2023-2024學(xué)年雅禮中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷附答案解析

-2024學(xué)年雅禮中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷試卷共120分，考試用時120分鐘一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．已知，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)滿足，則等于（

）A．1 B． C．2 D．43．“”是“方程表示雙曲線”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)，則A．0 B．1 C．2 D．45．已知是等差數(shù)列的前項和，且滿足，則（

）A．65 B．55 C．45 D．356．有5名志愿者去定點幫扶3位困難老人，若要求每名志愿者都要幫扶且只幫扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者幫扶，則不同的安排方法共有（

）A．180種 B．150種 C．90種 D．60種7．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）①有兩個極值點

②的圖象關(guān)于原點對稱③有三個零點

④在上單調(diào)遞減A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②③8．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為C上一點，滿足，以C的短軸為直徑作圓O，截直線的弦長為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9．設(shè)，為不重合的兩條直線，，為不重合的兩個平面，下列命題正確的是（

）A．若且，則； B．若且，則；C．若且，則； D．若且，則.10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．將函數(shù)的圖象右移個單位后，得到一個奇函數(shù)C．是函數(shù)的一條對稱軸D．是函數(shù)的一個對稱中心11．定義域為的函數(shù)，對任意，且不恒為0，則下列說法正確的是（

）A．B．為偶函數(shù)C．若，則關(guān)于中心對稱D．若，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知平面向量，若與共線，則實數(shù)．13．的展開式中的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）14．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)，，分別為內(nèi)角，，的對邊，已知，，的面積為，求的周長．16．如圖，已知多面體的底面是邊長為2的正方形，底面，，且．(1)證明：平面；(2)求四棱錐的體積；(3)求平面與平面所成角的余弦值．17．2024年兩會期間民生問題一直是百姓最關(guān)心的熱點，某調(diào)查組利用網(wǎng)站從參與調(diào)查者中隨機選出200人，數(shù)據(jù)顯示關(guān)注此問題的約占，并將這200人按年齡分組，第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求a，并估計參與調(diào)查者的平均年齡；(2)把年齡在第1，2，3組的居民稱為青少年組，年齡在第4，5組的居民稱為中老年組，若選出的200人中不關(guān)注民生問題的中老年人有10人，得到如下2×2列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充完整填入答題卡，并回答：依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否關(guān)注民生與年齡有關(guān)？關(guān)注民生問題不關(guān)注民生問題合計青少年中老年10合計200(3)將此樣本頻率視為總體的概率，從網(wǎng)站隨機抽取4名青少年，記錄4人中“不關(guān)注民生問題”的人數(shù)為，求隨機變量時的概率和隨機變量的數(shù)學(xué)期望．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82818．已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，且當時，(1)①作出函數(shù)在上的圖象；②若方程恰有6個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍；(2)對于兩個定義域相同的函數(shù)和，若，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)和”生成的．已知是由“基函數(shù)和”生成的，若，使得成立，求實數(shù)的最小值．19．為倡導(dǎo)公益環(huán)保理念，培養(yǎng)學(xué)生社會實踐能力，某中學(xué)開展了舊物義賣活動，所得善款將用于捐贈“圓夢困境學(xué)生”計劃.活動共計50多個班級參與，1000余件物品待出售.攝影社從中選取了20件物品，用于拍照宣傳，這些物品中，最引人注目的當屬優(yōu)秀畢業(yè)生們的筆記本，已知高三1，2，3班分別有，，的同學(xué)有購買意向.