高等數(shù)學(xué)課程教案講義（上）

第一章函數(shù)極限與連續(xù)

一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求

I、理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定

義域、函數(shù)值，并會(huì)作出簡單的分段函數(shù)圖像，掌握函數(shù)的表示方法。

2、了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3、理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5、會(huì)建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。

6、理解極限的概念，理解函數(shù)在極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之

間的關(guān)系。

7、掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

8、掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的

方法。

9、理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。

10、理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

11、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、

最大值、最小值定理和介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

二、教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn)：

1.數(shù)列的極限、函數(shù)的極限的概念

2.極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；

3.極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，利用兩個(gè)重要極限求極限；

4.無窮小的比較，用等價(jià)無窮小求極限；

5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

三、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：

1.數(shù)列極限的的深刻背景，函數(shù)極限的幾何意義；

2.兩個(gè)重要極限、等價(jià)無窮小的應(yīng)用；

3.極限與無窮小的關(guān)系；

4.連續(xù)的實(shí)質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，用介值定理推證一些簡單命題。

§1、函數(shù)

一、內(nèi)容要點(diǎn)

基本概念

集合，區(qū)間，鄰域，常量與變量，絕對(duì)值.

函數(shù)的概念

函數(shù)的特總:有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性.

反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，基本初等函數(shù)與初等函數(shù)

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

本部分屬基本概念，對(duì)其中的每一個(gè)定義都應(yīng)加以仔細(xì)推敲，透徹理解和牢固其精神

實(shí)質(zhì)，從而為學(xué)習(xí)本課程奠定好基礎(chǔ)。

從實(shí)際問題建立變量之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)際問題的第一步，也是比較困難的一

步，要注意這方面的訓(xùn)練，以便逐步培養(yǎng)分析問題解決問題的能力。

三、作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題1

一、集合、常量與變量

1、集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。通常用大寫字母A、B、C……等來表示，

組成集合的各個(gè)事物稱為該集合的元素。若事物a是集合M的一個(gè)元素，就記aeM（讀a屬于M）；

若事物a不是集合M的一個(gè)元素，就記a/M或aeM（讀a不屬于M）；集合有時(shí)也簡稱為集。

注1:若一集合只有有限個(gè)元素，就稱為有限集；否則稱為無限集。

2：集合的表示方法:

⑴、若集合為有限集，耐用列舉出其全體元和方法來表示，如：A={1,2,3,……,

10},8={一只貓，一只狗，一咫鳥};

(方)、對(duì)無限集，若知道期素的規(guī)律，也可類彳照出，如：A={1,2,3,……}為全體自

然數(shù)集，8={2,4,6,……}為全體偶數(shù)集；

枚舉法|(m)、列不出全體元素或找不到元素規(guī)律的集合，若知其元素有某種性質(zhì)那么該集

合可表示為：A={x|x所具有的某種性質(zhì)},即：有此性質(zhì)的必抽中，且4中的元素必

須有此性質(zhì)。如：4={巾3+5/+7*+3=0}；3={小為我校的學(xué)生};C={(x,y)|點(diǎn)

(x,y)在。中}等。

3：全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實(shí)數(shù)的集合記為R。

以后不特別說明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。

4：集合間的基本關(guān)系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有xeA,必有xeB,就稱A

為B的子集，記為Au&或6nA(讀B包含A)。

顯然：NuZuQuR.

若Au3,同時(shí)3uA,就稱A、B相等，記為A=B。

5：當(dāng)集合中的元素重復(fù)時(shí),重復(fù)的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。

6：不含任何元素的集稱為空集，記為①，如：{MY+inaxeRkOUxrXn-l上①,空集是

任何集合的子集，即中uA。

7：區(qū)間：所有大于a、小于b(a<刀的實(shí)數(shù)組成一個(gè)集合，稱之為開區(qū)間，記為(a,b),即

(a,b)={，aYxY/?}°

同理：［a,b］={mWxW)}為閉區(qū)間，［“,))={'aWxY)}和(a,。］={'a-<x<b］分別稱為

左閉右開、左開右閉的區(qū)間，統(tǒng)稱為半開區(qū)間。

以上均成為有限區(qū)間，a、b分別稱為左、右端點(diǎn)。

對(duì)無窮區(qū)間有：(-8,"={x|x</?},(?,+°°)={x|aY%},(-00,4-00)={x|-coYXY+oo}=R,

在不特別要求下，有限區(qū)間、無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間，用I表示。

8：鄰域：設(shè)a和3為兩個(gè)實(shí)數(shù)，且bA0.集合可卜―4YS}稱為點(diǎn)a的3鄰域，記為。(。,5),a

為該鄰域的中心，3為該鄰域的半徑，事實(shí)上，

U(。,8)={也-8-<x<a+S］=(a—8,a+8)o

同理：我們稱UG/)={X|0Y|X-4YS}為a的去心5鄰域，或a的空心b鄰域。

9：集合的內(nèi)容很多，其它內(nèi)容(如集合的運(yùn)算)在此不作一一介紹了。

2、常量與變量：在自然科學(xué)中，我們會(huì)遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時(shí)，發(fā)現(xiàn)有著非常

