湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)第十五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)第十五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某計(jì)算器有兩個(gè)數(shù)據(jù)輸入口M1，M2一個(gè)數(shù)據(jù)輸出口N，當(dāng)M1，M2分別輸入正整數(shù)1時(shí)，輸出口N輸出2，當(dāng)M1輸入正整數(shù)m1，M2輸入正整數(shù)m2時(shí)，N的輸出是n；當(dāng)M1輸入正整數(shù)m1，M2輸入正整數(shù)m2+1時(shí)，N的輸出是n+5；當(dāng)M1輸入正整數(shù)m1+1，MM2輸入正整數(shù)m2時(shí)，N的輸出是n+4．則當(dāng)M1輸入60，M2輸入50時(shí)，N的輸出是（）A．494 B．492 C．485 D．483參考答案：D【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】依題記f（m1，m2）=f（m1，m2﹣1）+5×1=f（m1，1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1，1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1，1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1，1），將m1=60，m2=50，f（1，1）=2，代入得結(jié)論．【解答】解：依題記f（m1，m2）=f（m1，m2﹣1）+5×1=f（m1，1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1，1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1，1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1），將m1=60，m2=50，f（1，1）=2，代入得483．故選D．2.把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折起，形成的三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.設(shè)集合M={}，N={}，則MN=

A．{}

B．{}

C．{}

D．{}參考答案：A4.設(shè)若，則的值為（

）A．B．C．D．參考答案：A

【知識(shí)點(diǎn)】定積分；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的值．B13B8由題意可知，又，所以，故，解得，故選A．【思路點(diǎn)撥】求出的值，然后利用，通過(guò)積分求解的值．5.已知，的取值如右表：從散點(diǎn)圖分析，y與x線(xiàn)性相關(guān)，且回歸方程為,則a=(

)A

B

C

D參考答案：A6.兩座燈塔A和B與海洋觀(guān)察站C的距離都等于,燈塔A在觀(guān)察站C的北偏東,燈塔B在觀(guān)察站C的南偏東，則燈塔A與燈塔B的距離為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.角α的終邊經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣，a），則“|a|=1”的充要條件是（）A．sinα= B． cosα=C．tanα=D．|PO|=+1參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】cosα=，可得“|a|=1”的充要條件．【解答】解：cosα=，“|a|=1”的充要條件是cosα=﹣．故選：B．8.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：D9.下列說(shuō)法正確的是()A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”B．命題“?x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“?x0＜0，x＋x0－1＜0”C．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為假命題D．若“p∨q”為真命題，則p，q中至少有一個(gè)為真命題參考答案：D10.（05年全國(guó)卷Ⅲ）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（

）A

B

C

D

參考答案：答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，則三棱錐外接球O的表面積等于________.參考答案：12.如圖，我們知道，圓環(huán)也可看作線(xiàn)段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S=π（R2﹣r2）=（R﹣r）×2π×．所以，圓環(huán)的面積等于是以線(xiàn)段AB=R﹣r為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長(zhǎng)2π×為長(zhǎng)的矩形面積．請(qǐng)將上述想法拓展到空間，并解決下列問(wèn)題：若將平面區(qū)域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是

．（結(jié)果用d，r表示）參考答案：2π2r2d考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；歸納推理．專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)已知中圓環(huán)的面積等于是以線(xiàn)段AB=R﹣r為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長(zhǎng)2π×為長(zhǎng)的矩形面積．拓展到空間后，將平面區(qū)域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：以圓（x﹣d）2+y2=r2為底面，以圓心（d，0）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長(zhǎng)2π×d為高的圓柱的體積．代入可得答案．解答： 解：由已知中圓環(huán)的面積等于是以線(xiàn)段AB=R﹣r為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長(zhǎng)2π×為長(zhǎng)的矩形面積．拓展到空間后，將平面區(qū)域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：以圓（x﹣d）2+y2=r2為底面，以圓心（d，0）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長(zhǎng)2π×d為高的圓柱的體積．故V=πr2?2πd=2π2r2d，故答案為：2π2r2d．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓柱的體積，類(lèi)比推理，其中得到拓展到空間后，將平面區(qū)域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：以圓（x﹣d）2+y2=r2為底面，以圓心（d，0）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長(zhǎng)2π×d為高的圓柱的體積．是解答的關(guān)鍵．13.有一個(gè)底面圓的半徑為1，高為3的圓柱，點(diǎn)O1，O2分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率為．參考答案：略14.已知函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.

