高等數(shù)學(xué)課程教案講義（上）

第一章函數(shù)極限與連續(xù)

一、教學(xué)目標與基本要求

I、理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值。會求分段函數(shù)的定

義域、函數(shù)值，并會作出簡單的分段函數(shù)圖像，掌握函數(shù)的表示方法。

2、了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3、理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5、會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。

6、理解極限的概念，理解函數(shù)在極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之

間的關(guān)系。

7、掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

8、掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的

方法。

9、理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

10、理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。

11、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、

最大值、最小值定理和介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

二、教學(xué)內(nèi)容的重點及難點：

1.數(shù)列的極限、函數(shù)的極限的概念

2.極限的性質(zhì)及四則運算法則；

3.極限存在的兩個準則，利用兩個重要極限求極限；

4.無窮小的比較，用等價無窮小求極限；

5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

三、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：

1.數(shù)列極限的的深刻背景，函數(shù)極限的幾何意義；

2.兩個重要極限、等價無窮小的應(yīng)用；

3.極限與無窮小的關(guān)系；

4.連續(xù)的實質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，用介值定理推證一些簡單命題。

§1、函數(shù)

一、內(nèi)容要點

基本概念

集合，區(qū)間，鄰域，常量與變量，絕對值.

函數(shù)的概念

函數(shù)的特總:有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性.

反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，基本初等函數(shù)與初等函數(shù)

二、教學(xué)要求和注意點

本部分屬基本概念，對其中的每一個定義都應(yīng)加以仔細推敲，透徹理解和牢固其精神

實質(zhì)，從而為學(xué)習(xí)本課程奠定好基礎(chǔ)。

從實際問題建立變量之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)應(yīng)用與實際問題的第一步，也是比較困難的一

步，要注意這方面的訓(xùn)練，以便逐步培養(yǎng)分析問題解決問題的能力。

三、作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題1

一、集合、常量與變量

1、集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。通常用大寫字母A、B、C……等來表示，

組成集合的各個事物稱為該集合的元素。若事物a是集合M的一個元素，就記aeM（讀a屬于M）；

若事物a不是集合M的一個元素，就記a/M或aeM（讀a不屬于M）；集合有時也簡稱為集。

注1:若一集合只有有限個元素，就稱為有限集；否則稱為無限集。

2：集合的表示方法:

⑴、若集合為有限集，耐用列舉出其全體元和方法來表示，如：A={1,2,3,……,

10},8={一只貓，一只狗，一咫鳥};

(方)、對無限集，若知道期素的規(guī)律，也可類彳照出，如：A={1,2,3,……}為全體自

然數(shù)集，8={2,4,6,……}為全體偶數(shù)集；

枚舉法|(m)、列不出全體元素或找不到元素規(guī)律的集合，若知其元素有某種性質(zhì)那么該集

合可表示為：A={x|x所具有的某種性質(zhì)},即：有此性質(zhì)的必抽中，且4中的元素必

須有此性質(zhì)。如：4={巾3+5/+7*+3=0}；3={小為我校的學(xué)生};C={(x,y)|點

(x,y)在。中}等。

3：全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實數(shù)的集合記為R。

以后不特別說明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。

4：集合間的基本關(guān)系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有xeA,必有xeB,就稱A

為B的子集，記為Au&或6nA(讀B包含A)。

顯然：NuZuQuR.

若Au3,同時3uA,就稱A、B相等，記為A=B。

5：當(dāng)集合中的元素重復(fù)時,重復(fù)的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。

6：不含任何元素的集稱為空集，記為①，如：{MY+inaxeRkOUxrXn-l上①,空集是

任何集合的子集，即中uA。

7：區(qū)間：所有大于a、小于b(a<刀的實數(shù)組成一個集合，稱之為開區(qū)間，記為(a,b),即

(a,b)={，aYxY/?}°

同理：［a,b］={mWxW)}為閉區(qū)間，［“,))={'aWxY)}和(a,。］={'a-<x<b］分別稱為

左閉右開、左開右閉的區(qū)間，統(tǒng)稱為半開區(qū)間。

以上均成為有限區(qū)間，a、b分別稱為左、右端點。

對無窮區(qū)間有：(-8,"={x|x</?},(?,+°°)={x|aY%},(-00,4-00)={x|-coYXY+oo}=R,

在不特別要求下，有限區(qū)間、無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間，用I表示。

8：鄰域：設(shè)a和3為兩個實數(shù)，且bA0.集合可卜―4YS}稱為點a的3鄰域，記為。(。,5),a

為該鄰域的中心，3為該鄰域的半徑，事實上，

U(。,8)={也-8-<x<a+S］=(a—8,a+8)o

同理：我們稱UG/)={X|0Y|X-4YS}為a的去心5鄰域，或a的空心b鄰域。

9：集合的內(nèi)容很多，其它內(nèi)容(如集合的運算)在此不作一一介紹了。

2、常量與變量：在自然科學(xué)中，我們會遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時，發(fā)現(xiàn)有著非常