不同的狀態(tài)，有的量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各

種不同的數(shù)值，這種量稱為變量。

【例】擲同一鉛球數(shù)次，發(fā)現(xiàn)鉛球的質(zhì)量、體積為常量，而投擲距離、上拋角度、用力大小均為變

里。

注1:常量與變量是相對(duì)而言的，同一量在不同場(chǎng)合下，可能是常量，也可能是變量，如在一天或

在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，一旦環(huán)境

確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c……等字母表示，變量用x,y,u,t……等字母表示，常量a為一定值，在數(shù)軸

上可用定點(diǎn)表示，變量x代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動(dòng)點(diǎn)表示，如：與表示x可

代表(a,加中的任一個(gè)數(shù)。

二、函數(shù)的概念

【例】正方形的邊長x與面積S之間的關(guān)系為：S=%2,顯然當(dāng)x確定了，S也就確定了。

這就是說，同一過程中變量之間往往存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系。它們?cè)谧裱骋灰?guī)律時(shí)相互聯(lián)系、相互

約束著。

定義：設(shè)x和y為兩個(gè)變量，，。為一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)每一個(gè)xe。，按照一定的法則/變量y

總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，就稱y為x的函數(shù)，記為y=/(x).數(shù)集。稱為該函數(shù)的定義域，

x叫做自變量，y叫做因變量。

當(dāng)x取數(shù)值時(shí)，依法則/的對(duì)應(yīng)值稱為函數(shù)y=/(x)在x=x0時(shí)的函數(shù)值。所有函數(shù)值

組成的集合W=｛巾=f(x),xeD｝稱為函數(shù)y=/(x)的值域。

注1：函數(shù)通常還可用丁=8(幻,丁=/(幻,5=〃(。等表示。

2：約定：函數(shù)的定義域就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的全體。

【例1】y=sinx的定義域?yàn)?-oo,+oo),值域?yàn)椋垡?,1］。

【例2】y=J1+尤的定義域?yàn)椋?1,+8),值域?yàn)椋?,+8)。

%20Yx41

【例3】y=<gx=0的定義域?yàn)椋邸?,1］,值域?yàn)椋?,2］。

1—x-IKXYO

x

【例4】/*(%)三1的定義域?yàn)?―00,+8),人。)=—的定義域?yàn)?一8,0)。(0,+8),從而顯然

X

wh(x)o

3、若對(duì)每一個(gè)xe。，只有唯一的一個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，就稱函數(shù)y=/(x)為單值函數(shù)；若有不止

一個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，就稱為多值函數(shù)。如：，+y2=l,/-y2=1等。以后若不特別聲明，只討論單

值函數(shù)。

4、函數(shù)的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學(xué)式子來

表示對(duì)應(yīng)法則，上例均為解析法，注意例3的法則是：當(dāng)自變量x在(0,1］上取值，其函數(shù)值為》2；

當(dāng)x取0時(shí)，當(dāng)x在［—1,0)上取值時(shí)，其函數(shù)值為1—X。(這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，在

以后經(jīng)常遇見，希望注意！)盡管有幾個(gè)不同的算式，但它們合起來只表示一個(gè)函數(shù)！

5、對(duì)。中任一固定的x,依照法則有一個(gè)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，以x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)在坐標(biāo)平面

上就確定了一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)x取遍。中的每一數(shù)時(shí)，便得到一個(gè)點(diǎn)集。=｛。,歷｝=/。)/6。｝,我們

稱之為函數(shù)y=/(x)的圖形。換言之，當(dāng)x在。中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)(x,y)的軌跡就是y=/(x)的圖形。

【例5】書上的幾個(gè)例子。(同學(xué)們自己看)

