廣東省陽江市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

機(jī)密★啟用前2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一期末測試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，且，則（）A.-1 B.1 C.-3 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合包含的知識以及元素的互異性可求解.【詳解】由題意：，得：或兩種情況，若，則，此時，不滿足互異性；若，則解得或，顯然，符合題意，而當(dāng)時，，不滿足互異性.綜上所述：.故選：D.2.“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，則，解得，綜上所述，不等式恒成立時，，所以選項中“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是.故選：D.3.已知，則下列結(jié)論正確是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】舉出反例即可判斷ACD，根據(jù)不等式心智即可判斷B.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，當(dāng)因為，所以，故B正確；對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，故D錯誤.故選：B.4.已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)在上的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，進(jìn)而可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且有，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.5.設(shè)函數(shù)，則等于（）A. B.1 C. D.10【答案】A【解析】【分析】賦值和即可得到方程組，解出即可.【詳解】令得①，令得②，聯(lián)立①②得，故選：A.6.已知函數(shù)若互不相等，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先畫出分段函數(shù)的圖像，然后轉(zhuǎn)換變量化成對勾函數(shù)模型，再根據(jù)自變量的取值范圍求出整體取值范圍即可.【詳解】作出分段函數(shù)的圖像，如圖所示，，直線與函數(shù)圖像有4個交點，則關(guān)于直線對稱，所以，而，所以，所以，所以，因為直線與函數(shù)圖像有4個交點，所以，所以，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，所以，所以，故選：D7.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得和，即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又由對數(shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，即.故選：D.8.某工廠新購置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以減少對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：）與過濾時間（單位：）的關(guān)系為（是正常數(shù)）.若經(jīng)過過濾后消除了的污染物，則污染物減少大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用給定的函數(shù)模型，求出，再借助取對數(shù)的方法求出時的值即可.【詳解】依題意，經(jīng)過過濾后還剩余的污染物，則，解得，設(shè)污染物減少用時小時，于是，即，則，即，兩邊取對數(shù)得，因此，所以污染物減少大約需要.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列不等式的解集為R的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分別對不等式所對應(yīng)的方程的判別式進(jìn)行逐一判斷，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.【詳解】對于A，易知方程的判別式，即對應(yīng)的整個二次函數(shù)圖象都在軸上方，所以解集為R，即A正確；對于B，易知方程的判別式，由對應(yīng)的二次函數(shù)圖象可知其解集不可能為R，即B錯誤；對于C，易知方程的判別式，即對應(yīng)的整個二次函數(shù)圖象都在軸下方，所以解集為R，即C正確；對于D，易知不等式可化為，顯然該不等式恒成立，即解集為R，即D正確；故選：ACD10.已知函數(shù)，則函數(shù)具有下列性質(zhì)（）A.為上的奇函數(shù) B.在上是遞減函數(shù)C.的值域為 D.的圖象關(guān)于對稱【答案】AC【解析】【分析】A：根據(jù)定義域以及與的關(guān)系判斷即可；B：根據(jù)解析式結(jié)合奇偶性進(jìn)行判斷；C：根據(jù)解析式結(jié)合分式取值特點直接分析函數(shù)值域；D：根據(jù)的取值進(jìn)行判斷.【詳解】A：定義域為關(guān)于原點對稱，，所以為上的奇函數(shù)，故A正確；B：當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因為為奇函數(shù)，所以在上是遞增函數(shù)，故B錯誤；C：當(dāng)時，，因為，所以，又因為為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，所以的值域為，故C正確；D：若的圖象關(guān)于對稱，則一定有；因為，顯然的圖象不關(guān)于對稱，故D錯誤；故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.是上的奇函數(shù)B.當(dāng)時，的解集為C.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時，值域為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，直接由奇函數(shù)的定義即可判斷；對于B，直接分類討論解絕對值不等式即可判斷；對于C，舉出反例，推翻C選項；對于D，通過令換元法，然后再分類討論求出的值域即可判斷.【詳解】對于A，首先定義域是關(guān)于原點對稱，其次，即是上的奇函數(shù)，故A正確；對于B，當(dāng)時，，所以或，解得或，即當(dāng)時，的解集為，故B正確；對于C，不妨取，此時，對，有，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，令，此時，而，當(dāng)時，，從而當(dāng)時，即值域為.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于AC選項的判斷比較常規(guī)，直接由定義即可判斷，對于B，注意分類討論解決速度最快了，對于D，通過換元令，這樣就不要分或進(jìn)行討論了.12.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小即可.