上海金陵中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

上海金陵中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)，則（

） A．

B．0

C．

D．參考答案：A2.由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為（

）A． B． C． D．參考答案：A3.cos210°=（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡求值得解．【解答】解：cos210°=cos=﹣cos30°=﹣．故選：A．4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù)的是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略5.直線的傾斜角為（

）A.150° B.120° C.60° D.30°參考答案：A【分析】現(xiàn)求出直線的斜率，再根據(jù)斜率是傾斜角的正切值，計(jì)算傾斜角即可.【詳解】設(shè)傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率為-，所以，，又因?yàn)樗?，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，其中熟記直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知f（x）=ax3+bx﹣，若f（3）=5，則f（﹣3）的值為(

)A．3 B．﹣1 C．7 D．﹣3參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知得27a+3b﹣=3，由此能求出f（﹣3的值．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx﹣，f（3）=5，∴+2=5，∴27a+3b﹣=3，∴f（﹣3）=﹣27a﹣3b++2=﹣（27a+3b﹣）+2=﹣3+2=﹣1．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?且為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)的值可以是A．

B． C．

D．參考答案：A8.關(guān)于數(shù)列3，9，…，2187，…，以下結(jié)論正確的是（） A．此數(shù)列不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列 B．此數(shù)列可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列 C．此數(shù)列可能是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 D．此數(shù)列不是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列 參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡單表示法． 【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)驗(yàn)證即得結(jié)論． 【解答】解：一方面∵=729， ∴該數(shù)列有可能是以首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列； 另一方面∵=363， ∴該數(shù)列有可能是以首項(xiàng)為3、公差為6的等差數(shù)列； 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查等差、等比數(shù)列的判定，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題． 9.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]參考答案：B【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的定義域；函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分式的分母不為0，對數(shù)的真數(shù)大于0，被開方數(shù)非負(fù)，解出函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，必須：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函數(shù)的定義域?yàn)椋海ī?，0）∪（0，2]．故選B．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域及其求法，考查計(jì)算能力．10.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示的螺旋線是用以下方法畫成的，是邊長為1的正三角形，曲線分別是為圓心，為半徑畫的弧，曲線稱為螺旋線的第一圈；然后又以A為圓心，為半徑畫弧，如此繼續(xù)下去，這樣畫到第圈．設(shè)所得螺旋線的總長度為．則（1）＝

；（2）=

．參考答案：（1）＝；（2）=12.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?﹣2a，a+1），且f（x﹣1）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是

．參考答案：6【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由y=f（x﹣1）為偶函數(shù)，可知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣1對稱，故函數(shù)f（x）定義域的兩端點(diǎn)關(guān)于﹣1對稱．【解答】解：由y=f（x﹣1）是偶函數(shù)，可知y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣1對稱故有，解得a=6，故答案為：6【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和定義，函數(shù)圖象的平移變換法則，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．13.函數(shù)的值域是

▲

.參考答案：14.已知函數(shù)，則的取值范圍是____參考答案：【分析】分類討論，去掉絕對值，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)各段上的取值，進(jìn)而得到函數(shù)的取值范圍，得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，此時函數(shù)的取值當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，最小值，所以函數(shù)的取值為當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以最大值為，此時函數(shù)的取值，綜上可知，函數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的值域問題，其中解答中合理分類討論去掉絕對值，利用函數(shù)的單調(diào)性求得各段上的值域是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論：①對任意的有；②在區(qū)間上的最大值為4；③的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；④的圖象關(guān)于對稱；⑤將函數(shù)的圖象按向量a平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則向量a的坐標(biāo)可能為其中正確的結(jié)論是

（寫出所有符合要求的序號）參考答案：①②③⑤

略16.已知單位向量與的夾角為α，且cosα＝，若向量＝3－2與＝3－的夾角為β，則cosβ＝________.參考答案：【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積分別計(jì)算出的模和的模，及的值即可得解.【詳解】由已知得：，，所以故得解.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.17.右圖所示莖葉統(tǒng)計(jì)圖表示某城市一臺自動售貨機(jī)的銷售額情況，那么這組數(shù)據(jù)的極差是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）如圖：有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底是圓的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．梯形的周長令為y，腰長為x（Ⅰ）求周長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系式，并求其定義域；（Ⅱ）當(dāng)梯形周長最大時，求此時梯形的面積S．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的最值及其幾何意義．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （I）畫出圖形，結(jié)合圖形，求出周長y關(guān)于腰長x的函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的定義域即可；（Ⅱ）求出函數(shù)y的最大值，并求出此時對應(yīng)的梯形的面積S．

解答： （I）如圖所示，作DE⊥AB于E，連接BD，因?yàn)锳B為直徑，所以∠ADB=90°；在Rt△ADB與Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED；所以=，即AE=；又AD=x，AB=4，所以AE=；所以CD=AB﹣2AE=4﹣2×=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8，由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，＞0，4﹣＞0，解得0＜x＜2；故所求的函數(shù)為y=﹣x2+2x+8（0＜x＜2）；（Ⅱ）因?yàn)閥=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，又0＜x＜2，所以，當(dāng)x=2時，y有最大值10，此時，梯形的腰長AD=x=2，下底長AB=4，所以AE==1；所以上底長CD=AB﹣2AE=4﹣2×1=2，高DE=；∴梯形的面積為S=（AB+CD）?DE=×（4+2）×=3．點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)最值的問題，是綜合性題目．19.已知的定義域?yàn)?（1）求集合A.（2）若,求的取值范圍.參考答案：略20.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，且滿足.(1)求B；(2)求b及△ABC的面積．參考答案：（1）；（2），.【分析】(1)利用正弦定理邊化角，三角等式化簡得到答案.(2)利用余弦定理和面積公式得到答案.【詳解】解：(1)∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．(2)∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，屬于高考?？碱}.21.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070

（1）若廣告費(fèi)與銷售額具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（2）在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組，求兩組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實(shí)際值之差的絕對值都不超過5的概率．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）首先求出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)滿足線性回歸方程，代入已知數(shù)據(jù)求出a的值，寫出線性回歸方程．（2）由古典概型列舉基本事件求解即可【詳解】(1)

，因此，所求回歸直線方程為：.

(2)x24568y304060507030.543.55056.569.5

基本事件：共10個，

兩組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實(shí)際值之差的絕對值都不超過5：共3個所以兩組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實(shí)際值之差的絕對值都超過5的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析的初步應(yīng)用，考查求線性回歸方程，考查古典概型，是基礎(chǔ)題22.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）設(shè)集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分別從集合A，B中隨機(jī)取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．參考答案：【考點(diǎn)】CF：幾何概型；CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5這五種情況來研究a＞0，且≤1的取法共有16種，而所有的取法共有6×6=36種，從而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由條件可得，實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的面積等于S△OMN=×8×8=32，滿足條件的區(qū)域的面積為S△POM=×8×=，故所求的事件的概率為P=，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法總數(shù)為6×6=36個，滿足條件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