多維隨機(jī)變量及其分布市公開課特等獎(jiǎng)市賽課微課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第三章多維隨機(jī)變量及其分布第1頁第三章多維隨機(jī)變量及其分布在實(shí)際問題中,一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)往往用幾個(gè)隨機(jī)變量整體地討論其結(jié)果.如射擊時(shí)考慮子彈在靶標(biāo)上位置,我們用定義在同一個(gè)樣本空間S上兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y分別表示子彈在靶標(biāo)上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),則子彈在靶標(biāo)上位置可用二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量（X，Y）表示.第2頁普通，設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E樣本空間為S={e},X=X(e)和Y=Y(e)分別是定義在同一個(gè)樣本空間S上隨機(jī)變量，我們稱向量（X，Y）為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。類似能夠定義三維隨機(jī)變量以及任意有限維隨機(jī)變量。我們把二維及二維以上隨機(jī)變量稱為多維隨機(jī)變量。本章主要討論二維隨機(jī)變量，其結(jié)果只要形式上加以處理，就能夠推廣到三維或三維以上隨機(jī)變量。第3頁§1二維離散型隨機(jī)變量§1.1二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律第4頁二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)分布律表第5頁解

(X,Y)可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),則(X,Y)聯(lián)合分布律為第6頁§1.2二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律性質(zhì)性質(zhì)1

性質(zhì)2證

第7頁證

第8頁解P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i)(i≥j),于是(X,Y)分布律為第9頁§1.3二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)第10頁設(shè)二維離散型隨機(jī)變量X和Y含有分布律P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2,...)，則二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為其中和式是對(duì)一切滿足xi≤x,yj≤y來求和.第11頁(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oⅠⅢⅡⅣxy第12頁§1.4二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1

F(x,y)分別關(guān)于x和y單調(diào)不減.

證對(duì)任意因?yàn)?/p>

所以即

同理可證,對(duì)任意

有第13頁性質(zhì)3F(x,y)分別關(guān)于x和y右連續(xù).

第14頁§1.5二維連續(xù)型隨機(jī)變量第15頁第16頁解

(1)由得所以

k=6(2)第17頁解

由

則

當(dāng)x>1,y>1時(shí),所以(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)第18頁例:設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)含有概率密度

(1)求分布函數(shù)F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}.解:(1)(2)將(X,Y)看著平面上隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo).G是xoy平面上直線y=x下方部分.第19頁關(guān)于二維隨機(jī)向量討論,能夠推廣到n(n>2)維隨機(jī)向量情況.設(shè)(X1,X2,…,Xn)為n維隨機(jī)向量,對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn,n元函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}稱為n維隨機(jī)向量(X1,X2,…,Xn)分布函數(shù)或隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn聯(lián)合分布函數(shù).它含有類似于二維隨機(jī)向量分布函數(shù)性質(zhì).第20頁21例題：已知隨機(jī)變量X和Y聯(lián)合概率密度為求（X，Y）聯(lián)合分布函數(shù)第21頁§1.6慣用二維連續(xù)型隨機(jī)變量第22頁p67第23頁第24頁§2邊緣分布第25頁§2.1邊緣分布函數(shù)第26頁邊緣分布函數(shù)完全由聯(lián)合分布函數(shù)確定.第27頁解

(X,Y)關(guān)于X邊緣分布函數(shù)第28頁解

(X,Y)關(guān)于Y邊緣分布函數(shù)第29頁§2.2邊緣分布律第30頁(1)(X,Y)關(guān)于X邊緣分布律(2)(X,Y)關(guān)于Y邊緣分布律第31頁第32頁解

P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j)于是(X,Y)分布律及關(guān)于X和Y邊緣分布律為第33頁例:把3個(gè)白球和3個(gè)紅球等可能地放入編號(hào)為1,2,3三個(gè)盒子中.記落入第1號(hào)盒子白球個(gè)數(shù)為X,落入第2號(hào)盒子紅球個(gè)數(shù)為Y.求(X,Y)分布律和關(guān)于X和Y邊緣分布律.解顯然有又因?yàn)槭录X=i}與事件{Y=j}相互獨(dú)立,所以有第34頁用表格可以下表示第35頁例：已知(X,Y)聯(lián)合分布律以下，且知X與Y相互獨(dú)立，請(qǐng)將表格填寫完整。Y=y1Y=y1Y=y1Pi.X=x11/8X=x11/8P.j1/61第36頁§2.3邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)完全由聯(lián)合密度函數(shù)所決定.第37頁設(shè)連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)概率密度函數(shù)為f(x,y)則從而得到X和Y概率密度函數(shù)分別為第38頁例:設(shè)隨機(jī)變量X和Y含有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度fX(x)和fY(y).解第39頁第40頁解（X，Y）聯(lián)合密度函數(shù)則（X，Y）關(guān)于X邊緣密度函數(shù)（X，Y）關(guān)于Y邊緣密度函數(shù)第41頁（1）（X,Y）關(guān)于X邊緣密度函數(shù)（2）（X，Y）關(guān)于Y邊緣密度函數(shù)第42頁§3條件分布條件分布是條件概率推廣.本節(jié)主要討論關(guān)于二維離散型隨機(jī)變量條件分布律和關(guān)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量條件密度函數(shù).第43頁§3.1條件分布律第44頁第45頁第46頁則在X=3條件下Y條件分布律其中如同理在Y=1條件下X條件分布律第47頁§3.2條件密度函數(shù)第48頁第49頁第50頁例：設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取值，當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時(shí)，數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)取值。求Y概率密度。第51頁§4相互獨(dú)立隨機(jī)變量隨機(jī)變量相互獨(dú)立是概率論中非常主要概念,它是隨機(jī)事件相互獨(dú)立推廣.本節(jié)主要討論兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立普通性定義,然后對(duì)兩個(gè)離散性隨機(jī)變量和兩個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量相互獨(dú)立進(jìn)行不一樣處理.第52頁第53頁第54頁第55頁證