不同的狀態(tài)，有的量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各

種不同的數(shù)值，這種量稱為變量。

【例】擲同一鉛球數(shù)次，發(fā)現(xiàn)鉛球的質(zhì)量、體積為常量，而投擲距離、上拋角度、用力大小均為變

里。

注1:常量與變量是相對而言的，同一量在不同場合下，可能是常量，也可能是變量，如在一天或

在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，一旦環(huán)境

確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c……等字母表示，變量用x,y,u,t……等字母表示，常量a為一定值，在數(shù)軸

上可用定點表示，變量x代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動點表示，如：與表示x可

代表(a,加中的任一個數(shù)。

二、函數(shù)的概念

【例】正方形的邊長x與面積S之間的關(guān)系為：S=%2,顯然當(dāng)x確定了，S也就確定了。

這就是說，同一過程中變量之間往往存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系。它們在遵循某一規(guī)律時相互聯(lián)系、相互

約束著。

定義：設(shè)x和y為兩個變量，，。為一個給定的數(shù)集，如果對每一個xe。，按照一定的法則/變量y

總有確定的數(shù)值與之對應(yīng)，就稱y為x的函數(shù)，記為y=/(x).數(shù)集。稱為該函數(shù)的定義域，

x叫做自變量，y叫做因變量。

當(dāng)x取數(shù)值時，依法則/的對應(yīng)值稱為函數(shù)y=/(x)在x=x0時的函數(shù)值。所有函數(shù)值

組成的集合W=｛巾=f(x),xeD｝稱為函數(shù)y=/(x)的值域。

注1：函數(shù)通常還可用丁=8(幻,丁=/(幻,5=〃(。等表示。

2：約定：函數(shù)的定義域就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實數(shù)值的全體。

【例1】y=sinx的定義域為(-oo,+oo),值域為［一1,1］。

【例2】y=J1+尤的定義域為［-1,+8),值域為［0,+8)。

%20Yx41

【例3】y=<gx=0的定義域為［—1,1］,值域為［0,2］。

1—x-IKXYO

x

【例4】/*(%)三1的定義域為(―00,+8),人。)=—的定義域為(一8,0)。(0,+8),從而顯然

X

wh(x)o

3、若對每一個xe。，只有唯一的一個y與之對應(yīng)，就稱函數(shù)y=/(x)為單值函數(shù)；若有不止

一個y與之對應(yīng)，就稱為多值函數(shù)。如：，+y2=l,/-y2=1等。以后若不特別聲明，只討論單

值函數(shù)。

4、函數(shù)的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學(xué)式子來

表示對應(yīng)法則，上例均為解析法，注意例3的法則是：當(dāng)自變量x在(0,1］上取值，其函數(shù)值為》2；

當(dāng)x取0時，當(dāng)x在［—1,0)上取值時，其函數(shù)值為1—X。(這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，在

以后經(jīng)常遇見，希望注意！)盡管有幾個不同的算式，但它們合起來只表示一個函數(shù)！

5、對。中任一固定的x,依照法則有一個數(shù)y與之對應(yīng)，以x為橫坐標，y為縱坐標在坐標平面

上就確定了一個點。當(dāng)x取遍。中的每一數(shù)時，便得到一個點集。=｛。,歷｝=/。)/6。｝,我們

稱之為函數(shù)y=/(x)的圖形。換言之，當(dāng)x在。中變動時，點(x,y)的軌跡就是y=/(x)的圖形。

【例5】書上的幾個例子。(同學(xué)們自己看)

