雙曲線的簡單幾何性質(zhì)-副本

【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c間的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)考點(diǎn)二：等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線方程是y＝±x，離心率為eq\r(2).考點(diǎn)三:直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，①雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時(shí)，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)．(2)當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；Δ＝0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；Δ<0?直線與雙曲線有0個(gè)公共點(diǎn)．考點(diǎn)四：弦長公式若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).重難點(diǎn)技巧：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.【題型歸納】題型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（焦點(diǎn)、焦距）1．（2023·全國·高二）若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m為（

）A．1 B． C． D．不確定2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線與雙曲線，則兩雙曲線的（

）A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等3．（2022秋·山西·高二長治市上黨區(qū)第一中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知雙曲線，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．的離心率為 D．的虛軸長為題型二：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸）4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知雙曲線與，下列說法正確的是（）A．兩個(gè)雙曲線有公共頂點(diǎn) B．兩個(gè)雙曲線有公共焦點(diǎn)C．兩個(gè)雙曲線有公共漸近線 D．兩個(gè)雙曲線的離心率相等5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的實(shí)軸長為 B．C的漸近線方程為C．C的離心率為 D．C的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為6．（2023秋·四川眉山·高二仁壽一中校考期末）等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，，則的實(shí)軸長為（

）A．2 B．22 C．4 D．8題型三：等軸雙曲線7．（2022秋·江蘇連云港·高二期末）經(jīng)過點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線交于A，B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．9．（2023春·上?！じ叨谥校┤綦p曲線的右支上一點(diǎn)到直線的距離為，則的值為（

）A． B． C．或 D．2或題型四：雙曲線的漸近線問題10．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校）過原點(diǎn)的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），交x軸于C點(diǎn)，直線BC交雙曲線于點(diǎn)D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．11．（2023春·四川成都·高二?？计谥校┮阎p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．12．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．題型五：雙曲線的的離心率問題13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，一條漸近線與圓在第一象限交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B．2C． D．14．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線分別交雙曲線左?右兩支于兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，，則雙曲線的離心率（

）A．2 B． C． D．15．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過作一條直線與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．題型六：雙曲線的弦長、焦點(diǎn)弦問題16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，過傾斜角為的直線與雙曲線漸近線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．618．（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，P為右支上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，圓I為的內(nèi)切圓，且與x軸切于A點(diǎn)，過作，垂足為B，若，則的面積為（

）A． B． C．9 D．2題型七：雙曲線中的定值、定點(diǎn)問題19．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線C：一個(gè)焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及該定值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．20．（2023春·山東濰坊·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，記直線的斜率為，直線的斜率為，求.21．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是雙曲線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).題型八：雙曲線中的向量、定直線問題22．（2023春·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┮阎€上任意一點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)設(shè)，若過的直線與交于兩點(diǎn)，且直線與交于點(diǎn).證明：點(diǎn)在定直線上.23．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)在雙曲線上，求證：；(3)在（2）的條件下，求的面積．24．（2023春·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C的漸近線為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．26．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（

）A． B． C． D．27．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）“”是“雙曲線的離心率大于2”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件28．（2023秋·山東棗莊·高二棗莊八中校考期末）已知雙曲線，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．若的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則C．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D．若，則的漸近線方程為29．（2023秋·全國·高二期中）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在軸上，焦距為，漸近線斜率為；(3)離心率，且經(jīng)過點(diǎn)；(4)經(jīng)過點(diǎn)，且一條漸近線的方程為．30．（2023春·新疆和田·高二校考期中）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，且過點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)求的面積.【高分突破】一、單選題31．（2023春·新疆巴音郭楞·高二?？迹┰O(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與相交于、兩點(diǎn)，若為正三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．32．（2023秋·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則有（

）A． B． C． D．33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在上,且,,則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．34．（2023春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的右支上，若，且直線與C的一條漸近線平行，則C的離心率為（

）．A． B． C．2 D．35．（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，則該雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離的平方為（

）A．1 B． C．2 D．36．（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C的右支上一點(diǎn)．若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、多選題37．（2023秋·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．若以為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的左頂點(diǎn)，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的漸近線方程為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的離心率為238．（2023春·安徽阜陽·高二校聯(lián)考期中）已知曲線，則下列敘述正確的有（

）A．若曲線為圓，則B．若，則曲線的離心率為2C．若，則曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為D．若，則曲線是雙曲線且其漸近線方程為39．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，為上一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．的離心率為B．的最小值為C．若，為的左、右頂點(diǎn)，與，不重合，則直線，的斜率之積為D．設(shè)的左焦點(diǎn)為，若的面積為，則40．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則（

）A． B．的面積為 C．直線與圓相交D．的離心率41．（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形為矩形且，則下列正確的是（

）A． B．E的漸近線方程為C．矩形的面積為 D．E的離心率為42．（2023春·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，則（

）A．存在四條直線，使B．與該雙曲線有相同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．若、都在該雙曲線的右支上，則直線斜率的取值范圍是D．存在直線，使弦的中點(diǎn)為三、填空題43．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，則它的一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為.44．（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．45．（2023春·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，，且，則C的離心率為．46．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知，為雙曲線的焦點(diǎn)，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且，則雙曲線的漸近線方程為.47．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)為B，且滿足，，則該雙曲線的漸近線方程為．四、解答題48．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實(shí)軸長的倍.(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線