假設(shè)三個班的人數(shù)比例為.(1)現(xiàn)從三個班中隨機抽取一位同學(xué)：（i）求該同學(xué)有購買意向的概率；（ii）如果該同學(xué)有購買意向，求此人來自2班的概率；(2)對于優(yōu)秀畢業(yè)生的筆記本，設(shè)計了一種有趣的“擲骰子叫價確定購買資格”的競買方式：統(tǒng)一以0元為初始叫價，通過擲骰子確定新叫價，若點數(shù)大于2，則在已叫價格基礎(chǔ)上增加1元更新叫價，若點數(shù)小于3，則在已叫價格基礎(chǔ)上增加2元更新叫價；重復(fù)上述過程，能叫到10元，即獲得以10元為價格的購買資格，未出現(xiàn)叫價為10元的情況則失去購買資格，并結(jié)束叫價.若甲同學(xué)已搶先選中了其中一本筆記本，試估計其獲得該筆記本購買資格的概率（精確到0.01）.1．D【分析】先求集合的補集，再結(jié)合交集運算可得答案.【詳解】因，則，故．故選：D．2．B【分析】先求得復(fù)數(shù)z再去求其模即得.【詳解】由，可得，則.故選：B3．A【分析】若方程表示雙曲線，則有，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.【詳解】因為方程表示雙曲線等價于，所以“”，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.【點睛】本題考查充分條件與必要條件以及雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．B【詳解】函數(shù)，有，.故選B.5．D【分析】由等差數(shù)列的基本量法及前項和定義求得公差，然后計算出，再由等差數(shù)列的性質(zhì)求得.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，．故選：D6．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合排列組合的知識，先分組再分配，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，先將5名志愿者分成3組，只有一種情況，即種分組方法，再將3組志愿者分配給3為位老人，則共有種安排方法.故選：C7．C【分析】求得，利用導(dǎo)數(shù)可知的單調(diào)性和極值，即可判斷①④，根據(jù)極值的符號性判斷零點的個數(shù)，即可判斷③；取特指判斷奇偶性，即可判斷②.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當或時，，當時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故④正確；因此的極大值為，極小值為，故①正確；而，且當趨近于時，趨近于，當趨近于，趨近于，因此函數(shù)有三個零點，③正確；又因為，則函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點不對稱，②錯誤.故選：C8．A【分析】根據(jù)圓的弦長公式可得，進而根據(jù)平行關(guān)系可得，利用橢圓定義以及勾股定理即可求解.【詳解】過作，由于圓O截直線的弦長為，所以，由于，所以,結(jié)合是的中點，所以，故，，化簡得，所以，故選：A9．BD【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系和面面的位置關(guān)系可以得出答案.【詳解】解：A：若且，則，可能相交、平行或異面，故A錯誤；B：若且，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線互相平行，故B正確；C：若且，根據(jù)面面的位置關(guān)系定義可得與可能平行也可能相交，故C錯誤；D：若且，根據(jù)面面平行的判定可知垂直于同一直線的兩平面互相平行，故D正確.故選：BD10．AD【分析】根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，確定出函數(shù)的周期，得到A項正確，根據(jù)平移變換的原則，求得移動之后的函數(shù)解析式，確定其不是奇函數(shù)，得到B項錯誤；求得點對應(yīng)的函數(shù)值，確定其為對稱中心的坐標，能夠判斷C項和D項的正誤.【詳解】，∴，A正確；將的圖象右移個單位后，得函數(shù)的圖像，不滿足，所以不是奇函數(shù)，B錯誤；因為，所以不是函數(shù)的對稱軸，而是函數(shù)對稱中心的橫坐標，C錯誤，D正確.故選：AD.11．BC【分析】根據(jù)給定的等式，利用賦值法，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義、對稱中心及周期性定義逐項判斷得解.【詳解】對于A，令，有，而不恒為0，則，A錯誤；對于B，由A知，令，有，即，則函數(shù)為偶函數(shù)，B正確；對于C，若，令，有，則關(guān)于中心對稱，C正確；對于D，顯然關(guān)于中心對稱，又為偶函數(shù)，則，即，因此，是周期為4的周期函數(shù)，顯然，，即，所以，D錯誤.故選：BC12．2【分析】利用向量共線的坐標表示可得答案.【詳解】，若與共線，則，解得.故答案為：.13．7【分析】由二項式展開式的通項公式可得，令和，據(jù)此即可確定的系數(shù).【詳解】的展開式中的系數(shù)為，由二項式展開式的通項公式可得，令和，則的系數(shù)為.故答案為：7．14．（【分析】求出轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求在區(qū)間上的最小值可得答案.