【例6】例3的圖形如下圖

三、函數(shù)的兒種特性

1、函數(shù)的有界性：設(shè)y=/(x)在。上有定義，若對Vxe。曰例＞0,使得：|/(刈＜/,就稱

/(x)在。上有界，否則稱為無界。

注：1、若對Vxe。，3M,使得就稱/(x)在。上有上(下)界。/(幻在。

上有界＜=＞/(%)在。上同時有上界和下界。

2、/(x)在。上無界也可這樣說：對VM〉0,總?cè)絸。，使得

【例7】上段例1、3、4中的函數(shù)是有界的；例2中的函數(shù)是無界的，但有下界。

2、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)/(X)在區(qū)間/上有定義，若對Vxpx2el,當(dāng)jqY9時總有：

(1)/(%,)</(%2),就稱/(X)在/上單調(diào)遞增，特別當(dāng)嚴格不等式/(項)Y/X/)成立時，

就稱/(%)在1上嚴格單調(diào)遞增。

(2)/(%,)>/(%2),就稱/(x)在/上單調(diào)遞減，特別當(dāng)嚴格不等式/(為)》/(乙)成立時，

就稱/(%)在/上嚴格單調(diào)遞減。

注：1、此處的定義與書上有區(qū)別，希望注意！

2、這樣的函數(shù)分別稱為單調(diào)函數(shù)和嚴格單調(diào)函數(shù)。

3、調(diào)遞增有時簡稱單增、遞增或不減，其它也一樣。

【例8】符號函數(shù)和取整函數(shù)均為單增函數(shù)，但不嚴格單調(diào)。

【例9】y=,在(0,+8)上是嚴格單減函數(shù)。

x

【例10］［例3］中的函數(shù)在定義域上不是單調(diào)的，但在［-1,0)上是嚴格單減的，在(0J上是

嚴格單增的。

3、函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)/(幻的定義域。為對稱于原點的數(shù)集，即若xe。，有一xe。，

(1)若對Vxe。，有/(—x)=/(x)恒成立，就稱/(幻為偶函數(shù)。

(2)若對Vxe。，有/(—x)=—/(x)恒成立，就稱/(x)為奇函數(shù)。

【例11］y=x2,y=cosx,y=W，是偶函數(shù)，y=x3,y=sinx,y=sgnx,是奇函數(shù)。

y=x2+x3,y=cosx+sinx是非奇非偶函數(shù)。

【例111*y=InCx+Jl+x?)是奇函數(shù)。

注：1、偶函數(shù)的圖形是關(guān)于y軸對稱的，奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點對稱的。

2、若/(x)是奇函數(shù)，且0e。，則必有/(OXO。

3、兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也為偶

函數(shù)；一奇一偶的積為奇函數(shù)。

4、周期性：設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為。，如果引了0,使得對VxwO,有％±/€。，且

y(x+/)=/(x)恒成立,就稱/(X)為周期函數(shù)，/稱為了(幻的周期。

［例12］y=sinx,y=cosx,y=fgx分別為周期為2肛2%,7的周期函數(shù)，y=x-［x］為周期為1

的函數(shù)。

注1：若/為/(x)的周期，由定義知2/,3/,4/……也都是的周期，故周期函數(shù)有無窮多個周期,

通常說的周期是指最小正周期(基本周期)，然而最小正周期未必都存在(為什么？)

例如：y-sin2x+cos2x=i,設(shè)有最小正周期。

2：周期函數(shù)在一每個周期(a+/+1)/)(。為任意數(shù)，%為任意常數(shù))上，有相同的形狀。

四、反函數(shù)

設(shè)/(x)的定義域為。，值域為W，因此，對VyeW,必Hre。，使得/(x)=y,這樣的x可

能不止一個，若將y當(dāng)作自變量，x當(dāng)作因變量，按函數(shù)的概念，就得到一新函數(shù)x=°()，)，稱之為

函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，而/(x)叫做直接函數(shù)。

注1：反函數(shù)x=e(y)的定義域為W,值域為D；

2：由上討論知，即使y=/(x)為單值函數(shù)，其反函數(shù)卻未必是單值函數(shù)，以后對此問題還作研

究；

3：在習(xí)慣上往往用x表示自變量，y表示因變量，因此將x=°(y)中的x與y對換一下，y=/(x)

的反函數(shù)就變成y=G(x),事實上函數(shù)y=°(x)與x=e(y)是表示同一函數(shù)的，因為，表示函數(shù)關(guān)

