2024屆貴州省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四章 第21講《銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用》教學(xué)

第四章三角形第21講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用2024年中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題第四章三角形第21講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用2024年中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題課標(biāo)要求1.利用相似的直角三角形,探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA,cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值.2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值,由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角.3.在平面上,運(yùn)用方位角和距離刻畫(huà)兩個(gè)物體的相對(duì)位置.4.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形,能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.考點(diǎn)梳理1銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)特殊角的三角函數(shù)直角三角形的邊角關(guān)系解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用近似數(shù)和精確度三邊關(guān)系三角關(guān)系面積關(guān)系邊角關(guān)系仰角、俯角坡角、坡度（坡比）方位角如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A為△ABC中的一銳角，則有∠A的正弦：

∠A的余弦：

∠A的正切：

銳角三角函數(shù)

特殊角的三角函數(shù)αsinαcosαtanα30°④_______45°⑤________160°⑥________

1260°30°11

45°45°

直角三角形的邊角關(guān)系aCBAc2bch∠B

解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用【易錯(cuò)提示】（1）坡度不是一個(gè)度數(shù)，而是一個(gè)比值，不要混淆坡角與坡度；（2）方向角先說(shuō)南、北，后說(shuō)東、西仰角、俯角在視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中：視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫?______；視線(xiàn)在水平線(xiàn)下方的角叫?______坡角、坡度（坡比）山坡與地平面的夾角叫坡角（如圖中∠BAC，記做α）坡度（坡比）i=?________=tanα方位角點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東?___方向鉛垂線(xiàn)視線(xiàn)水平線(xiàn)視線(xiàn)

CABhlα西南北東ABC70°45°60°O仰角俯角仰角俯角

60°點(diǎn)B在點(diǎn)O的?________方向點(diǎn)C在點(diǎn)O的?________方向北偏西20°南偏東45°近似數(shù)和精確度近似數(shù)：與實(shí)際接近但存在偏差的稱(chēng)為近似數(shù)，如長(zhǎng)江長(zhǎng)約6300km，圓周率π約為3.14，這里的數(shù)都是近似數(shù)精確度：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位如：2.022精確到0.1或十分位為?___，精確到0.01或百分位為?____2.02.02分層突破2重難考點(diǎn)突破一、解直角三角形重難考點(diǎn)突破二、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

12例1

重難考點(diǎn)突破一、解直角三角形解直角三角形的方法:(1)當(dāng)所求角在直角三角形中時(shí),根據(jù)定義直接進(jìn)行求解;(2)當(dāng)所求角不在直角三角形中時(shí),應(yīng)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形,或?qū)ふ乙阎苯侨切沃信c所要求的角相等的角.方法指導(dǎo)12例1

C

對(duì)應(yīng)練習(xí)12例1

A

12例1例2

(2023貴陽(yáng)白云區(qū))爬山能強(qiáng)身健體,親近自然,陶冶情操.王老師周末到公園爬山,山的形狀如圖1,爬山路線(xiàn)示意圖如圖2,王老師從山腳A出發(fā),沿AB走400米到B點(diǎn),再沿BC到山頂C點(diǎn),已知山高CF為354米,BE∥AF,BD⊥AF,CE⊥BE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,∠1=30°,∠2=50°.(圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi))(1)求BD的長(zhǎng);解:在Rt△ABD中,AB=400米,∠1=30°,∴BD=AB=×400=200(米).∴BD的長(zhǎng)為200米.34例2重難考點(diǎn)突破二、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用(2)求王老師從山腳A點(diǎn)到達(dá)山頂C點(diǎn)共走了多少米?(結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)

34例21.求高度、長(zhǎng)度等實(shí)際問(wèn)題?？梢赞D(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.解題時(shí)要先正確畫(huà)出示意圖,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,再根據(jù)特殊角或已知角,構(gòu)造直角三角形并求解.2.當(dāng)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的直角三角形,不能直接解三角形時(shí),要善于利用線(xiàn)段的和差關(guān)系,建立方程求解.方法指導(dǎo)34例23.(2023貴陽(yáng)南明區(qū))如圖1是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳的自動(dòng)扶梯,其示意圖如圖2.自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為37°,大廳兩層之間的距離BC為6

m,則自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)約為(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)(

)A.7.5

m

B.8

m

C.9

m

D.10

mD

對(duì)應(yīng)練習(xí)34例24.(2023貴陽(yáng)花溪區(qū)模擬)2021年11月9日是我國(guó)第30個(gè)“全國(guó)消防宣傳日”,該年“119消防宣傳月”活動(dòng)的主題是“落實(shí)消防責(zé)任,防范安全風(fēng)險(xiǎn)”.為落實(shí)該主題,平頂山市消防大隊(duì)到建東小區(qū)進(jìn)行消防演習(xí).已知,圖1是一輛登高云梯消防車(chē)的實(shí)物圖,圖2是其工作示意圖,起重臂AC可伸縮(15m≤AC≤26m),且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),張角為∠CAE(90°≤∠CAE≤150°),轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面BD的高度AE為3m.34例2(1)當(dāng)起重臂AC長(zhǎng)度為20

m,云梯消防車(chē)最高點(diǎn)C距離地面BD的高度為13

m,求張角∠CAE的大小;34例2

(2)已知該小區(qū)層高為2.8

m,若某居民家突發(fā)險(xiǎn)情,請(qǐng)問(wèn):該消防車(chē)有效救援能達(dá)到幾層?請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.732)解:該消防車(chē)有效救援能達(dá)到10層.理由:當(dāng)∠CAE=150°,AC=26

m時(shí),能達(dá)到最高高度.∵∠EAM=90°,∴∠CAM=∠CAE-∠EAM=60°.在Rt△CAM中,CM=AC·sin60°=26×=13(m),∴CF=CM+MF=13+3≈13×1.732+3≈25.52(m).∴25.52÷2.8≈9.1,9+1=10(層).∴該消防車(chē)有效救援能達(dá)到10層.34例2（2016~2023）真題試做3命題點(diǎn)1