【例6】例3的圖形如下圖

三、函數(shù)的兒種特性

1、函數(shù)的有界性：設(shè)y=/(x)在。上有定義，若對(duì)Vxe。曰例＞0,使得：|/(刈＜/,就稱

/(x)在。上有界，否則稱為無界。

注：1、若對(duì)Vxe。，3M,使得就稱/(x)在。上有上(下)界。/(幻在。

上有界＜=＞/(%)在。上同時(shí)有上界和下界。

2、/(x)在。上無界也可這樣說：對(duì)VM〉0,總?cè)絸。，使得

【例7】上段例1、3、4中的函數(shù)是有界的；例2中的函數(shù)是無界的，但有下界。

2、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)/(X)在區(qū)間/上有定義，若對(duì)Vxpx2el,當(dāng)jqY9時(shí)總有：

(1)/(%,)</(%2),就稱/(X)在/上單調(diào)遞增，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式/(項(xiàng))Y/X/)成立時(shí)，

就稱/(%)在1上嚴(yán)格單調(diào)遞增。

(2)/(%,)>/(%2),就稱/(x)在/上單調(diào)遞減，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式/(為)》/(乙)成立時(shí)，

就稱/(%)在/上嚴(yán)格單調(diào)遞減。

注：1、此處的定義與書上有區(qū)別，希望注意！

2、這樣的函數(shù)分別稱為單調(diào)函數(shù)和嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。

3、調(diào)遞增有時(shí)簡稱單增、遞增或不減，其它也一樣。

【例8】符號(hào)函數(shù)和取整函數(shù)均為單增函數(shù)，但不嚴(yán)格單調(diào)。

【例9】y=,在(0,+8)上是嚴(yán)格單減函數(shù)。

x

【例10］［例3］中的函數(shù)在定義域上不是單調(diào)的，但在［-1,0)上是嚴(yán)格單減的，在(0J上是

嚴(yán)格單增的。

3、函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)/(幻的定義域。為對(duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集，即若xe。，有一xe。，

(1)若對(duì)Vxe。，有/(—x)=/(x)恒成立，就稱/(幻為偶函數(shù)。

(2)若對(duì)Vxe。，有/(—x)=—/(x)恒成立，就稱/(x)為奇函數(shù)。

【例11］y=x2,y=cosx,y=W，是偶函數(shù)，y=x3,y=sinx,y=sgnx,是奇函數(shù)。

y=x2+x3,y=cosx+sinx是非奇非偶函數(shù)。

【例111*y=InCx+Jl+x?)是奇函數(shù)。

注：1、偶函數(shù)的圖形是關(guān)于y軸對(duì)稱的，奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。

2、若/(x)是奇函數(shù)，且0e。，則必有/(OXO。

3、兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也為偶

函數(shù)；一奇一偶的積為奇函數(shù)。

4、周期性：設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椤?，如果引?,使得對(duì)VxwO,有％±/€。，且

y(x+/)=/(x)恒成立,就稱/(X)為周期函數(shù)，/稱為了(幻的周期。

［例12］y=sinx,y=cosx,y=fgx分別為周期為2肛2%,7的周期函數(shù)，y=x-［x］為周期為1

的函數(shù)。

注1：若/為/(x)的周期，由定義知2/,3/,4/……也都是的周期，故周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期,

通常說的周期是指最小正周期(基本周期)，然而最小正周期未必都存在(為什么？)

例如：y-sin2x+cos2x=i,設(shè)有最小正周期。

2：周期函數(shù)在一每個(gè)周期(a+/+1)/)(。為任意數(shù)，%為任意常數(shù))上，有相同的形狀。

四、反函數(shù)

設(shè)/(x)的定義域?yàn)?。，值域?yàn)閃，因此，對(duì)VyeW,必Hre。，使得/(x)=y,這樣的x可

能不止一個(gè)，若將y當(dāng)作自變量，x當(dāng)作因變量，按函數(shù)的概念，就得到一新函數(shù)x=°()，)，稱之為

函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，而/(x)叫做直接函數(shù)。

注1：反函數(shù)x=e(y)的定義域?yàn)閃,值域?yàn)镈；

2：由上討論知，即使y=/(x)為單值函數(shù)，其反函數(shù)卻未必是單值函數(shù)，以后對(duì)此問題還作研

究；

3：在習(xí)慣上往往用x表示自變量，y表示因變量，因此將x=°(y)中的x與y對(duì)換一下，y=/(x)

的反函數(shù)就變成y=G(x),事實(shí)上函數(shù)y=°(x)與x=e(y)是表示同一函數(shù)的，因?yàn)椋硎竞瘮?shù)關(guān)