系的字母"夕"沒變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒什么關(guān)系。所以說：若y=/(x)的反函數(shù)為

x=°(y),那么y=°(x)也是y=/(x)的反函數(shù)，且后者較常用；

4：反函數(shù)y=°(x)的圖形與直接函數(shù)y=/(x)的圖形是對稱于y=x(證明很簡單，大家自己

看書)；

5：有些書上，對反函數(shù)的定義與此不同，希加與之區(qū)別。

1I

［例13］函數(shù)y=ax+仇y==/的反函數(shù)分別為：x=^~~^,x=±J］,x=尸或分別為

a

x-br-\

y='----■,y=±dx,y=%3。

a

五初等函數(shù)

幕函數(shù)

形如y=x"(必為常數(shù))的函數(shù)叫做事函數(shù)。

其定義域較為復(fù)雜，下作一些簡單的討論：

(1)當(dāng)M為非負整數(shù)時，定義域為(—8,+00)；

（2）當(dāng)〃為負整數(shù)時，定義域為（—oo,0）U（0,+oo）;

（3）當(dāng)必為其它有理數(shù)時，要視情況而定。

【例1】y=/的定義域為（一8,+8）；

3

y-x2,y=X4的定義域為［O,+8）；

y=x2的定義域為（0,+oo）。

（4）當(dāng)M為無理數(shù)時，規(guī)定其定義域為（0,+8）,其圖形也很復(fù)雜，但不論〃取何值，圖形總過（1,

1）點，當(dāng)〃>0時，還過（0,0）點。

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)：形如^=。'（。>0,。71）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其定義域為（—8,+00）,其圖形總在x軸

上方，且過（0,1）點，

（1）當(dāng)4>1時，>是單調(diào)增加的；

（2）當(dāng)0<。<1時，y=a"是單調(diào)減少的；

以后我們經(jīng)常遇到這樣一個指數(shù)函數(shù)y=",e的意義以后講，其圖形大致如下圖所示，特別地，

y=a"與y=a"'關(guān)于y軸對稱。

2、對數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)y=a"的反函數(shù)，記為y=log〃x（a為常數(shù)，a>0,。/1）,稱為對數(shù)函數(shù)，

其定義域為（0,+8）,由前面反函數(shù)的概念知：了=優(yōu)的圖形和^=1。8”》的圖形是關(guān)于丫=*對稱

的，從此，不難得y=log“光的圖形，

y=log.x的圖形總在y軸右方，且過（1,0）點

（1）當(dāng)。>1時，y=log〃x單調(diào)遞增，且在（0,1）為負，（1,+8）上為正；

（2）當(dāng)0<“<1時，y=log“x單調(diào)遞減，且在（0,1）為正，（l,+oo）上為負；

特別當(dāng)a取e時，函數(shù)記為y=lnx,稱為自然對數(shù)函數(shù)。

三角函數(shù)與反三角函數(shù)

2、三角函數(shù)

三角函數(shù)主要是:

正弦函數(shù)：y=sinxX6(-00,+00)

余弦函數(shù)：y=cosxXG(-00,400)

冗

正切函數(shù)：y=tanx——n-0,±l,±2,.......

2

余切函數(shù)：y=cotxx豐rtTin=0,±l,±2,.......

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為2乃的周期函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為1的周期函

數(shù)。正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個：正割

y-secx=------和余割y=csex=------，其圖形在此不做討論了。

cosxsinx

3、反三角函數(shù)：

反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為：

反正弦函數(shù)：y—Arcsinxx€[-m

反余弦函數(shù)：y—Arccosxxe[-l,l]

反正切函數(shù)：y=ArctanxX￡(-00,-KO)

反余切函數(shù)：y=ArccotxXG(-00,+00)

顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個單值分支，叫做主值，選法如下：

將y=A/vsinx限制在［一、,、］上，得一單值函數(shù)，記為y=arcsinx,它就是所取主值函數(shù),

［,—］叫做主值區(qū)間，顯然---<arcsinx<一,

2222

同理：將丁=4r。(：05%限制在［0,萬］上，得丁=31\：(：0&￥

將y=Arctanx限制在［一、,］］上，得y=arctanx

將y=Arecotx限制在［0,萬］上，得y=arccotx

從圖中不難看出arcsinx和arctanx是單調(diào)遞增的，arccosx和arccotx是單調(diào)遞減的。

復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)