解直角三角形解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用命題點(diǎn)2

B命題點(diǎn)1解直角三角形21-113

B變式考法21-113

21-11321-113

B補(bǔ)充考法幾何直觀21-1134.(2023貴州22,10分)貴州旅游資源豐富.某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn),擬在如圖1景區(qū)內(nèi)修建觀光索道.設(shè)計(jì)示意圖如圖2所示,以山腳A為起點(diǎn),沿途修建AB,CD兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道,最終到達(dá)山頂D處,中途設(shè)計(jì)了一段與AF平行的觀光平臺(tái)BC為50

m.索道AB與AF的夾角為15°,CD與水平線(xiàn)夾角為45°,A,B兩處的水平距離AE為576

m,BE⊥AF,DF⊥AF,垂足分別為E,F.(圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi),點(diǎn)A,E,F在同一水平線(xiàn)上)(1)求索道AB的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1

m);

解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用命題點(diǎn)26547(2)求水平距離AF的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1

m).(參考數(shù)據(jù):sin

15°≈0.25,cos

15°≈0.96,tan

15°≈0.26,≈1.41)6547

5.(2021貴陽(yáng)21,10分)隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步,無(wú)人機(jī)被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中.小星利用無(wú)人機(jī)來(lái)測(cè)量廣場(chǎng)B,C兩點(diǎn)之間的距離,如圖所示,小星站在廣場(chǎng)的B處遙控?zé)o人機(jī),無(wú)人機(jī)在A處距離地面的飛行高度是41.6

m,此時(shí)從無(wú)人機(jī)測(cè)得廣場(chǎng)C處的俯角為63°,他抬頭仰視無(wú)人機(jī)時(shí),仰角為α.若小星的身高BE=1.6

m,EA=50

m(點(diǎn)A,E,B,C在同一平面內(nèi)).6547數(shù)學(xué)建模(1)求仰角α的正弦值;6547

(2)求B,C兩點(diǎn)之間的距離.(結(jié)果精確到1

m)(sin

63°≈0.89,cos

63°≈0.45,tan

63°≈1.96,sin

27°≈0.45,cos

27°≈0.89,tan

27°≈0.51)

65476.(2022貴陽(yáng)22,10分）交通安全心系千萬(wàn)家,高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測(cè)速儀,如圖所示的是該段隧道的截面示意圖.測(cè)速儀C和測(cè)速儀E到路面之間的距離CD=EF=7

m,測(cè)速儀C和E之間的距離CE=750

m,一輛小汽車(chē)在水平的公路上由西向東勻速行駛,在測(cè)速儀C處測(cè)得小汽車(chē)在隧道入口A點(diǎn)的俯角為25°,在測(cè)速儀E處測(cè)得小汽車(chē)在B點(diǎn)的俯角為60°,小汽車(chē)在隧道中從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B所用的時(shí)間為38

s(圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)).6547(1)求A,B兩點(diǎn)之間的距離;(結(jié)果精確到1

m)

6547

解:小汽車(chē)從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B沒(méi)有超速.理由:由題意,得760÷38=20(m/s),∵20m/s<22m/s,∴小汽車(chē)從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B沒(méi)有超速.65477.(2022遵義)如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈,它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成.如圖2,AB是燈桿,CD是燈管支架,燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC=60°.綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架CD的長(zhǎng)度,他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)E處測(cè)得燈管支架底部D的仰角為60°,在點(diǎn)F處測(cè)得燈管支架頂部C的仰角為30°,測(cè)得AE=3

m,EF=8

m(A,E,F在同一條直線(xiàn)上).根據(jù)以上數(shù)據(jù),解答下列問(wèn)題:(1)求燈管支架底部距地面高度AD的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào));

補(bǔ)充考法6547

6547

綜合提升訓(xùn)練基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

C7654321

C7654321

B7654321

C7654321

B76543216.(2023濟(jì)寧)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量一建筑物的高度,如圖,他們

在建筑物前的平地上選擇一點(diǎn)A,在點(diǎn)A和建筑物之間選擇一點(diǎn)

B,測(cè)得AB=30m,用高1m(AC=1m)的測(cè)角儀在A處測(cè)得建筑物

頂部E的仰角為30°,在B處測(cè)得仰角為60°,則該建筑物的高

是

.

76543217.(2023青海)為了方便觀測(cè)動(dòng)物的活動(dòng)情況,某濕地公園要鋪設(shè)一段道路.

計(jì)劃從圖中A,C兩處分別向B處鋪設(shè),現(xiàn)測(cè)得AB=1000m,∠BAC=30°,

∠ABC=136°,求B,C兩點(diǎn)間的距離.(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin14°≈

0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25)

7654321

挑戰(zhàn)高分練C11109812

C1110981210.(2023武漢)如圖,將45°的∠AOB按圖中所示的方式放置在一把刻度

尺上,頂點(diǎn)O與刻度尺下沿的端點(diǎn)重合,OA與刻度尺下沿重合,OB與刻

度尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm,若按相同的方式將37°的

∠AOC放置在該刻度尺上,則OC與刻度尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)

是

cm(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60,cos37°≈

0.80,tan37°≈0.75)

2.71110981211.(2023眉山)一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向,

漁船向正東方向航行12海里到達(dá)B處,測(cè)得燈塔C在它的北偏東

45°方向,若漁船繼續(xù)向正東方向航行,則漁船與燈塔C的最短距

離是