專題14 空間向量與立體幾何（理科）-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全用）含解析

專題14空間向量與立體幾何（理科）-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國(guó)通用）含解析 專題14空間向量與立體幾何（理科）考向一線面平行、垂直【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)乙卷（理科）【母題題文】在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】A【試題解析】【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.選項(xiàng)BCD解法二：解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線.在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.【命題意圖】本題主要考查線面平行、垂直的證明.【命題方向】這類試題在考查題型多以解答題形式出現(xiàn)，多為中檔題，是歷年高考的必考題型．常見(jiàn)的命題角度有：（1）線面平行的證明；（2）線面垂直的證明；（3）面面平行的證明；（4）面面垂直的證明.【得分要點(diǎn)】（1）利用線面、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理；（2）利用線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理.考向二線面夾角【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)乙卷（理科）【母題題文】如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【試題解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問(wèn)2詳解】連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.【命題意圖】本題主要考查直線與平面夾角，是一道中檔題.【命題方向】這類試題在考查題型上選擇題、填空題、解答題形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為中低檔題，重點(diǎn)考查線面夾角的求法問(wèn)題.【得分要點(diǎn)】找斜線在平面中的射影；求斜線與其射影的夾角；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求夾角.一、單選題1．（山東省濟(jì)南市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2022·廣東汕尾·高二期末）如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn).若，則（

）A． B． C． D．3．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測(cè)（理））已知a，b是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)（理））在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，若，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）①四面體外接球的表面積為②點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為③四面體的體積為④異面直線與所成的角為A． B． C． D．5．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過(guò)程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為正三角形，是的中點(diǎn)，若直線和平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B．C． D．7．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為，、中點(diǎn)，現(xiàn)有下列4個(gè)命題：①直線與直線垂直；②直線與平面平行；③點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等；④平面截正方體所得的截面面積為．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④8．（2022·河南河南·三模（理））已知正四棱柱，，，點(diǎn)為點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)為上底面上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①當(dāng)且點(diǎn)位于上底面的中心時(shí)，四棱柱外接球的表面積為；②當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)滿足；③當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)滿足；④當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題9．（2022·上海·位育中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，則這3點(diǎn)與原點(diǎn)共面的概率為_(kāi)____.10．（2022·廣東茂名·二模）正方體的棱長(zhǎng)為2．動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上．過(guò)點(diǎn)P作垂直于的平面．記平面截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y＝f（x），設(shè)BP＝x，．下列說(shuō)法中，正確的編號(hào)為_(kāi)____．①截面多邊形可能為四邊形；②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱；③當(dāng)x＝時(shí)，三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為9π．三、解答題11．（2022·湖北·天門(mén)市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，平面平面.(1)證明：.(2)若四棱錐的體積為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.12．（2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)（理））四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面底面，，，是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱PC上.(1)若Q是PC的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；(2)是否存在，使平面DEQ?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.13．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且PM與面ABC所成角的正切值為，求二面角的平面角的余弦值．14．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱柱中，，．(1)證明：平面平面．(2)設(shè)P是棱的中點(diǎn)，求AC與平面所成角的正弦值．專題14空間向量與立體幾何（理科）考向一線面平行、垂直【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)乙卷（理科）【母題題文】在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】A【試題解析】【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.