設(shè))=/"(〃)，定義域為a=0(x),定義域為2,值域為%，且也<=2,這樣對于VXW￡)2，

由"=9(x)可算出函數(shù)值”€叫uR,所以由y=/(〃)又可算出其函數(shù)值y,因此對于

VxeD2,有確定的值y與之對應(yīng)，從而得一個以x為自變量，y為因變量的函數(shù)，我們稱之為以

y=/(“)為外函數(shù)，“=玄外為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)，記為y=/(°(x)),其中"為中間變量。

【例1】y=sir)2x就是y=zJ和〃=sinx復(fù)合而成；

y=cosx2就是y=cosw和a=/復(fù)合而成。

注1：并非任何兩函數(shù)都可以復(fù)合的，

例如：y=arcsinw和〃=2+/不能復(fù)合；

y-和〃=-1-x2也不能復(fù)合。

2：復(fù)合可推廣到三個或更多的函數(shù)上去，如：

y=tan(Inx)?就是y=tanu,u=v2,v=Inx復(fù)合成的。

3：在函數(shù)復(fù)合中，未必都有y=/(M)、”=e(x)的形式，一般為y=/(x)和y=g(x),這時

候就要注意哪個為外函數(shù)，哪個為內(nèi)函數(shù)，從而復(fù)合后有y=/(x)和y=g(x)之分。

2、初等函數(shù)

我們把募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù)和基

本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合后所得到的能用一個解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函

數(shù)。

+sin%

【例2】y=Jl+x,y=Jl-2",y=sin2x,y=tan(lnx)2,y=arctanP等都是初等函數(shù)。

V1-sinx

本教材討論的主要都是初等函數(shù)。

雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)

e'-e~x

雙曲正弦：y=shx=-------xe(-00,+oo)

2

ex+e~x

雙曲余弦：y=chx=-------X€(-00,+00)

2

c/?Y(>X

雙曲正切：y=thx=---=—xe(-oo,+oo)

反雙曲正弦：y=arshx=ln(x+Vx2+1)xG(—OO,+OO)

反雙曲余弦：y=archx-]n(x+\x2—1)xe[l,+oo)

（多值函數(shù)y=±ln（x+Jx匚1）取“+”號為主值）

11+r

反雙曲正切：y-artfix=—In——-xe（-1,1）

21-x

由于這類以后用得較少，只要掌握上面的內(nèi)容就行了，其它的此外不細講了。

§1、2數(shù)列的極限

一'、內(nèi)谷要點

（1）數(shù)列，數(shù)列極限的定義；

（2）收斂的性質(zhì)：極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性、收斂數(shù)列的保號性、收斂數(shù)列與其

子列的關(guān)系。

二、教學(xué)要求和注意點

數(shù)列:研究其變化規(guī)律；

數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義；

收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性.

極限理論是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。極限概念比較抽象而且嚴謹，既是學(xué)習(xí)中的重點也

是學(xué)習(xí)中的難點。因此要逐字逐句地推敲務(wù)求領(lǐng)會它的精神實質(zhì)。

三、作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題2

主要內(nèi)容：

定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為招=/（〃），〃=1,2,3……，由于全體自然數(shù)可

以從小到大排成一列，因此數(shù)列的對應(yīng)值也可以排成一列：網(wǎng),々，……與……，這就是最常見的數(shù)

列表現(xiàn)形式了，有時也簡記為卜“｝或數(shù)列乙。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項，第〃項乙稱為一般項

或通項。

【例1】書上用圓內(nèi)接正6x2"T邊形的面積來近似代替該圓的面積時，得到數(shù)列

A,,A,…………（多邊形的面積數(shù)列）

【例2】長一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進行下去，那么剩下部分的長構(gòu)成一數(shù)列：

1111、甫幣心1

5,三'于……r'……’通項為歹

【例3】1,二,……-……；1,-1,……,（一1產(chǎn),……；

23n

八,/cc34〃+1

2,4,6,...,2〃,....；2,二，二，,-----,.....；

23n

都是數(shù)列，其通項分別為』,（一1）"，2〃,但。

nn

注：在數(shù)軸上，數(shù)列的每項都相應(yīng)有點對應(yīng)它。如果將乙依次在數(shù)軸上描出點的位置，我們能否

發(fā)現(xiàn)點的位置的變化趨勢呢？顯然，是無限接近于0的；｛2〃｝是無限增大的;

