ADE，∵AJ⊥DB，AH⊥DE，∴AJ＝AH，∵∠TAN＝∠DAE＝90°，∴∠EAN＝∠DAT，在△AEN和△ADT中，，∴△AEN≌△ADT（ASA），∴AN＝AT，EN＝DT，在Rt△AHN和Rt△ATJ中，，∴Rt△AHN≌Rt△AJT（HL），∴∠ANH＝∠ATJ，∵∠NAT＝∠CAB＝90°，∴∠NAM＝∠TAB，在△ANM和△ATB中，，∴△ANM≌△ATB（ASA），∴NM＝BT，∵MN＝BC，∴BT＝BC，∴BT＝CT，∴AT＝CT，∴AN＝CT＝DT+CD＝EN+CD；解法二：過點A作AT⊥AN交BC于點T．證明△AEN≌△ADT，推出EN＝DT，AN＝AT，再證明AT＝CT，可得結論．（3）解：如圖3﹣1中，當點D與B重合時，△ADM是等腰直角三角形，此時∠CDM＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣45°＝15°．如圖3﹣2中，當AD＝DM時，∵∠ADM＝45°，∴∠AMD＝∠DAM＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵∠AMD＝∠ACB+∠CDM，∴∠CDM＝67.5°﹣30°＝37.5°．如圖3﹣3中，當MA＝MD時，∠AMD＝90°，∴∠CMD＝90°，∴∠CDM＝90°﹣∠DCM＝60°．如圖3﹣4中，當DA＝DM時，∠DAM＝∠DMA，∵∠ADE＝∠DAM+∠DMA＝45°，∴∠DAM＝∠DMA＝22.5°，∴∠CDM＝180°﹣∠DCM﹣∠DMC＝180°﹣30°﹣22.5°＝127.5°，綜上所述，滿足條件的∠CDM的值為15°或37.5°或60°或127.5°．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

考點卡片1．科學記數法—表示較小的數用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【規(guī)律方法】用科學記數法表示有理數x的規(guī)律x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數的位數﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數字前所有0的個數（含小數點前的0）2．合并同類項（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項．（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變．（3）合并同類項時要注意以下三點：①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系數的代數項；字母和字母指數；②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數會減少，達到化簡多項式的目的；③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母和字母的指數不變．3．同底數冪的乘法（1）同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．am?an＝am+n（m，n是正整數）（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數）在應用同底數冪的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只有相乘時才是底數不變，指數相加．（3）概括整合：同底數冪的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵．在運用時要抓住“同底數”這一關鍵點，同時注意，有的底數可能并不相同，這時可以適當變形為同底數冪．4．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數不變，指數相乘．（am）n＝amn（m，n是正整數）注意：①冪的乘方的底數指的是冪的底數；②性質中“指數相乘”指的是冪的指數與乘方的指數相乘，這里注意與同底數冪的乘法中“指數相加”的區(qū)別．（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n＝anbn（n是正整數）注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據乘方的意義，計算出最后的結果．5．多項式乘多項式（1）多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）運用法則時應注意以下兩點：①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．6．因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現形式，整式乘法是多項式的表現形式．例如：3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗．7．提公因式法與公式法的綜合運用提公因式法與公式法的綜合運用．8．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負數的條件是分子、分母異號．9．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．10．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運算．運算順序應先把各個分式進行乘方運算，再進行分式的乘除運算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結：①分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當分子和分母是多項式時，一般應先進行因式分解，再約分．②整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運算時，要注意運算順序，乘除法是同級運算，要嚴格按照由左到右的順序進行運算，切不可打亂這個運算順序．11．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0．12．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．13．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．14．一元一次不等式的應用（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數量關系，用字母表示未知數．②根據題中的不等關系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．15．坐標與圖形性質1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數，在由距離求坐標時，需要加上恰當的符號．2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標系內的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．16．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．17．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．18．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．19．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三