專題12 定點(diǎn)問題（模擬+真題）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題教師版

第第頁專題12定點(diǎn)問題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一動點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），若的周長為6，且面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線的方程為：，過點(diǎn)作垂直于直線于點(diǎn)，求證：直線必過軸一定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得，即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，再由直線方程為，令，求得，即可求解.【詳解】（1）解：由點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)，且的周長為6，且面積的最大值為，可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：由橢圓，可得，直線的方程為，設(shè)直線的方程為，，，則，聯(lián)立方程組，整理得，則，，所以，又因?yàn)椋灾本€方程為，令，則，則直線必過軸一定點(diǎn).2．（2024·陜西西安·西安中學(xué)校考一模）已知雙曲線，其左、右頂點(diǎn)分別為，其離心率為，且虛軸長為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)一動點(diǎn)與的連線分別與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且恒過雙曲線的右焦點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率和虛軸長建立方程，求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立直線與方程即可求得，即可得解.【詳解】（1）由題意，得，解得，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，將其與雙曲線的方程聯(lián)立，消去得，整理得，設(shè)，，則，是方程的兩根，則，，因?yàn)橹本€的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，，由此解得，故點(diǎn)在定直線上

3．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，依次連接四個頂點(diǎn)得到的圖形的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)過直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率和四邊形面積得到方程組，求出，，得到橢圓方程；（2）設(shè)，，，設(shè)過點(diǎn)且與橢圓相切的直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)結(jié)合求出，求出以M為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，同理得到以N為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程，得到直線的方程為，直線過定點(diǎn).【詳解】（1）由題可得，即，，得．①又，即，②由①②可得，，所以橢圓C的方程為：．（2）設(shè)，，，由題知，直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線斜率存在，

設(shè)過點(diǎn)且與橢圓相切的直線方程為：，聯(lián)立方程得，，整理得，即，在橢圓上，，即，，，即，，解得，（此處也可以嘗試采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)而可得斜率）過點(diǎn)且與橢圓相切的直線方程為：，，即，整理可得以M為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，同理，以N為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，又兩切線均過點(diǎn)P，故，且，整理化簡得，且，點(diǎn)，均在直線上，直線的方程為，直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過圓上一點(diǎn)的切線方程為：，過圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為：.過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，過雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為4．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點(diǎn)A，B和M，N.設(shè)線段，的中點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線恒過一個定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求；（2）先依據(jù)（1）的結(jié)論分別建立的方程，再分別與拋物線聯(lián)立方程組，求出弦AB和弦MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，最后結(jié)合PQ的直線方程確定直線經(jīng)過定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F為，雙曲線的漸近線方程為：，即，則，解得，故拋物線的方程為：.（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)直線的方程為，由得，，因?yàn)橹本€與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，所以，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題知，直線的斜率為，同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.當(dāng)時，有，此時直線PQ的斜率，所以直線PQ的方程為，整理得，于是直線PQ恒過定點(diǎn).當(dāng)時，直線PQ的方程為，也過定點(diǎn).綜上，直線PQ恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線恒過定點(diǎn)的證明，考查拋物線、根的判別式、韋達(dá)定理、直線的斜率、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、函數(shù)與方程思想，是中檔題．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，P為平面內(nèi)一動點(diǎn)，記直線的斜率為k，直線的斜率為，且，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在第四象限），記直線，的斜率為，直線的斜率為，若，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)帶入化簡即可求得P的軌跡方程；（2）設(shè)，聯(lián)立直線方程與曲線方程，求得關(guān)于的一元二次方程，再由韋達(dá)定理求得兩根之和與兩根之積，再求得，，帶入中，即可求得直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，則，，整理得，曲線的方程為．（2）

由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線，與方程聯(lián)立并化簡，得，設(shè)，，則，，點(diǎn)在曲線上，，，又，，，，即，，，得，，，，直線的方程為，直線過定點(diǎn)．6．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長為.(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，過直線上任意一點(diǎn)作直線和，分別交橢圓于，兩點(diǎn).證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由橢圓定義并結(jié)合的周長為，從而可求解；（2）利用數(shù)型結(jié)合，設(shè)出直線，分別與橢圓聯(lián)立，然后利用根與系數(shù)關(guān)系從而求解.【詳解】（1）由題意知，的周長為，則，所以，又