｛(-1)"T｝的項是在1與—1兩點跳動的，不接近于某一常數(shù)；1號］無限接近常數(shù)1。

對于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就

是常說的數(shù)列的極限問題。

我們來觀察的情況。從圖中不難發(fā)現(xiàn)但隨著〃的增大，無限制地接近1,亦即〃充分

InJn

〃+1〃+1〃+1

大時,——與1可以任意地接近，即------1可以任意地小,換言之，當(dāng)〃充分大時幺」-1可以

nnn

小于預(yù)先給定的無論多么小的正數(shù)￡。例如，取￡=—L由山一1=L<-5-=〃>ioo,即

100nn100

?［從第101項開始，以后的項$01=器,辦02=器，……都滿足不等式|乙一1|<喘，或者

說，當(dāng)“>100時，有<」一。同理，若取￡=—5—,由

n10010000

--110000,即(七口］從第10001項開始，以后的項

nn10000［HJ

XKXXM=也必，為0002="出巨，……都滿足不等式卜“一1|<」一，或說，當(dāng)”>10000時，有

loooiio。。］10002100021"110000

n+1,1

------1<一般地，不論給定的正數(shù)￡多么小，總存在一個正整數(shù)N,當(dāng)〃〉N時，有

n10000

n4-1

--1<￡。這就充分體現(xiàn)了當(dāng)〃越來越大時,—無限接近1這一事實。這個數(shù)'1”稱為當(dāng)〃-8

nn

｛卓｝的極限。

時,

定義：若對\/￡>0(不論￡多么小)，總m自然數(shù)N>0,使得當(dāng)〃>N時都有卜“一4<￡成立,

這是就稱常數(shù)〃是數(shù)列X”的極限，或稱數(shù)列Z收斂于。，記為limx”=a,或％fa

(〃-8)。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。

【例4】證明數(shù)列2,巳3二4,……〃+1,……收斂于1。

23n

〃+1[g],當(dāng)〃〉N時，有

證明:對V￡>0,要使得-----1-<￡,只須〃〉所以取N=

nn￡

n+1i1rriNiv〃+1i

-1=—<￡,所以lim---=1o

nnn—>oc〃

注1:￡是衡量乙與。的接近程度的，除要求為正以外，無任何限制。然而，盡管￡具有任意性，但

一經(jīng)給出，就應(yīng)視為不變。（另外，￡具有任意性，那么芻,2￡,屋等也具有任意性，它們也可

2

代替￡）

2：N是隨￡的變小而變大的，是￡的函數(shù)，即N是依賴于￡的。在解題中，N等于多少關(guān)系不

大，重要的是它的存在性，只要存在一個N,使得當(dāng)〃〉N時，有上“一4<￡就行了，而不必

求最小的No

/2,~T

［例5］證明lim—~—=1o

n

724-1yin-+a2a2a2

證明：對\/￡>0,因為-1=—<￡，因為---------1<—

nnn“(J/+〃2+ri)n

顯然有l(wèi)im也*）=1）

（此處不妨設(shè)若。二0,

?—>00〃

222

yin+a只須生<￡就行了。

所以要使得---------1<￡,

nn

a222

即有n>——.所以取N=[幺],當(dāng)“〉N時，因為有幺<￡

￡￡n

7/r+a2yln2+a2

=>---------1<￡,所以limlo

nn

注3：有時找N比較困難，這時我們可把-4適當(dāng)?shù)刈冃?、放大（千萬不可縮小?。舴糯蠛笮?/p>

于￡,那么必有卜”一《<￡。

【例3】設(shè)|“<1,證明1國,r,……應(yīng)1,……的極限為0,即lim/T=0。

證明：若4=0,結(jié)論是顯然的，現(xiàn)設(shè)對V￡>0,（因為￡越小越好，不妨設(shè)￡<1）,要

使得一q<￡，即只須兩邊放對數(shù)后，(〃一l)ln|4vln￡成立就行了。因為

11ng11ng

0<|^r|<L所以ln|4<0所以1一]>_j—j-=n>1H—(―r

Inp

取N=l+半，所以當(dāng)〃>N時，有]。1一0]<￡成立.

