廣東省揭陽(yáng)市高三學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)理

2018屆廣東省揭陽(yáng)市高三學(xué)業(yè)水平（期末）考試數(shù)學(xué)理一、選擇題：共12題1.已知==,則A.B.C.D.【答案】D所以=.故答案為：D.2.已知復(fù)數(shù)=為實(shí)數(shù),為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等,則A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)?=的實(shí)部與虛部相等,所以,則,所以,則.故答案為：B.3.已知命題;命題若,則,下列命題為假命題的是A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)?,所以命題p是真命題,則命題是假命題;若,則,但是,故命題q是假命題,命題是真命題.所以命題是假命題,均為真命題,故選C.4.已知==,且的夾角為,則A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)?=,且的夾角為,所以=====.故答案為：B.5.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件,則=的最小值為A.B.C.D.0【答案】A【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù)z與直線(xiàn)=在y軸上的截距之間的關(guān)系可知,平移直線(xiàn)=,當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B(1,5)時(shí),目標(biāo)函數(shù)=取得最小值.故答案為：A.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的解析式可以是A.B.C.D.【答案】C【解析】由函數(shù)的部分圖象可知,該函數(shù)是偶函數(shù),故排除B;當(dāng)時(shí),,故排除D;當(dāng)x=1時(shí),對(duì)于A選項(xiàng),=,故排除A,因此選C.7.如圖程序框圖是為了求出的常用對(duì)數(shù)值,那么在空白判斷框中,應(yīng)該填入A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意,循環(huán)結(jié)構(gòu)的功能是為了求出的值,當(dāng)k=99時(shí),此時(shí)S=,不滿(mǎn)足結(jié)果,則繼續(xù)循環(huán),當(dāng)k=100時(shí),S=,滿(mǎn)足結(jié)果,則循環(huán)結(jié)束,所以判斷框中應(yīng)該填入的條件為:.故答案為：A.8.某幾何體三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為A.B.C.D.704【答案】C【解析】由三視圖可知,該幾何體是:上面是底面半徑為4、高是3的圓錐,下面是底面為邊長(zhǎng)為8的正方形、高是10的長(zhǎng)方體,所以該幾何體的體積V==.故答案為：C.9.已知,則A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)?所以,所以,故A錯(cuò)誤;又,所以,所以,所以,B正確;又,所以的大小不確定,故C錯(cuò)誤;由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,由冪函數(shù)的單調(diào)性可知,所以的大小關(guān)系不確定,故D錯(cuò)誤.則答案為B.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是比較指數(shù)和對(duì)數(shù)值的大小；一般比較大小的題目，常用的方法有：先估算一下每個(gè)數(shù)值，看能否根據(jù)估算值直接比大??；估算不行的話(huà)再找中間量，經(jīng)常和0，1，1比較；還可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小。10.已知拋物線(xiàn),過(guò)其焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=10,以線(xiàn)段AB為直徑的圓與y軸相交于M、N兩點(diǎn),則|MN|=A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】設(shè),則|AB|=,所以,則AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,即圓心的橫坐標(biāo)為4,則圓心到y(tǒng)軸的距離為4,又以線(xiàn)段AB為直徑的圓的半徑為5,所以|MN|=6.故答案為：C.點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線(xiàn)的定義。一般和拋物線(xiàn)有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來(lái)處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線(xiàn)的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線(xiàn)距的轉(zhuǎn)化。11.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知△ABC的面積為==,則A.B.C.D.或【答案】D【解析】由三角形的面積公式可得,則,所以,由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=16或10,所以c=4或,由正弦定理可得==或.故答案為：D.點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.12.已知函數(shù)滿(mǎn)足=,若函數(shù)=與圖象的交點(diǎn)為則A.0B.C.D.【答案】C【解析】由=知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),且函數(shù)=的圖象也關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),則兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)兩兩關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),故.故答案為：C.二、填空題：共4題13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.【答案】2【解析】的展開(kāi)式中的通項(xiàng),令,得r=4,所以,則.故答案為：2.14.記函數(shù)=的定義域?yàn)锳,在區(qū)間[3,6]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則xA的概率是__.【答案】【解析】由可得,則=,所以在區(qū)間[3,6]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則xA的概率是P=.故答案為：.........................15.設(shè)函數(shù)=,則以下結(jié)論:①的一個(gè)周期為②的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)③為偶函數(shù)④在單調(diào)遞減其中正確的是_.(請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的代號(hào)都填上)【答案】①②④【解析】===,所以的一個(gè)周期為,故①正確;==,所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),故②正確;==,故③錯(cuò)誤;若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,在單調(diào)遞減,故④正確.故答案為:①②④16.已知雙曲線(xiàn)=的離心率為,左焦點(diǎn)為,當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)右支上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)Q在圓=上運(yùn)動(dòng)時(shí),的最小值為_(kāi)____.【答案】【解析】依題意可知a=1,b=,設(shè)B(0,1),由得,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到圓B上點(diǎn)的最小值,即,故．故答案為：.三、解答題：共7題17.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)=；（2）.【解析】試題分析：.(1)由求出公差與首項(xiàng),再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和即可；(2),利用裂項(xiàng)相消法求和與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和.解析：(1)由得數(shù)列的公差=,由得,解得∴=.(2)由(1)可得,∴====18.