專題05 概率與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)交匯問題（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練

專題05概率與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)交匯問題(典型題型歸類訓(xùn)練)題型一：概率與數(shù)列1．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預(yù)測）遺傳學(xué)在培育作物新品種中有著重要的應(yīng)用．已知某種農(nóng)作物植株有，，三種基因型，根據(jù)遺傳學(xué)定律可知，個體自交產(chǎn)生的子代全部為個體，個體自交產(chǎn)生的子代全部為個體，個體自交產(chǎn)生的子代中，，，，個體均有，且其數(shù)量比為．假設(shè)每個植株自交產(chǎn)生的子代數(shù)量相等，且所有個體均能正常存活．(1)現(xiàn)取個數(shù)比為的，，植株個體進(jìn)行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基因型為，求該植株是由個體自交得到的概率；(2)已知基因型為AA的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種．農(nóng)科院研究人員為了獲得更多的植株用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，將通過誘變育種獲得的Aa植株進(jìn)行第一次自交，根據(jù)植株表現(xiàn)型的差異將其子代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第二次自交，再將第二次自交后代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第三次自交……此類推，不斷地重復(fù)此操作，從第次自交產(chǎn)生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為AA的概率記為（且）①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；②求，并根據(jù)的值解釋該育種方案的可行性．2．（2024上·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）甲、乙、丙人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設(shè)表示經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中的概率.(1)求，；(2)證明：是等比數(shù)列，并求；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為，求．3．（2024上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，增強(qiáng)鍛煉身體意識，某學(xué)校舉辦一場羽毛球比賽．已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往甲、乙兩名運(yùn)動員對陣的比賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．規(guī)定第1回合是甲先發(fā)球．(1)求第3回合由甲發(fā)球的概率；(2)①設(shè)第i回合是甲發(fā)球的概率為，證明：是等比數(shù)列；②已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，…，n，則．若第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進(jìn)行n個回合比賽后，甲的總得分的期望．4．（2024上·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）現(xiàn)有標(biāo)號依次為1，2，…，n的n個盒子，標(biāo)號為1號的盒子里有2個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球．現(xiàn)從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進(jìn)行到從號盒子里取出2個球放入n號盒子為止．(1)當(dāng)時，求2號盒子里有2個紅球的概率；(2)當(dāng)時，求3號盒子里的紅球的個數(shù)的分布列；(3)記n號盒子中紅球的個數(shù)為，求的期望．題型二：概率與導(dǎo)數(shù)1．（2024上·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）某企業(yè)對500個產(chǎn)品逐一進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)“合格”方能出廠．產(chǎn)品檢驗(yàn)需要進(jìn)行三項(xiàng)工序A、B、C，三項(xiàng)檢驗(yàn)全部通過則被確定為“合格”，若其中至少2項(xiàng)檢驗(yàn)不通過的產(chǎn)品確定為“不合格”，有且只有1項(xiàng)檢驗(yàn)不通過的產(chǎn)品將其進(jìn)行改良后再檢驗(yàn)A、B兩項(xiàng)工序，如果這兩項(xiàng)全部通過則被確定為“合格”，否則確定為“不合格”．每個產(chǎn)品檢驗(yàn)A、B、C三項(xiàng)工序工作相互獨(dú)立，每一項(xiàng)檢驗(yàn)不通過的概率均為p（）．(1)記某產(chǎn)品被確定為“不合格”的概率為，求的值；(2)若不需要重新檢驗(yàn)的每個產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為120元，需要重新檢驗(yàn)的每個產(chǎn)品兩次檢驗(yàn)費(fèi)用為200元．除檢驗(yàn)費(fèi)用外，其他費(fèi)用為2萬元，且這500個產(chǎn)品全部檢驗(yàn)，該企業(yè)預(yù)算檢驗(yàn)總費(fèi)用（包含檢驗(yàn)費(fèi)用與其他費(fèi)用）為10萬元．試預(yù)測該企業(yè)檢驗(yàn)總費(fèi)用是否會超過預(yù)算？并說明理由．2．（2023·新疆·校聯(lián)考一模）某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機(jī)會獲得5分，10分或20分的積分，且每次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，三次游戲?yàn)橐惠?，一輪游戲結(jié)束后，計算本輪游戲總積分．(1)求某人在一輪游戲中，累計積分不超過25分的概率（用含的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)某人在一輪游戲中累計積分在區(qū)間內(nèi)的概率取得最大值時，求一輪游戲累計積分的數(shù)學(xué)期望．3．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因?yàn)樗恢懊媸欠裼懈玫?，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中一共會遇到顆麥穗（假設(shè)顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥橞，現(xiàn)有如下策略：不摘前顆麥穗，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設(shè)，該學(xué)生摘到那顆最大的麥穗的概率為.（?。?1)若，，求；(2)若取無窮大，從理論的角度，求的最大值及取最大值時的值.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·廣西柳州·高三柳州高級中學(xué)校考階段練習(xí)）假設(shè)市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三種，第二天的天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無關(guān).若前一天為晴天，則第二天下雨的概率為，陰天的概率為；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為，陰天的概率為；若前一天為陰天，則第二天晴天的概率為，下雨的概率為；已知市4月第1天的天氣情況為下雨.