選項(xiàng)BCD解法二：解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線.在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.【命題意圖】本題主要考查線面平行、垂直的證明.【命題方向】這類試題在考查題型多以解答題形式出現(xiàn)，多為中檔題，是歷年高考的必考題型．常見(jiàn)的命題角度有：（1）線面平行的證明；（2）線面垂直的證明；（3）面面平行的證明；（4）面面垂直的證明.【得分要點(diǎn)】（1）利用線面、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理；（2）利用線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理.考向二線面夾角【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)乙卷（理科）【母題題文】如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【試題解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)椋裕?，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.【命題意圖】本題主要考查直線與平面夾角，是一道中檔題.【命題方向】這類試題在考查題型上選擇題、填空題、解答題形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為中低檔題，重點(diǎn)考查線面夾角的求法問(wèn)題.【得分要點(diǎn)】找斜線在平面中的射影；求斜線與其射影的夾角；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求夾角.一、單選題1．（山東省濟(jì)南市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該正面體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以有，，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B2．（2022·廣東汕尾·高二期末）如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn).若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用向量的加減法公式，對(duì)向量進(jìn)行分解，進(jìn)而求出，，的值.【詳解】，故，，，即故選：.3．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測(cè)（理））已知a，b是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【解析】【分析】設(shè)出的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A，B，D；舉例說(shuō)明判斷C作答.【詳解】設(shè)平面的法向量分別為，對(duì)于A，由得，，，而，則，有，即，于是得，A正確；對(duì)于B，因，則，令直線的方向向量為，又，于是得，有，，B正確；對(duì)于C，三棱柱的三個(gè)側(cè)面分別視為平面，顯然平面平面，平面，有，即滿足C中命題的條件，但平面與平面相交，C不正確；對(duì)于D，因，則，因此，向量共面于平面，令直線的方向向量為，顯然，而平面，即不共線，于是得，所以，D正確.故選：C4．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)（理））在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，若，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）①四面體外接球的表面積為②點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為③四面體的體積為④異面直線與所成的角為A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分析可知線段的中點(diǎn)為四面體外接球球心，結(jié)合球體表面積公式可判斷①；過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷②③④的正誤.【詳解】對(duì)于①，取的中點(diǎn)，連接、，則，因?yàn)?，所以，，所以，為四面體的外接球球心，球的表面積為，①對(duì)；對(duì)于②③④，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則二面角的平面角為，在中，，，，則，，，則，，，，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的垂線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則、、、，，②錯(cuò)，，，③對(duì)，，，，故異面直線與所成角為，④錯(cuò).故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.5．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過(guò)程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)向量與所成角為，二面角的平面角大小為，由平方后求得，取中點(diǎn)E，連接，則，中應(yīng)用余弦定理求得，兩者結(jié)合和是與的關(guān)系，從而求得結(jié)論．【詳解】設(shè)向量與所成角為，二面角的平面角大小為，因?yàn)?，所以，又，所以?，則，所以，取中點(diǎn)E，連接，則，，,,在中，，即，所以，即，又因?yàn)椋?，因?yàn)橹本€夾角范圍為，所以直線與所成角的余弦值范圍是．故選：D．6．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為正三角形，是的中點(diǎn)，若直線和平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先作出直線和平面所成的角，求得三棱錐的高AF，進(jìn)而得到關(guān)于三棱錐外接球半徑的方程，進(jìn)而求得三棱錐外接球的表面積【詳解】連接，AE，過(guò)A點(diǎn)作平面于，則落在上，且為的重心，所以為直線和底面所成的角，即.因?yàn)榈倪呴L(zhǎng)為，所以，.設(shè)三棱錐外接球的球心為，外接球半徑為，則在上，連接.在中，，，，由勾股定理得，，即，解得.所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C7．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為，、中點(diǎn)，現(xiàn)有下列4個(gè)命題：①直線與直線垂直；②直線與平面平行；③點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等；④平面截正方體所得的截面面積為．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷①③的正確性；畫(huà)出平面截正方體所得的截面,由此判斷②④的正確性.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，所以①錯(cuò)誤.，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，所以到平面的距離為，，所以到平面的距離為，所以③錯(cuò)誤.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，四點(diǎn)共面，，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，所以②正確.等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，④正確.所以正確的為②④.故選：C8．