[1明]

收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：

定理1：(唯一性)數(shù)列x“不能收斂于兩個不同的極限。

證明：設(shè)。和b為貓的任意兩個極限，下證〃=人。

由極限的定義，對Ve>0,必分別三自然數(shù)乂,％2,當(dāng)〃〉乂時，有卜“一。|<￡...(1)

當(dāng)〃〉N2時，有—身<6?…(2)令N=MaMNj.N2},當(dāng)〃>N時，(1),(2)同時成立。

現(xiàn)考慮：

|。一廳=|(X"—/?)—(x?—?)|<|x?—A>|+|xrt—6(|<￡+￡=2s

由于。*均為常數(shù)=。=匕，所以乙的極限只能有一個。

注：本定理的證明方法很多，書上的證明自己看。

【例4】證明數(shù)列型=(-1)=是發(fā)散的。

證明：(反證法)假設(shè)與收斂，由唯一性，設(shè)limx“=a,按定義，對￡=,白自然數(shù)N,當(dāng)n>N

2

時，|怎一4<￡=；,考慮氏+|-%|…4k用一。|+氏—4<；+g=l,而x“'x”+|總是

一個“1”，一個“―1”，所以比加一乙|=1,所以矛盾，

所以居=(一1)向發(fā)散。

定理2.(有界性)若數(shù)列％收斂，那么它一定有界，即：對于數(shù)列相，若三正數(shù)對一切幾，

有同WM。

證明：設(shè)limx“=a,由定義對￡=1日自然數(shù)N,當(dāng)〃>"時，|%-4<￡=1,所以當(dāng)〃〉N時，

|x?|<|A：?-a|+|a|<1+|?|,令M=Max{|x]|,|x2|....隰|，1+|4}，顯然對一切〃，同<M。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列x“=（-1）用是有界的但函數(shù)

收斂。此點希望注意！

§33函數(shù)的極限

一、內(nèi)容要點

1.函數(shù)極限的定義：趨于有限值與無窮、單側(cè)極限；

2.函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性、局部保號性、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系；

二、教學(xué)要求和注意點

極限概念比較抽象而且嚴謹，既是學(xué)習(xí)中的重點也是學(xué)習(xí)中的難點。因此要逐字逐句

地推敲務(wù)求領(lǐng)會它的精神實質(zhì)。同時還要注意與數(shù)列極限的定義與性質(zhì)加以區(qū)別。

三.作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題3

主要內(nèi)容：

由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時的函數(shù)，乙=/（〃），因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特性情況。

此處講的是函數(shù)的極限，就是數(shù)列極限意義的。它主要表現(xiàn)在兩個方面：

一、自變量x任意接近于有限值與，或講趨向（于）/（記時，相應(yīng)的函

數(shù)值/（x）的變化情況。

二、當(dāng)自變量X的絕對值國無限增大，或講趨向無窮大（記時，相應(yīng)的函數(shù)值/（X）的

變化情況。

一、自變量趨向有限值X。時函數(shù)的極限

與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值X。時的函數(shù)極限可理解為：當(dāng)時，/*）fA（A

為某常數(shù)），即當(dāng)工一/時，/（x）與A無限地接近，或說|/（x）—川可任意小，亦即對于預(yù)先任意

給定的正整數(shù)￡（不論多么?。?，當(dāng)X與X。充分接近時，可使得|/（x）-個小于用數(shù)學(xué)的語言說,

即

定義1：如果對Ve>0（不論它多么小），總?cè)?>0,使得對于適合不等式0<卜一與卜5

的一切X所對應(yīng)的函數(shù)值/（X）滿足：I/O）-N<￡,就稱常數(shù)A為函數(shù)/（無）當(dāng)XfXo時

的極限，記為

lim/（x）=A，或/（x）-A（當(dāng)xfx（）時）

注1：“X與4充分接近”在定義中表現(xiàn)為：3^>0,有O<k-Xo|<5,即xeU（x（,,5）。顯然方

越小，x與與接近就越好，此b與數(shù)列極限中的N所起的作用是一樣的，它也依賴于-

般地，￡越小，5相應(yīng)地也小一些。

2：定義中O<|x-Xo|表示,這說明當(dāng)無一時，/(X)有無限與/(%,)在X。點(是否有)

的定義無關(guān)(可以無定義，即使有定義，與/(X。)值也無關(guān))。

3：幾何解釋：對Ve>0,作兩條平行直線丁=4+￡,丁=4一￡。由定義，對此￡曰5>0°當(dāng)

與-5<x<x()+5,且x工須)時，，有A-￡</(x)<A+e。即函數(shù)y=/(x)的

圖形夾在直線y=A+￡,y=A-￡之間(/(%)可能除外)。換言之：當(dāng)了e

時，/(x)eU(A,￡)。從圖中也可見b不唯一！

【例1】證明limC=C(C為一常數(shù))