(1)求市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；(2)記為市四月第天的天氣情況為晴天的概率，（i）求出的通項(xiàng)公式；（ii）市某花卉種植基地計劃在四月根據(jù)天氣情況種植向日葵，為了更好地促進(jìn)向日葵種子的發(fā)芽和生長，要求提前3天對種子進(jìn)行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧問，根據(jù)上述計算結(jié)果，請你對該基地的種植計劃提出建議.2．（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構(gòu)成了一個隨機(jī)變量，這個隨機(jī)變量的均值（即期望）就是這個分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滳.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量所有取值為，定義的信息熵，（，）.(1)若，試探索的信息熵關(guān)于的解析式，并求其最大值；(2)若，（），求此時的信息熵.3．（2023上·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司為激勵員工，在年會活動中，該公司的位員工通過摸球游戲抽獎，其游戲規(guī)則為：每位員工前面都有1個暗盒，第1個暗盒里有3個紅球與1個白球.其余暗盒里都恰有2個紅球與1個白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個暗盒里取出1個球，并將這個球放入第2個暗盒里，第2位員工再從第2個暗盒里面取出1個球并放入第3個暗盒里，依次類推，第位員工再從第個暗盒里面取出1個球并放入第個暗盒里.第位員工從第個暗盒中取出1個球，游戲結(jié)束.若某員工取出的球?yàn)榧t球，則該員工獲得獎金1000元，否則該員工獲得獎金500元.設(shè)第位員工獲得獎金為元.(1)求的概率；(2)求的數(shù)學(xué)期望，并指出第幾位員工獲得獎金額的數(shù)學(xué)期望最大.4．（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┩趵蠋熋刻煸缟?：00準(zhǔn)時從家里出發(fā)去學(xué)校，他每天只會從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達(dá)學(xué)校的時間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：到校時間7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地鐵0.10.150.350.20.150.05乘汽車0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當(dāng)天乘地鐵去學(xué)校，則他到校時間在7：35-7：40的概率為0.35.）(1)某天早上王老師通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學(xué)校，若正面向上則坐地鐵，反面向上則坐汽車.求他當(dāng)天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校，從第二天開始，若前一天到校時間早于7：40，則當(dāng)天他會乘坐地鐵去學(xué)校，否則當(dāng)天他將乘坐汽車去學(xué)校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學(xué)校前坐地鐵的次數(shù)為，求；(3)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時間早于7：40，則當(dāng)天他會乘坐地鐵去學(xué)校；若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時間晚于7：40，則當(dāng)天他會乘坐汽車去學(xué)校；若他前一天乘坐汽車去學(xué)校，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，當(dāng)天他都會乘坐地鐵去學(xué)校.記為王老師第天坐地鐵去學(xué)校的概率，求的通項(xiàng)公式.5．（2023上·廣東佛山·高三校考階段練習(xí)）中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）為，反映出中國制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快．以新能源汽車、機(jī)器人、增材制造、醫(yī)療設(shè)備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展．已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：(1)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差s近似值為10，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，記質(zhì)量差服從正態(tài)分布，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則，，．(2)假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和（，且）件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為．①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當(dāng)為何值時，取得最大值．6．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）某市每年上半年都會舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內(nèi)外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2023年該市旅游管理部門對初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，有的人計劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想?yún)⒓?024年的“清明文化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分，兩個文化節(jié)都參加的游客記2分.假設(shè)每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計劃是否來年參加“清明文化節(jié)”相互獨(dú)立，將頻率視為概率.(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機(jī)抽取三人，求三人合計得分的數(shù)學(xué)期望；(2)2024年的“清明文化節(jié)”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計劃免費(fèi)向到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種出行服務(wù).已知游客甲每天的出行將會在該市提供的這兩種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為，如此往復(fù).（i）求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；（ii）求甲第（，2，，16）天選擇“單車自由行”的概率，并幫甲確定在2024年“清明文化節(jié)”的16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數(shù).7．（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運(yùn)動員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運(yùn)動員，然后該運(yùn)動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運(yùn)動員，則這次有的概率再傳給該運(yùn)動員，有的概率傳給另一位運(yùn)動員.已知教練第一次傳給了甲運(yùn)動員，且教練第次傳球傳給甲運(yùn)動員的概率為.(1)求，；(2)求的表達(dá)式；(3)設(shè)，證明：.8．（2024上·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，證明對任意，；(3)某鐵道線上共有列列車運(yùn)行，且每次乘坐到任意一列列車的概率相等