系的字母"夕"沒變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒什么關(guān)系。所以說：若y=/(x)的反函數(shù)為

x=°(y),那么y=°(x)也是y=/(x)的反函數(shù)，且后者較常用；

4：反函數(shù)y=°(x)的圖形與直接函數(shù)y=/(x)的圖形是對(duì)稱于y=x(證明很簡單，大家自己

看書)；

5：有些書上，對(duì)反函數(shù)的定義與此不同，希加與之區(qū)別。

1I

［例13］函數(shù)y=ax+仇y==/的反函數(shù)分別為：x=^~~^,x=±J］,x=尸或分別為

a

x-br-\

y='----■,y=±dx,y=%3。

a

五初等函數(shù)

幕函數(shù)

形如y=x"(必為常數(shù))的函數(shù)叫做事函數(shù)。

其定義域較為復(fù)雜，下作一些簡單的討論：

(1)當(dāng)M為非負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?—8,+00)；

（2）當(dāng)〃為負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)椋ā猳o,0）U（0,+oo）;

（3）當(dāng)必為其它有理數(shù)時(shí)，要視情況而定。

【例1】y=/的定義域?yàn)椋ㄒ?,+8）；

3

y-x2,y=X4的定義域?yàn)椋跲,+8）；

y=x2的定義域?yàn)椋?,+oo）。

（4）當(dāng)M為無理數(shù)時(shí)，規(guī)定其定義域?yàn)椋?,+8）,其圖形也很復(fù)雜，但不論〃取何值，圖形總過（1,

1）點(diǎn)，當(dāng)〃>0時(shí)，還過（0,0）點(diǎn)。

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)：形如^=。'（。>0,。71）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋ā?,+00）,其圖形總在x軸

上方，且過（0,1）點(diǎn)，

（1）當(dāng)4>1時(shí)，>是單調(diào)增加的；

（2）當(dāng)0<。<1時(shí)，y=a"是單調(diào)減少的；

以后我們經(jīng)常遇到這樣一個(gè)指數(shù)函數(shù)y=",e的意義以后講，其圖形大致如下圖所示，特別地，

y=a"與y=a"'關(guān)于y軸對(duì)稱。

2、對(duì)數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)y=a"的反函數(shù)，記為y=log〃x（a為常數(shù)，a>0,。/1）,稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，

其定義域?yàn)椋?,+8）,由前面反函數(shù)的概念知：了=優(yōu)的圖形和^=1。8”》的圖形是關(guān)于丫=*對(duì)稱

的，從此，不難得y=log“光的圖形，

y=log.x的圖形總在y軸右方，且過（1,0）點(diǎn)

（1）當(dāng)。>1時(shí)，y=log〃x單調(diào)遞增，且在（0,1）為負(fù)，（1,+8）上為正；

（2）當(dāng)0<“<1時(shí)，y=log“x單調(diào)遞減，且在（0,1）為正，（l,+oo）上為負(fù)；

特別當(dāng)a取e時(shí)，函數(shù)記為y=lnx,稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)。

三角函數(shù)與反三角函數(shù)

2、三角函數(shù)

三角函數(shù)主要是:

正弦函數(shù)：y=sinxX6(-00,+00)

余弦函數(shù)：y=cosxXG(-00,400)

冗

正切函數(shù)：y=tanx——n-0,±l,±2,.......

2

余切函數(shù)：y=cotxx豐rtTin=0,±l,±2,.......

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為2乃的周期函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為1的周期函

數(shù)。正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個(gè)：正割

y-secx=------和余割y=csex=------，其圖形在此不做討論了。

cosxsinx

3、反三角函數(shù)：

反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為：

反正弦函數(shù)：y—Arcsinxx€[-m

反余弦函數(shù)：y—Arccosxxe[-l,l]

反正切函數(shù)：y=ArctanxX￡(-00,-KO)

反余切函數(shù)：y=ArccotxXG(-00,+00)

顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個(gè)單值分支，叫做主值，選法如下：

將y=A/vsinx限制在［一、,、］上，得一單值函數(shù)，記為y=arcsinx,它就是所取主值函數(shù),

［,—］叫做主值區(qū)間，顯然---<arcsinx<一,

2222

同理：將丁=4r。(：05%限制在［0,萬］上，得丁=31\：(：0&￥

將y=Arctanx限制在［一、,］］上，得y=arctanx

將y=Arecotx限制在［0,萬］上，得y=arccotx

從圖中不難看出arcsinx和arctanx是單調(diào)遞增的，arccosx和arccotx是單調(diào)遞減的。

復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)

設(shè))=/"(〃)，定義域?yàn)閍=0(x),定義域?yàn)?,值域?yàn)?，且也<=2,這樣對(duì)于VXW￡)2，

由"=9(x)可算出函數(shù)值”€叫uR,所以由y=/(〃)又可算出其函數(shù)值y,因此對(duì)于

VxeD2,有確定的值y與之對(duì)應(yīng)，從而得一個(gè)以x為自變量，y為因變量的函數(shù)，我們稱之為以

y=/(“)為外函數(shù)，“=玄外為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)，記為y=/(°(x)),其中"為中間變量。