證明：對V￡>o,可取任一正數(shù)3,當(dāng)0<,一公|<5時，|/(%)-4|=1。-0=0<￡，

所以limC=C。

【例2】證明lim(ar+b)="+b(awO)

證明：對明￡>0,要使得|(辦+>-(0￥0+8)|=卜(％_/)|=同％_%|<￡,只須

|x—Xo|<j—r?所以取S=j~~j">0顯然當(dāng)X()1<3時，有|(<ZX+》)—(at。+<￡。

x2-12

【例3】證明lim—~—=-

2x2-x-I3

x+12_1-x

證明：對V￡>0,因為a#l,所以％-1工0.=>—V-------------

lx2-x-\32x+l-3-3(2x+l)

［此處x—1,即考慮與=1附近的情況，故不妨限制X為0<|x—1|<1，即0<x<2,XH1］。

xlx-11x2-l2

因為2x+l>1,=><J—L要使<￡,只須

3(2x+l)32x2-x-\3

lx—11?.??

J——L<f,即上一1|<3￡。取5=min{l,3￡}(從圖形中解釋)，當(dāng)0<卜一1|<5時，有

x2-l2

-----------------<￡o

2x2-x-13

定理1：(保號性)設(shè)lim/(x)=A,

(i)若A>0(A<0),則m3>0,當(dāng)時，/(%)>0(/(x)<0)o

(ii)若f(x)20(/(4)40),必有AN0(440)°

AA

證明：(i)先證A>0的情形。取￡=,，由定義，對此￡己方>0,當(dāng)x￡U(Xo，S)時，

AAAA34

|/(x)—H<￡=5,即0<］=A-］</(x)<A+］=^n/(x)>0。

A

當(dāng)A<0時，取￡=——,同理得證。

2

(ii)(反證法)若A<0,由(i)n/(x)<0矛盾，所以A20。

當(dāng)/(x)<0時，類似可證。

注：⑴中的不能改為““，"W”。

在(ii)中，若/(x)>0,未必有A>0。

在函數(shù)極限的定義中，x是既從與的左邊(即從小于%的方向)趨于也從與的右邊(即從

大于X。的方向)趨于X。。但有時只能或需要x從與的某一側(cè)趨于x0的極限。如分段函數(shù)及在區(qū)間的

端點處等等。這樣，就有必要引進單側(cè)極限的定義：

定義2：對\/￡>0,36>0,當(dāng)x()-S<x<Xo時，［當(dāng)須；<x</+6時］,有|/(x)—旬<￡.

這時就稱A為/(x)當(dāng)XT/時的左［右］極限，記為lim/。)=4或/(1—0)=A。

x—>.vo-0

［lim/(x)=A或/(x0+0)=A］。

Xf孫+0

定理2：limf(x)=A<^>lim/(x)=limf(x)=Ao

x—>*ox—>xo-Oxf^o+O

【例4】limsgn(x)=-1,limsgn(x)=1,因為一1工1,所以limsgn(x)不存在。

x->0-0x->0+0x->0

1x>0

【例5】設(shè)/(%)=4，求

2x+1x<0。

解：顯然limf(x)=lim1=1

她8)二蜩(2x+l)=l

因為limf(x)=limf(x)=1,所以lim/(x)=l。

A—>0+0x->0-0x-?0

二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

定義3：設(shè)/(x)當(dāng)國>。(。>0)時是有定義的，若對Ve>03X(>a),當(dāng)國〉X時，有

\f(x)-^<￡,就稱A為/(x)當(dāng)Xf8時的極限，記為扁/(%)=4或/(x)-?A(當(dāng)

11x-?oo

X—>8時)。

注1：設(shè)/(x)在出,+8),((_8,切)上有定義，若對Ve〉0JX>0,當(dāng)W>X(x<—X)時，有

If(x)-Al<￡1,就稱A為/(x)當(dāng)xf+oo(x-—oo)時的極限，記為limf(x)=A,或

11x->+00

/(%)TA(當(dāng)x—?+oo)(limf(x)-A,或/(x)—>A(當(dāng)x--oo))o

x—>-00

2：lim/(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A。

x-^oox—>-wox—

3：若lim/(x)=A,就稱y=