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則，所以在上遞增，又，所以．所以的取值范圍是．故答案為：．【點睛】思路點睛：求出分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求得參數(shù)的取值范圍.15．(1)；(2)．【分析】（1）輔助角公式化簡函數(shù)解析式，整體代入法求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，得，由的面積為，得，，余弦定理求出，可求的周長．【詳解】（1），令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（2）由得．，，，又，則，由余弦定理得，，的周長為．16．(1)證明見解析；(2)2；(3)．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得答案；（2）由題意易知四邊形為直角梯形，計算可得答案；（3）以為原點，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面、平面的一個法向量，再由向量的夾角公式計算可得答案.【詳解】（1）底面，底面，．又平面，平面；（2）由題意易知四邊形為直角梯形，．；（3）如圖，以為原點，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，則易知平面，平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，，令，得，所以，，由圖可得平面與平面所成角為銳角，故平面與平面所成角的余弦值為．17．(1)0.035；41.5歲(2)表格見解析；有關(guān)(3)；1【分析】（1）利用頻率直方圖面積和為1，即可得到，根據(jù)頻率直方圖計算平均數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖得到青少年組、中老年組人數(shù)，從而得到列聯(lián)表，再零假設(shè)計算出，根據(jù)獨立性檢驗可得答案；（3）將頻率視為概率，計算出青少年“不關(guān)注民生問題”的概率，根據(jù)每次抽取的結(jié)果是相互獨立的得，可得答案【詳解】（1），，，估計參與調(diào)查者的平均年齡為：41.5歲；（2）選出的200人中，各組的人數(shù)分別為：第1組：人，第2組：人，第3組：人，第4組：人，第5組：人，青少年組有人，中老年組有人，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占有人不關(guān)心民生問題，選出的200人中不關(guān)注民生問題的青少年有30人，列聯(lián)表如下；關(guān)注民生問題不關(guān)注民生問題合計青少年9030120中老年701080合計16040200零假設(shè)：假設(shè)關(guān)注民生問題與性別相互獨立，，根據(jù)獨立性檢驗，可以認為零假設(shè)不成立，即能依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為是否關(guān)注民生與年齡有關(guān)；（3）由題意，青少年“不關(guān)注民生問題”的頻率為，將頻率視為概率，每個青少年“不關(guān)注民生問題”的概率為，因為每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，所以，所以，所以，．18．(1)①答案見解析；②；(2)．【分析】（1）①先利用描點法作出區(qū)間上的函數(shù)圖象，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可得上的圖象，②利用圖象和實數(shù)根的個數(shù)可得實數(shù)的取值范圍；（2）先根據(jù)復(fù)合函數(shù)求出的最小值，利用可得答案.【詳解】（1）①當時，．列表：01234567891012432101234描點連線，圖象如圖，因為為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱，所以在上的圖象如圖所示；②恰有6個不相等的實根，等價于與有6個交點，由圖象可知當時，有6個交點，所以實數(shù)的取值范圍為；（2）由題意，，因為在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，因為在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，由（1）可知在上的最小值為0，因為，使得成立，所以，所以，解得，所以實數(shù)的最小值為．19．(1)（i）；（ii）(2)0.75.【分析】（1）設(shè)事件“該同學(xué)有購買意向”，事件“該同學(xué)來自班”.根據(jù)全概率公式即可求解，根據(jù)條件概率公式即可求解；（2）由題意可得每次叫價增加1元的概率為，每次叫價增加2元的概率為.設(shè)叫價為元的概率為，叫價出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：①叫價為元，且骰子點數(shù)大于2，其概率為；②叫價為元，且骰子點數(shù)小于3，其概率為.于是得到，構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合累加法可求解.【詳解】（1）（i）設(shè)事件“該同學(xué)有購買意向”，事件“該同學(xué)來自班”.由題意可知，，所以，由全概率公式可得：.