【例1】y=sir)2x就是y=zJ和〃=sinx復(fù)合而成；

y=cosx2就是y=cosw和a=/復(fù)合而成。

注1：并非任何兩函數(shù)都可以復(fù)合的，

例如：y=arcsinw和〃=2+/不能復(fù)合；

y-和〃=-1-x2也不能復(fù)合。

2：復(fù)合可推廣到三個(gè)或更多的函數(shù)上去，如：

y=tan(Inx)?就是y=tanu,u=v2,v=Inx復(fù)合成的。

3：在函數(shù)復(fù)合中，未必都有y=/(M)、”=e(x)的形式，一般為y=/(x)和y=g(x),這時(shí)

候就要注意哪個(gè)為外函數(shù)，哪個(gè)為內(nèi)函數(shù)，從而復(fù)合后有y=/(x)和y=g(x)之分。

2、初等函數(shù)

我們把募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù)和基

本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合后所得到的能用一個(gè)解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函

數(shù)。

+sin%

【例2】y=Jl+x,y=Jl-2",y=sin2x,y=tan(lnx)2,y=arctanP等都是初等函數(shù)。

V1-sinx

本教材討論的主要都是初等函數(shù)。

雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)

e'-e~x

雙曲正弦：y=shx=-------xe(-00,+oo)

2

ex+e~x

雙曲余弦：y=chx=-------X€(-00,+00)

2

c/?Y(>X

雙曲正切：y=thx=---=—xe(-oo,+oo)

反雙曲正弦：y=arshx=ln(x+Vx2+1)xG(—OO,+OO)

反雙曲余弦：y=archx-]n(x+\x2—1)xe[l,+oo)

（多值函數(shù)y=±ln（x+Jx匚1）取“+”號(hào)為主值）

11+r

反雙曲正切：y-artfix=—In——-xe（-1,1）

21-x

由于這類以后用得較少，只要掌握上面的內(nèi)容就行了，其它的此外不細(xì)講了。

§1、2數(shù)列的極限

一'、內(nèi)谷要點(diǎn)

（1）數(shù)列，數(shù)列極限的定義；

（2）收斂的性質(zhì)：極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性、收斂數(shù)列的保號(hào)性、收斂數(shù)列與其

子列的關(guān)系。

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

數(shù)列:研究其變化規(guī)律；

數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義；

收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性.

極限理論是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。極限概念比較抽象而且嚴(yán)謹(jǐn)，既是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)也

是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。因此要逐字逐句地推敲務(wù)求領(lǐng)會(huì)它的精神實(shí)質(zhì)。

三、作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題2

主要內(nèi)容：

定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為招=/（〃），〃=1,2,3……，由于全體自然數(shù)可

以從小到大排成一列，因此數(shù)列的對(duì)應(yīng)值也可以排成一列：網(wǎng),々，……與……，這就是最常見的數(shù)

列表現(xiàn)形式了，有時(shí)也簡記為卜“｝或數(shù)列乙。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第〃項(xiàng)乙稱為一般項(xiàng)

或通項(xiàng)。

【例1】書上用圓內(nèi)接正6x2"T邊形的面積來近似代替該圓的面積時(shí)，得到數(shù)列

A,,A,…………（多邊形的面積數(shù)列）

【例2】長一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進(jìn)行下去，那么剩下部分的長構(gòu)成一數(shù)列：

1111、甫幣心1

5,三'于……r'……’通項(xiàng)為歹

【例3】1,二,……-……；1,-1,……,（一1產(chǎn),……；

23n

八,/cc34〃+1

2,4,6,...,2〃,....；2,二，二，,-----,.....；

23n

都是數(shù)列，其通項(xiàng)分別為』,（一1）"，2〃,但。

nn

注：在數(shù)軸上，數(shù)列的每項(xiàng)都相應(yīng)有點(diǎn)對(duì)應(yīng)它。如果將乙依次在數(shù)軸上描出點(diǎn)的位置，我們能否

發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的位置的變化趨勢(shì)呢？顯然，是無限接近于0的；｛2〃｝是無限增大的;