X與Y聯(lián)合分布律與邊緣分布律如表所表示:第56頁例:把3個(gè)白球和3個(gè)紅球等可能地放入編號(hào)為1,2,3三個(gè)盒子中.記落入第1號(hào)盒子白球個(gè)數(shù)為X,落入第2號(hào)盒子紅球個(gè)數(shù)為Y.求(X,Y)分布律,并判斷隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立.解顯然有又因?yàn)槭录X=i}與事件{Y=j}相互獨(dú)立,所以X和Y是相互獨(dú)立,且有第57頁用表格可以下表示第58頁解

(1)第59頁例:設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)概率密度函數(shù)為試證X和Y相互獨(dú)立.解于是有

f(x,y)=fX(x)fY(y)所以X和Y相互獨(dú)立.第60頁解(1)X與Y密度函數(shù)分別為因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以(X,Y)聯(lián)合密度函數(shù)第61頁解

(2)因?yàn)樗缘?2頁證關(guān)于X與Y邊緣密度函數(shù)分別為則X與Y相互獨(dú)立充分必要條件是

即

第63頁第64頁例：一責(zé)任人抵達(dá)辦公室時(shí)間均勻分布在8~12時(shí)，他秘書抵達(dá)辦公室時(shí)間均勻分布在7~9時(shí)，設(shè)他們兩人抵達(dá)時(shí)間相互獨(dú)立，求他們抵達(dá)辦公室時(shí)間相差不超出5分鐘概率。第65頁§5兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)分布處理兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)分布方法與一個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)分布方法是一樣,只是前者要比后者復(fù)雜得多.有鑒于此,我們僅僅對(duì)幾個(gè)特殊情形加以討論.第66頁§5.1Z=X+Y分布解Z為離散型隨機(jī)變量,其可能取值是0,1,2,3，則Z0123P{Z=k}0.100.400.350.15第67頁解

(1)求Z分布函數(shù)(2)求Z密度函數(shù)由X與Y對(duì)稱性,得假如X與Y相互獨(dú)立則有第68頁例：設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且都在（-a,a）上服從均勻分布，求Z=X+Y分布。（a>0）第69頁定理表明：相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布隨機(jī)變量線性組合也服從正態(tài)分布.第70頁§5.2、分布設(shè)(X,Y)

為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它含有概率密度f(x,y),則、仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度分布為：第71頁若X與Y相互獨(dú)立，設(shè)（X,Y)關(guān)于X,Y邊緣概率密度分布為，則上兩式可化為：§5.2、分布第72頁§5.3Z1=max{X,Y}和Z2=min{X,Y}分布解

即Z1=max{X,Y}分布函數(shù)為第73頁解

即Z2=min{X,Y}分布函數(shù)為第74頁第75頁解系統(tǒng)壽命Z=min{X,Y}(1)求Z分布函數(shù)當(dāng)z>0時(shí),第76頁(2)求Z密度函數(shù)因?yàn)閄與Y都服從U(0,1000),則所以第77頁例:設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立子系統(tǒng)L1，L2聯(lián)接而成，聯(lián)接方式分別為（1）串聯(lián)；（2）并聯(lián)；（3）備用（當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)，系統(tǒng)L2開始工作）.設(shè)L1，L2壽命X和Y概率密度分別為其中α>0,β>0,且α≠β.試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出L壽命Z概率密度.第78頁解X和Y分布函數(shù)分別為因?yàn)楫?dāng)L1，L2中有一個(gè)損壞時(shí),系統(tǒng)L就停頓工作,所以這時(shí)L壽命為Z=min{X,Y},其分布函數(shù)為于是Z=min{X,Y}概率密度為（1）串