，則

所以橢圓的方程為.（2）由題意可作出圖形，如圖，由題意知，，，直線，，斜率均存在，設(shè)，，則直線：，由，得因?yàn)楹愠闪ⅲ裕?/p>

即，所以

，直線：，由得，因?yàn)楹愠闪?，所以所以，?/p>

所以，所以直線方程為：

所以直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】（2）問中設(shè)出直線分別與橢圓聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系，從而可求解.7.（難度★★）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).【解析】（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得，由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，，欲使l：，即，所以l過定點(diǎn)（2，）（2）平移軸，建立以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如圖3所示在直角坐標(biāo)系下：已知，設(shè)設(shè)直線方程為易知橢圓的方程為變形得：由聯(lián)立得：化簡變形得：又，即.即.直線的方程為，直線過定點(diǎn)故在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn).8．（2023·江西南昌·高二南昌市外國語學(xué)校校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：(a>b>0)過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)K(2，0)作與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B點(diǎn)作直線l：x＝的垂線，其中c為橢圓C的半焦距，垂足分別為A1，B1，試問直線AB1與A1B的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【解析】(1)由題意得?所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線l：x＝，AB1與A1B的交點(diǎn)是.②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB為y＝k(x－2)，由?(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，A1，B1，所以lAB1：，lA1B：y＝，聯(lián)立解得x＝，代入上式可得＝＝0.綜上，直線AB1與A1B過定點(diǎn)．9．（2023·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)在E上．(1)求E的方程；(2)過點(diǎn)作互相垂直且與x軸均不重合的兩條直線分別交E于點(diǎn)A，B和C，D，若M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，證明：直線MN過定點(diǎn)．【解析】（1）因?yàn)樵摍E圓的離心率，所以有，又，所以有，因?yàn)辄c(diǎn)在E上，所以，聯(lián)立，解得，所以E的方程為；（2）由（1）知，由題意知直線AB和直線CD的斜率都存在且不為0，設(shè)直線AB方程為：，與E的方程聯(lián)立，消去x并整理，得，且，設(shè)，則，所以，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)椋瑒t直線CD的方程為，同理得，當(dāng)，即時，直線MN的斜率，所以直線MN的方程為，所以，因?yàn)椋灾本€MN的方程即為，顯然直線MN過定點(diǎn)；當(dāng)，即時，則或，此時直線MN的方程為，也過點(diǎn).綜上所述，直線MN過定點(diǎn).10．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，．直線不過點(diǎn)，因此．由，得，時，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過定點(diǎn)．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M到直線的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)的距離的2倍，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知斜率為的直線l與曲線C交于A、B兩個不同點(diǎn)，若直線l不過點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(3)設(shè)點(diǎn)Q為曲線C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)E、F是C上異于點(diǎn)Q的任意兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰過Q點(diǎn)，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由．【解析】（1）不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知，，化簡可得，，故曲線C的方程為.（2）不妨設(shè)直線的方程：，，，因?yàn)橹本€l不過點(diǎn)，易知，由可得，，由且可得，或，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)?，，，，所以，將，代入上式得，，故的值?.（3）由橢圓方程可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰過Q點(diǎn)，所以，結(jié)合橢圓特征可知，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線方程：，且，，，由可得，，由可得，，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)?，，，，所以，將，代入上式并化簡可得，，故直線方程：，易知直線必過定點(diǎn)，從而直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.12．（2023·廣西·高三象州縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求動點(diǎn)M的軌跡方程；(2)當(dāng)時，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線C，過F的直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ與直線分別交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【解析】（1）動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，當(dāng)時，動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離等于到的距離，軌跡為拋物線，設(shè)拋物線方程為，，，當(dāng)時，滿足條件.綜上所述：軌跡方程為：時，；時，（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得：，，，直線的方程為，同理：直線的方程為，令得，，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，所以.，圓的半徑為.所以為直徑的圓的方程為.展開可得，令，可得，解得或.所以以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)和13．在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)Р到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)過作兩條垂直直線，分別交曲線C于和，且分別為線段的中點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)證明見解析，定點(diǎn)為.【分析】（1）令，根據(jù)題設(shè)列方程并化簡整理，即可得曲線C的方程；（2）討論兩條直線斜率存在性，設(shè)直線、，聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理寫出相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而寫出直線，即可證結(jié)論并確定定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）令，則，兩邊平方，得，則，所以曲線C的方程為.（2）若兩條直線斜率都存在時，設(shè)直線，則，聯(lián)立，可得，則，所以，則，故，同理可得，所以，所以，則，此時過定點(diǎn)；若一條直線斜率為0，另一條斜率不存在，易知都在軸上，此時也過定點(diǎn)；綜上，直線過定點(diǎn)，得證.

14．已知橢圓的上?下頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)（異于兩點(diǎn)）在橢圓上，直線與的斜率之積為，橢圓的長軸長為6．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，且直線與相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)斜率之積和點(diǎn)P在橢圓上整理可得；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去y，利用P，Q坐標(biāo)表示出直線與的方程，求解出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后用韋達(dá)定理化簡即可得證.【詳解】（1）由題意可得，設(shè)，則，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則．因?yàn)椋?，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為．由消去得．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，所以．