｛(-1)"T｝的項(xiàng)是在1與—1兩點(diǎn)跳動(dòng)的，不接近于某一常數(shù)；1號(hào)］無限接近常數(shù)1。

對(duì)于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就

是常說的數(shù)列的極限問題。

我們來觀察的情況。從圖中不難發(fā)現(xiàn)但隨著〃的增大，無限制地接近1,亦即〃充分

InJn

〃+1〃+1〃+1

大時(shí),——與1可以任意地接近，即------1可以任意地小,換言之，當(dāng)〃充分大時(shí)幺」-1可以

nnn

小于預(yù)先給定的無論多么小的正數(shù)￡。例如，取￡=—L由山一1=L<-5-=〃>ioo,即

100nn100

?［從第101項(xiàng)開始，以后的項(xiàng)$01=器,辦02=器，……都滿足不等式|乙一1|<喘，或者

說，當(dāng)“>100時(shí)，有<」一。同理，若取￡=—5—,由

n10010000

--110000,即(七口］從第10001項(xiàng)開始，以后的項(xiàng)

nn10000［HJ

XKXXM=也必，為0002="出巨，……都滿足不等式卜“一1|<」一，或說，當(dāng)”>10000時(shí)，有

loooiio。。］10002100021"110000

n+1,1

------1<一般地，不論給定的正數(shù)￡多么小，總存在一個(gè)正整數(shù)N,當(dāng)〃〉N時(shí)，有

n10000

n4-1

--1<￡。這就充分體現(xiàn)了當(dāng)〃越來越大時(shí),—無限接近1這一事實(shí)。這個(gè)數(shù)'1”稱為當(dāng)〃-8

nn

｛卓｝的極限。

時(shí),

定義：若對(duì)\/￡>0(不論￡多么小)，總m自然數(shù)N>0,使得當(dāng)〃>N時(shí)都有卜“一4<￡成立,

這是就稱常數(shù)〃是數(shù)列X”的極限，或稱數(shù)列Z收斂于。，記為limx”=a,或％fa

(〃-8)。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。

【例4】證明數(shù)列2,巳3二4,……〃+1,……收斂于1。

23n

〃+1[g],當(dāng)〃〉N時(shí)，有

證明:對(duì)V￡>0,要使得-----1-<￡,只須〃〉所以取N=

nn￡

n+1i1rriNiv〃+1i

-1=—<￡,所以lim---=1o

nnn—>oc〃

注1:￡是衡量乙與。的接近程度的，除要求為正以外，無任何限制。然而，盡管￡具有任意性，但

一經(jīng)給出，就應(yīng)視為不變。（另外，￡具有任意性，那么芻,2￡,屋等也具有任意性，它們也可

2

代替￡）

2：N是隨￡的變小而變大的，是￡的函數(shù)，即N是依賴于￡的。在解題中，N等于多少關(guān)系不

大，重要的是它的存在性，只要存在一個(gè)N,使得當(dāng)〃〉N時(shí)，有上“一4<￡就行了，而不必

求最小的No

/2,~T

［例5］證明lim—~—=1o

n

724-1yin-+a2a2a2

證明：對(duì)\/￡>0,因?yàn)?1=—<￡，因?yàn)?--------1<—

nnn“(J/+〃2+ri)n

顯然有l(wèi)im也*）=1）

（此處不妨設(shè)若。二0,

?—>00〃

222

yin+a只須生<￡就行了。

所以要使得---------1<￡,

nn

a222

即有n>——.所以取N=[幺],當(dāng)“〉N時(shí)，因?yàn)橛戌?lt;￡

￡￡n

7/r+a2yln2+a2

=>---------1<￡,所以limlo

nn

注3：有時(shí)找N比較困難，這時(shí)我們可把-4適當(dāng)?shù)刈冃?、放大（千萬不可縮?。。?，若放大后小

于￡,那么必有卜”一《<￡。

【例3】設(shè)|“<1,證明1國,r,……應(yīng)1,……的極限為0,即lim/T=0。

證明：若4=0,結(jié)論是顯然的，現(xiàn)設(shè)對(duì)V￡>0,（因?yàn)椤暝叫≡胶?，不妨設(shè)￡<1）,要

使得一q<￡，即只須兩邊放對(duì)數(shù)后，(〃一l)ln|4vln￡成立就行了。因?yàn)?/p>

11ng11ng

0<|^r|<L所以ln|4<0所以1一]>_j—j-=n>1H—(―r

Inp

取N=l+半，所以當(dāng)〃>N時(shí)，有]。1一0]<￡成立.