（2022·河南河南·三模（理））已知正四棱柱，，，點(diǎn)為點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)為上底面上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①當(dāng)且點(diǎn)位于上底面的中心時(shí)，四棱柱外接球的表面積為；②當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)滿足；③當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)滿足；④當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)外接球的概念，作圖計(jì)算出外接球半徑，然后求解，可判斷①；然后建空間直角坐標(biāo)系，得到，，，為上底面上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，且，進(jìn)而對(duì)②③④各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可判斷并得到答案.【詳解】對(duì)于①，如圖，在中找到面的中心點(diǎn)，為球心，在線段上，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，，且，則設(shè)外接球半徑為，則，則在中，可得，解得，所以，四棱柱外接球的表面積為，①正確；由于，如圖，建系可得，，，，為上底面上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，且，對(duì)于②，點(diǎn)M關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為,，所以不存在點(diǎn)滿足，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，則，，因?yàn)椋黠@可見(jiàn)，時(shí)，，此時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)滿足，③正確；對(duì)于④，，，若，則有，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)?，所以，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，④正確；故正確的有：①③④故選：C二、填空題9．（2022·上海·位育中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，則這3點(diǎn)與原點(diǎn)共面的概率為_(kāi)____.【答案】##0.6【解析】【分析】由組合知識(shí)和古典概型概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，共有種，在平面上有種情況與原點(diǎn)共面，在平面上有種情況與原點(diǎn)共面，在平面上有種情況與原點(diǎn)共面，所以3點(diǎn)與原點(diǎn)共面共有種情況，所以這3點(diǎn)與原點(diǎn)共面的概率為.故答案為：.10．（2022·廣東茂名·二模）正方體的棱長(zhǎng)為2．動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上．過(guò)點(diǎn)P作垂直于的平面．記平面截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y＝f（x），設(shè)BP＝x，．下列說(shuō)法中，正確的編號(hào)為_(kāi)____．①截面多邊形可能為四邊形；②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱；③當(dāng)x＝時(shí)，三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為9π．【答案】②③【解析】【分析】先找到兩個(gè)與BD'垂直的平面作為輔助平面，確定這兩個(gè)平面之間的截面為六邊形，從而判斷①錯(cuò)誤；由正方體的對(duì)稱性判斷②；找出該三棱錐外接球的半徑，由球的表面積公式計(jì)算即可判斷③.【詳解】連接AB′，AC，A′D，DC′，分別以DA，DD′為x，y，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：∴，，，∴，，所以D′B⊥AC，D′B⊥AB′，又，所以D′B⊥面AB′C，同理可證：D′B⊥面A′C′D，所以面A′C′D∥面AB′C，如下圖所示，夾在面A′C′D和面AB′C之間并且與這兩個(gè)平面平行的截面為六邊形，故截面只能為三角形和六邊形，故①錯(cuò)誤；由正方體的對(duì)稱性，當(dāng)在中點(diǎn)處時(shí)，可得函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，故②正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段BD1的中點(diǎn)，連接AC，如圖，則，則，所以PH⊥AC，同理可證：PH⊥BD，BD，AC?面ABCD，所以PH⊥面ABCD，取PH的中點(diǎn)為，，則三棱錐P﹣ABC的外接球的球心為O，半徑為，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為，故③正確．故答案為：②③．三、解答題11．（2022·湖北·天門(mén)市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，平面平面.(1)證明：.(2)若四棱錐的體積為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理證明，再利用面面垂直的性質(zhì)得到平面即可得到；（2）根據(jù)（1）結(jié)合四棱錐的體積為，可得，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求解二面角的余弦即可(1)因?yàn)樵谥?，，故，所以，解得，故，?又平面平面且交于，故平面，又平面，故(2)由（1）結(jié)合錐體的體積公式可得，故，解得.又故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，，，故，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令有，故，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則12．（2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)（理））四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面底面，，，是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱PC上.(1)若Q是PC的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；(2)是否存在，使平面DEQ?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)時(shí)，平面.【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能求出二面角的余弦值．（2）設(shè)，，，，推導(dǎo)出，利用向量法能求出當(dāng)時(shí)，平面．(1)解：取中點(diǎn)，連接，，．因?yàn)?，所以．因?yàn)閭?cè)面底面，且平面底面，所以底面．可知，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以．所以，所以平面的法向量為．因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，即．令，則，即．所以．由圖可知，二面角為銳角，所以余弦值為．(2)解：設(shè)由（1）可知．設(shè)，，，則，又因?yàn)?，所以，即．所以在平面中，，所以平面的法向量為，又因?yàn)槠矫?，所以，即，解得．所以?dāng)時(shí)，即，平面．13．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且PM與面ABC所成角的正切值為，求二面角的平面角的余弦