由（1）知，可得因此，即點(diǎn)在直線上．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的處理思路：聯(lián)立方程消元，利用韋達(dá)定理表示出已知和所求，然后化簡整理即可.15．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，動點(diǎn)滿足條件：直線與直線的斜率之積等于，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)（與不重合），直線與的交點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，.【分析】（1）設(shè)，由斜率公式得到方程，整理即可得解；（2）依題意直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出直線、的方程，即可得到直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，根據(jù)韋達(dá)定理求出，即可求出，從而得解.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，即，故曲線的方程為；（2）根據(jù)題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以可設(shè)直線的方程為，①直線的方程為，②所以直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足.而，因此，即點(diǎn)在定直線上，且定直線的方程為.16．已知點(diǎn)、在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線交于、兩點(diǎn)，且，則直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】(1)(2)是，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可求出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線的斜存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，分析可知，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及韋達(dá)定理求出的值，即可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）解：將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：直線過定點(diǎn)，理由如下：若直線軸，則、關(guān)于軸對稱，設(shè)、則，則，，不合乎題意，所以，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立方程，消去可得，，所以，，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，所以，整理得，解得或，?dāng)時，直線的方程為，此時直線過點(diǎn)，不合乎題意，所以，，所以直線的方程為，直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.17．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)A，B，試問：的內(nèi)心是否在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)的內(nèi)心在定直線上【分析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于，的方程組，再求解即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理證明，進(jìn)而即可得出結(jié)論．【詳解】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，消整理得，則，，所以，所以，所以，又，所以恒成立，則的平分線總垂直于x軸，所以的內(nèi)心在定直線上．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解答小問（2）時，關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理得到，進(jìn)而得到的內(nèi)心在定直線上．18.（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)Dx,y與定點(diǎn)F2,0的距離和D到定直線(1)求曲線C的方程；(2)已知定點(diǎn)Pt,0，0<t<1，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線l，過點(diǎn)P作斜率大于0的直線l'與曲線C交于點(diǎn)G，H，其中點(diǎn)G在x軸上方，點(diǎn)H在x軸下方．曲線C與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，直線AG，AH與直線【答案】(1)x(2)t=3【分析】(1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離和點(diǎn)到直線距離列式化簡可得曲線方程；（2）先設(shè)直線GH:y=kx?tk>0，再聯(lián)立方程得韋達(dá)定理求出M，N坐標(biāo)，再應(yīng)用A，O，M，N四點(diǎn)共圓得出【詳解】（1）由已知得：x?22+y2x?（2）

設(shè)點(diǎn)Gx1,直線GH:y=kx?tk>0與雙曲線C的方程消去y得3?k由韋達(dá)定理：x1+x由條件，直線AG的方程為y=y1x于是可得yM=y因?yàn)锳，O，M，N四點(diǎn)共圓，所以∠ANP+∠MOA=π所以∠ANP=∠MOP，于是tan∠ANP=

即t+1yN又y1=kx1?t將韋達(dá)定理代入化簡得：t=3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：A，O，M，N四點(diǎn)共圓的應(yīng)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為tan∠ANP=19.（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x24?y212=1，直線l過(1)若M,N兩點(diǎn)均在雙曲線C的右支上，求證：1MF(2)試判斷以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)圓過定點(diǎn)?2,0【分析】（1）設(shè)直線MN:x=ty+4，與雙曲線方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長公式表示MF,（2）表示圓的方程，由對稱性可知定點(diǎn)在x軸上，令y=0進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）如圖，由F4,0，設(shè)Mx1代入3x2?由Δ>0y由韋達(dá)定理：y1由MF=同理，NF=2t∴==?12另法：由MF=同理，NF=由于y1y2則1MF由y2得y2所以1MF（2）由題意：圓的方程為x?即x由對稱性可知：若存在定點(diǎn)，則必在x軸上令y=0，有x由（1）可知x1x代入方程后有：x2即x2令x+2=0x2?4=0即x=?220．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．21．（2005·山東·高考真題）已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中．(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)；詳見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線定義即得；（2）由題意知直線的斜率存在，從而設(shè)方程為，聯(lián)立拋物線方程利用韋達(dá)定理法結(jié)合條件可表示出，進(jìn)而即得.【詳解】（1）由題可知動圓圓心到定點(diǎn)的距離與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以動圓圓心的軌跡方程為；（2）設(shè)，由題意得(否則)，且，由題意知直線的斜率存在，從而設(shè)的方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得，由韋達(dá)定理知，，因?yàn)闉槎ㄖ担?dāng)時，，所以，所以直線的方程為，即，所以直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時，則，可得，直線的方程為，恒過定點(diǎn)，綜上，當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn).22．（2005·山東·高考真題）已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中．(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)、是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)動圓圓心為，則，由此能導(dǎo)出所求動圓圓心的軌跡的方程．（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由得，由此能求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)動圓圓心為，依題意可得，整理得，所求動圓圓心的軌跡的方程是.（2）證明：設(shè)，，由題意得（否則，且，，所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，．即，，把代入得，由韋達(dá)定理知，，①，由得把①代入上式，整理化簡得，，此時，直線的方程可表示為：，即，令，解得，直線恒過定點(diǎn)．23．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.24．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.25．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時，直線：，直線過點(diǎn)，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時，直線：，直線過點(diǎn)．故直線CD過定點(diǎn)．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合設(shè)，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經(jīng)過直線和直線的方程可寫為．可化為．④易知A，B，C，D四個點(diǎn)滿足上述方程，同時A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過點(diǎn)．【整體點(diǎn)評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問的方法一最直接，但對運(yùn)算能力要求嚴(yán)格；方法二曲線系的應(yīng)用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結(jié)合的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計算更為簡單.26．（2017·全國·高考真題）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).【答案】(1).(2)證明見解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，由橢圓的對稱性可知C經(jīng)過，兩點(diǎn).另外由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出C的方程；（2）先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k