[1明]

收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：

定理1：(唯一性)數(shù)列x“不能收斂于兩個(gè)不同的極限。

證明：設(shè)。和b為貓的任意兩個(gè)極限，下證〃=人。

由極限的定義，對(duì)Ve>0,必分別三自然數(shù)乂,％2,當(dāng)〃〉乂時(shí)，有卜“一。|<￡...(1)

當(dāng)〃〉N2時(shí)，有—身<6?…(2)令N=MaMNj.N2},當(dāng)〃>N時(shí)，(1),(2)同時(shí)成立。

現(xiàn)考慮：

|。一廳=|(X"—/?)—(x?—?)|<|x?—A>|+|xrt—6(|<￡+￡=2s

由于。*均為常數(shù)=。=匕，所以乙的極限只能有一個(gè)。

注：本定理的證明方法很多，書上的證明自己看。

【例4】證明數(shù)列型=(-1)=是發(fā)散的。

證明：(反證法)假設(shè)與收斂，由唯一性，設(shè)limx“=a,按定義，對(duì)￡=,白自然數(shù)N,當(dāng)n>N

2

時(shí)，|怎一4<￡=；,考慮氏+|-%|…4k用一。|+氏—4<；+g=l,而x“'x”+|總是

一個(gè)“1”，一個(gè)“―1”，所以比加一乙|=1,所以矛盾，

所以居=(一1)向發(fā)散。

定理2.(有界性)若數(shù)列％收斂，那么它一定有界，即：對(duì)于數(shù)列相，若三正數(shù)對(duì)一切幾，

有同WM。

證明：設(shè)limx“=a,由定義對(duì)￡=1日自然數(shù)N,當(dāng)〃>"時(shí)，|%-4<￡=1,所以當(dāng)〃〉N時(shí)，

|x?|<|A：?-a|+|a|<1+|?|,令M=Max{|x]|,|x2|....隰|，1+|4}，顯然對(duì)一切〃，同<M。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列x“=（-1）用是有界的但函數(shù)

收斂。此點(diǎn)希望注意！

§33函數(shù)的極限

一、內(nèi)容要點(diǎn)

1.函數(shù)極限的定義：趨于有限值與無窮、單側(cè)極限；

2.函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系；

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

極限概念比較抽象而且嚴(yán)謹(jǐn)，既是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。因此要逐字逐句

地推敲務(wù)求領(lǐng)會(huì)它的精神實(shí)質(zhì)。同時(shí)還要注意與數(shù)列極限的定義與性質(zhì)加以區(qū)別。

三.作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題3

主要內(nèi)容：

由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時(shí)的函數(shù)，乙=/（〃），因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特性情況。

此處講的是函數(shù)的極限，就是數(shù)列極限意義的。它主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：

一、自變量x任意接近于有限值與，或講趨向（于）/（記時(shí)，相應(yīng)的函

數(shù)值/（x）的變化情況。

二、當(dāng)自變量X的絕對(duì)值國無限增大，或講趨向無窮大（記時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值/（X）的

變化情況。

一、自變量趨向有限值X。時(shí)函數(shù)的極限

與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值X。時(shí)的函數(shù)極限可理解為：當(dāng)時(shí)，/*）fA（A

為某常數(shù)），即當(dāng)工一/時(shí)，/（x）與A無限地接近，或說|/（x）—川可任意小，亦即對(duì)于預(yù)先任意

給定的正整數(shù)￡（不論多么?。?dāng)X與X。充分接近時(shí)，可使得|/（x）-個(gè)小于用數(shù)學(xué)的語言說,

即

定義1：如果對(duì)Ve>0（不論它多么?。?cè)?>0,使得對(duì)于適合不等式0<卜一與卜5

的一切X所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值/（X）滿足：I/O）-N<￡,就稱常數(shù)A為函數(shù)/（無）當(dāng)XfXo時(shí)

的極限，記為

lim/（x）=A，或/（x）-A（當(dāng)xfx（）時(shí)）

注1：“X與4充分接近”在定義中表現(xiàn)為：3^>0,有O<k-Xo|<5,即xeU（x（,,5）。顯然方

越小，x與與接近就越好，此b與數(shù)列極限中的N所起的作用是一樣的，它也依賴于-

般地，￡越小，5相應(yīng)地也小一些。

2：定義中O<|x-Xo|表示,這說明當(dāng)無一時(shí)，/(X)有無限與/(%,)在X。點(diǎn)(是否有)

的定義無關(guān)(可以無定義，即使有定義，與/(X。)值也無關(guān))。

3：幾何解釋：對(duì)Ve>0,作兩條平行直線丁=4+￡,丁=4一￡。由定義，對(duì)此￡曰5>0°當(dāng)

與-5<x<x()+5,且x工須)時(shí)，，有A-￡</(x)<A+e。即函數(shù)y=/(x)的

圖形夾在直線y=A+￡,y=A-￡之間(/(%)可能除外)。換言之：當(dāng)了e

時(shí)，/(x)eU(A,￡)。從圖中也可見b不唯一！

【例1】證明limC=C(C為一常數(shù))