參考答案：15.已知虛數(shù)滿(mǎn)足，則

▲

．

參考答案：16.（幾何證明選講選做題）如圖3，是圓的一條弦，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，過(guò)作圓的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為

．參考答案：試題分析：由切割線(xiàn)定理得：，所以，因?yàn)槭堑钠椒志€(xiàn)，所以，因?yàn)槭菆A的切線(xiàn)，所以，因?yàn)?，所以，所以．考點(diǎn)：1、切割線(xiàn)定理；2、弦切角定理．17.設(shè)函數(shù)

則______；若，，則的大小關(guān)系是______．參考答案：，【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象分段函數(shù)，抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)【試題解析】

，因?yàn)?，所?/p>

又若，結(jié)合圖像知：

所以：。

故答案為：，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.隨著國(guó)民生活水平的提高，利用長(zhǎng)假旅游的人越來(lái)越多.某公司統(tǒng)計(jì)了2012到2016年五年間本公司職員每年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

年份（x）20122013201420152016家庭數(shù)（y）610162226

（Ⅰ）從這5年中隨機(jī)抽取兩年，求外出旅游的家庭數(shù)至少有1年多于20個(gè)的概率；（Ⅱ）利用所給數(shù)據(jù)，求出春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)與年份之間的回歸直線(xiàn)方程，判斷它們之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；并根據(jù)所求出的直線(xiàn)方程估計(jì)該公司2019年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù).參考公式：，參考答案：（Ⅰ）從這5年中任意抽取兩年，所有的事件有：，，，，，，，，，共10種，至少有1年多于20人的事件有：，，，，，，共7種，則至少有1年多于20人的概率為.（Ⅱ）由已知數(shù)據(jù)得，，；；所以，所以是正相關(guān)，回歸直線(xiàn)的方程為則第2019年的估計(jì)值為19.如圖1，平面五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是邊長(zhǎng)為2的正三角形．現(xiàn)將△ADE沿AD折起，得到四棱錐E﹣ABCD（如圖2），且DE⊥AB．（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成銳二面角的大?。唬á螅┰诶釧E上是否存在點(diǎn)F，使得DF∥平面BCE？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥AD，AB⊥DE，從而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE⊥平面ABCD．（Ⅱ）設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接EO，推導(dǎo)出EO⊥AD，從而EO⊥平面ABCD．以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線(xiàn)為x軸，在平面ABCD內(nèi)過(guò)O垂直于AD的直線(xiàn)為y軸，OE所在的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大小．（Ⅲ）設(shè)BE的中點(diǎn)為G，連接CG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出四邊形CDFG是平行四邊形，從而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在點(diǎn)F，使得DF∥平面BCE，此時(shí)．【解答】（本小題共14分）證明：（Ⅰ）由已知得AB⊥AD，AB⊥DE．因?yàn)锳D∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．又AB?平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD..…解：（Ⅱ）設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接EO．因?yàn)椤鰽DE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD．因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，EO?平面ADE，所以EO⊥平面ABCD．以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線(xiàn)為x軸，在平面ABCD內(nèi)過(guò)O垂直于AD的直線(xiàn)為y軸，OE所在的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示．由已知，得E（0，0，），B（1，2，0），C（﹣1，1，0）．所以=（1，﹣1，），=（2，1，0）．設(shè)平面BCE的法向量=（x，y，z）．則，令x=1，則=（1，﹣2，﹣）．又平面ADE的一個(gè)法向量=（0，1，0），所以cos＜＞==﹣．所以平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大小為．…（Ⅲ）在棱AE上存在點(diǎn)F，使得DF∥平面BCE，此時(shí)．理由如下：設(shè)BE的中點(diǎn)為G，連接CG，F(xiàn)G，則FG∥AB，F(xiàn)G=．因?yàn)锳B∥CD，且，所以FG∥CD，且FG=CD，所以四邊形CDFG是平行四邊形，所以DF∥CG．因?yàn)镃G?平面BCE，且DF?平面BCE，所以DF∥平面BCE..…20.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用萬(wàn)元2345銷(xiāo)售額萬(wàn)元26394958經(jīng)計(jì)算.附：.（I）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程;（II）根據(jù)上述回歸方程,預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為10萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售額為多少萬(wàn)元？參考答案：（1），，，所以線(xiàn)性回歸方程為。

................8(分)（2）預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為10萬(wàn)元時(shí)，（萬(wàn)元）所以預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為10萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售額為111.9萬(wàn)元.

................12(分)21.（12分）已知函數(shù)的反函數(shù)為，各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列滿(mǎn)足：，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，試比較與的大小。參考答案：解：（1）由，得