【詳解】因為，易知，而，所以，且，則A正確，B錯誤，C正確，，，比較與的大小關(guān)系，，，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.關(guān)于的不等式的解集是，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意首先由三角不等式得到的最小值為，然后將問題轉(zhuǎn)換為恒成立問題來做，進(jìn)一步分類討論解絕對值不等式即可.【詳解】因為，所以，即，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)在和1兩個數(shù)之間，規(guī)定時的取等條件為，綜上所述的最小值為，因為關(guān)于的不等式的解集是，所以恒成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)時，不可能成立，當(dāng)時，，解得.綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先討論，然后時，將一元二次不等式恒成立問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換即可得解.【詳解】若，則不等式變?yōu)榱撕愠闪ⅲ蕽M足題意；若，則不等式恒成立等價于，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15.已知點在函數(shù)的圖像上，且有最小值，則常數(shù)的一個取值為_________．【答案】1（不唯一）【解析】【分析】分別畫出函數(shù)和的圖像，再根據(jù)條件求解.【詳解】設(shè)，分別繪制函數(shù)的大致圖像如下圖：其中有最小值，，沒有最小值，是它的漸近線，點在上，，，如上圖，當(dāng)時，不存在最小值，；故答案為：（不唯一）.16.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】用兩個零點表示所求關(guān)系式即可求解.【詳解】記題設(shè)的兩個零點為，則由知所以所以故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是將用兩個零點表示，結(jié)合零點的范圍可得答案.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知關(guān)于的不等式的解集為．（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）求的最小值．【答案】17.或18.16【解析】【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理代入即可解出不等式；（2）減少變量，將式子轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式即可.小問1詳解】由題意得是方程的兩實數(shù)根，且，則有，即，，即，由，得，解得或，則不等式解集為或.【小問2詳解】因為，且由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.則的最小值為16.18.已知集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由交集的運算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，列出不等式，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由題意可得.當(dāng)時，，則.【小問2詳解】因為，所以，顯然，則解得，即a的取值范圍是.19.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)定義直接可得解析式；（2）利用函數(shù)的奇偶性，根據(jù)單調(diào)性可去掉符號，再考慮到定義域即可求出的范圍．【小問1詳解】設(shè)，則，，由為偶函數(shù)有，故.【小問2詳解】當(dāng)時，因為對稱軸為，則此時為單調(diào)遞增函數(shù)，由偶函數(shù)可知在上為減函數(shù)，又因為，所以，故有，即，故.20.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義進(jìn)行證明；（2）函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見解析；（2）或.【解析】【分析】（1）作差變形因式分解再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷符號即可；（2）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的值域之間的包含關(guān)系即可.【小問1詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明：任取，則，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又因為，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，設(shè)的值域為，則，設(shè)，，設(shè)的值域為，由題意得，當(dāng)時，，顯然不合題意，舍去，當(dāng)時，根據(jù)（1）中結(jié)論知在上單調(diào)遞增，此時，，值域，則有，解得，當(dāng)時，根據(jù)（1）中結(jié)論知在上單調(diào)遞減，此時值域，則有，解得，綜上所述，或21.為助力鄉(xiāng)村振興，某村決定建一果袋廠．經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)需投入的年固定成本為20萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入的流動成本為萬元，在年產(chǎn)量不足萬件時，（萬元），在年產(chǎn)量不小于萬件時，（萬元），每件產(chǎn)品的售價為元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的果袋當(dāng)年全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）年產(chǎn)量為萬件時，該廠所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分別求得和時，利潤的表達(dá)式，進(jìn)而得到的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）中的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，分別取得利潤的最大值，比較即可得到答案.【小問1詳解】解：因為每件產(chǎn)品售價為6元，則萬件產(chǎn)品銷售收入為萬元，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，，所以.【小問2詳解】當(dāng)時，可得，當(dāng)時，取得最大值萬元；當(dāng)時，萬元，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，函數(shù)取得最大值，最大值為萬元，因為，所以年產(chǎn)量為萬件時，該廠所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元.22.已知函數(shù).（1）若，求在上的最小值；（2）若，且對于，有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.（