證明：對(duì)V￡>o,可取任一正數(shù)3,當(dāng)0<,一公|<5時(shí)，|/(%)-4|=1。-0=0<￡，

所以limC=C。

【例2】證明lim(ar+b)="+b(awO)

證明：對(duì)明￡>0,要使得|(辦+>-(0￥0+8)|=卜(％_/)|=同％_%|<￡,只須

|x—Xo|<j—r?所以取S=j~~j">0顯然當(dāng)X()1<3時(shí)，有|(<ZX+》)—(at。+<￡。

x2-12

【例3】證明lim—~—=-

2x2-x-I3

x+12_1-x

證明：對(duì)V￡>0,因?yàn)閍#l,所以％-1工0.=>—V-------------

lx2-x-\32x+l-3-3(2x+l)

［此處x—1,即考慮與=1附近的情況，故不妨限制X為0<|x—1|<1，即0<x<2,XH1］。

xlx-11x2-l2

因?yàn)?x+l>1,=><J—L要使<￡,只須

3(2x+l)32x2-x-\3

lx—11?.??

J——L<f,即上一1|<3￡。取5=min{l,3￡}(從圖形中解釋)，當(dāng)0<卜一1|<5時(shí)，有

x2-l2

-----------------<￡o

2x2-x-13

定理1：(保號(hào)性)設(shè)lim/(x)=A,

(i)若A>0(A<0),則m3>0,當(dāng)時(shí)，/(%)>0(/(x)<0)o

(ii)若f(x)20(/(4)40),必有AN0(440)°

AA

證明：(i)先證A>0的情形。取￡=,，由定義，對(duì)此￡己方>0,當(dāng)x￡U(Xo，S)時(shí)，

AAAA34

|/(x)—H<￡=5,即0<］=A-］</(x)<A+］=^n/(x)>0。

A

當(dāng)A<0時(shí)，取￡=——,同理得證。

2

(ii)(反證法)若A<0,由(i)n/(x)<0矛盾，所以A20。

當(dāng)/(x)<0時(shí)，類似可證。

注：⑴中的不能改為““，"W”。

在(ii)中，若/(x)>0,未必有A>0。

在函數(shù)極限的定義中，x是既從與的左邊(即從小于%的方向)趨于也從與的右邊(即從

大于X。的方向)趨于X。。但有時(shí)只能或需要x從與的某一側(cè)趨于x0的極限。如分段函數(shù)及在區(qū)間的

端點(diǎn)處等等。這樣，就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定義：

定義2：對(duì)\/￡>0,36>0,當(dāng)x()-S<x<Xo時(shí)，［當(dāng)須；<x</+6時(shí)］,有|/(x)—旬<￡.

這時(shí)就稱A為/(x)當(dāng)XT/時(shí)的左［右］極限，記為lim/。)=4或/(1—0)=A。

x—>.vo-0

［lim/(x)=A或/(x0+0)=A］。

Xf孫+0

定理2：limf(x)=A<^>lim/(x)=limf(x)=Ao

x—>*ox—>xo-Oxf^o+O

【例4】limsgn(x)=-1,limsgn(x)=1,因?yàn)橐?工1,所以limsgn(x)不存在。

x->0-0x->0+0x->0

1x>0

【例5】設(shè)/(%)=4，求

2x+1x<0。

解：顯然limf(x)=lim1=1

她8)二蜩(2x+l)=l

因?yàn)閘imf(x)=limf(x)=1,所以lim/(x)=l。

A—>0+0x->0-0x-?0

二、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限

定義3：設(shè)/(x)當(dāng)國>。(。>0)時(shí)是有定義的，若對(duì)Ve>03X(>a),當(dāng)國〉X時(shí)，有

\f(x)-^<￡,就稱A為/(x)當(dāng)Xf8時(shí)的極限，記為扁/(%)=4或/(x)-?A(當(dāng)

11x-?oo

X—>8時(shí))。

注1：設(shè)/(x)在出,+8),((_8,切)上有定義，若對(duì)Ve〉0JX>0,當(dāng)W>X(x<—X)時(shí)，有

If(x)-Al<￡1,就稱A為/(x)當(dāng)xf+oo(x-—oo)時(shí)的極限，記為limf(x)=A,或

11x->+00

/(%)TA(當(dāng)x—?+oo)(limf(x)-A,或/(x)—>A(當(dāng)x--oo))o

x—>-00

2：lim/(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A。

x-^oox—>-wox—

3：若lim/(x)=A,就稱y=