如圖所示,平面多邊形中,AE=ED,AB=BD,且,現(xiàn)沿直線(xiàn),將折起,得到四棱錐.(1)求證:;(2)若,求PD與平面所成角的正弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）正弦值為.【解析】試題分析：(1)取的中點(diǎn),連,由題意可得且,則有平面,可得結(jié)論;(2)法一:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OD,OP所在的直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PAB的一個(gè)法向量,再利用向量的夾角公式求解即可；法二:利用等積法:由得=,求出點(diǎn)D到平面PAB的距離為h,設(shè)PD與平面所成角為,則===.解析：(1)證明:取的中點(diǎn),連,∵,即,∴且,又,∴平面,而平面,∴.(2)∵OP=1,OB=2,,∴,∴OP、OB、OD兩兩互相垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OD,OP所在的直線(xiàn)為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)為平面PAB的一個(gè)法向量,則由,令則得,∴,設(shè)PD與平面所成角為,則====,故,即PD與平面所成角的正弦值為.19.從甲、乙兩品種的棉花中各抽測(cè)了25根棉花的纖維長(zhǎng)度(單位:mm),得到如圖5的莖葉圖,整數(shù)位為莖,小數(shù)位為葉,如27.1mm的莖為27,葉為1．(1)試比較甲、乙兩種棉花的纖維長(zhǎng)度的平均值的大小及方差的大小;(只需寫(xiě)出估計(jì)的結(jié)論,不需說(shuō)明理由)(2)將棉花按纖維長(zhǎng)度的長(zhǎng)短分成七個(gè)等級(jí),分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如表:試分別估計(jì)甲、乙兩種棉花纖維長(zhǎng)度等級(jí)為二級(jí)的概率;(3)為進(jìn)一步檢驗(yàn)甲種棉花的其它質(zhì)量指標(biāo),現(xiàn)從甲種棉花中隨機(jī)抽取4根,記為抽取的棉花纖維長(zhǎng)度為二級(jí)的根數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）甲、乙兩種棉花纖維長(zhǎng)度等級(jí)為二級(jí)的概率分別為和；（3）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)由莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布情況可知,乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的平均值較甲品種的大;乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的方差較甲品種的?。?2)由所給的莖葉圖知,甲、乙兩種棉花纖維長(zhǎng)度在[30.0,30.9](即二級(jí))比率分別為:=；(3)由(2)知,從甲種棉花中任取1根,其纖維長(zhǎng)度為二級(jí)的概率為,不是二級(jí)的概率為,依題意知的可能取值為:0,1,2,3,4,求出每一個(gè)變量的概率,即可得分布列與期望.解析：(1)乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的平均值較甲品種的大;乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的方差較甲品種的小.(2)由所給的莖葉圖知,甲、乙兩種棉花纖維長(zhǎng)度在[30.0,30.9](即二級(jí))比率分別為:==,故估計(jì)甲、乙兩種棉花纖維長(zhǎng)度等級(jí)為二級(jí)的概率分別為或0.2)和或0.12).(3)由(2)知,從甲種棉花中任取1根,其纖維長(zhǎng)度為二級(jí)的概率為,不是二級(jí)的概率為,依題意知的可能取值為:0,1,2,3,4.又或0.4096),或0.4096),或0.1536),或0.0256),=或0.0016).故的分布列為:或.20.在圓上任取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)段,垂足為,點(diǎn)在線(xiàn)段上,且,當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí).(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)直線(xiàn)與上述軌跡相交于M、N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)在直線(xiàn)上,求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）點(diǎn)的軌跡C方程為=；（2）k的取值范圍是.【解析】試題分析：(1)設(shè),由=得,,由,得點(diǎn)的軌跡C方程為；(2)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合MN的中點(diǎn)在直線(xiàn)上,可得=,結(jié)合求解,可得k的取值范圍是．解析：(1)設(shè),由得,==,∵點(diǎn)在圓上,即=,∴,即=,∴點(diǎn)的軌跡C方程為=.(2)設(shè),若直線(xiàn)l與x軸平行,則MN的中點(diǎn)在y軸上,與已知矛盾,所以,把代入=,得=,則=,由,得,由,得=,所以=,解得,所以k的取值范圍是．點(diǎn)睛：求軌跡方程，一般是問(wèn)誰(shuí)設(shè)誰(shuí)的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可，而對(duì)于直線(xiàn)與曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式，例如，可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來(lái)理解，然后借助韋達(dá)定理求解即可運(yùn)算此類(lèi)題計(jì)算一定要仔細(xì).21.已知函數(shù)=a為實(shí)數(shù)).(1)若是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn),求a的值;(2)當(dāng)時(shí),試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為,由題意,且,聯(lián)立求解可得；(2)進(jìn)行二次求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性,可得,設(shè),求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性,可得得僅當(dāng)時(shí)取“=”),再分與討論函數(shù)的單調(diào)性,即可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為,則切線(xiàn)的斜率為,即,化簡(jiǎn)得*),又且,得,∴或,聯(lián)立(*)式,解得.(2)設(shè)==,由得,∴即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,得,其中,設(shè),由,得,∴在上單調(diào)遞增,得,∴僅當(dāng)時(shí)取“=”),當(dāng)時(shí),,得,∴在上單調(diào)遞增,又,∴函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),為e;②當(dāng)時(shí),,又,∴存在,使,又,而,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,∴函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),綜上所述,函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問(wèn)題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題；(2)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題．研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)的變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)。同時(shí)在解題過(guò)程中要注意轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．22.在直角坐標(biāo)系中,已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù),;現(xiàn)以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的方程為,(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)和的交點(diǎn)為,求的值．【答案】（1）極坐標(biāo)方程為；（2）=．.【解析】試題分析：(1)消去參數(shù)可得曲線(xiàn)C1的普通方程,即可得其極坐標(biāo)方程；(2)聯(lián)立曲線(xiàn)和的極坐標(biāo)方程