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黑龍江省哈爾濱市朝鮮族族中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最大值為6,則實(shí)數(shù)m=A.3
B.4 C.5 D.6參考答案:B由題得不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示:由目標(biāo)函數(shù)得,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線的縱截距最大,z最大.聯(lián)立方程所以2+2-m=0,所以m=4.故選B.
2.已知偶函數(shù)f(x)在[0,2]上遞減,試比a=f(1),b=f(log),c=f(log2)大小() A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b C.b>a>c D.c>a>b參考答案:D【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合. 【分析】由對(duì)數(shù)的定義,可得b=f(2),c=f(﹣)=f().再結(jié)合函數(shù)函數(shù)f(x)在[0,2]上遞減,即可得到a、b、c的大小關(guān)系. 【解答】解:∵, ∴ ∵f(x)在[0,2]上遞減, ∴f()>f(1)>f(2) 又∵f(x)是偶函數(shù),f()=f(﹣)= ∴>f(1)>,即c>a>b 故選D 【點(diǎn)評(píng)】本題給出偶函數(shù)在[0,2]上遞減,要求我們比較三個(gè)函數(shù)值的大小,考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題. 3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù),又在區(qū)間上是增函數(shù)的為(
)
A.
B.
C.
D.
參考答案:B略4.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)(
)A.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案:C5.若復(fù)數(shù)(a∈R)為純虛數(shù),其中i為虛數(shù)單位,則a=()A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3參考答案:B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),又根據(jù)復(fù)數(shù)(a∈R)為純虛數(shù),列出方程組,求解即可得答案.【解答】解:==,∵復(fù)數(shù)(a∈R)為純虛數(shù),∴,解得:a=﹣2.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.6.設(shè)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若f(3)=1,且3f(x)+xf′(x)>ln(x+1),則不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集為() A.(2014,+∞) B.(0,2014) C.(0,2020) D.(2020,+∞)參考答案:D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;函數(shù)恒成立問(wèn)題;導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算. 【分析】利用函數(shù)的可導(dǎo)性,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x3f(x),利用函數(shù)的單調(diào)性以及不等式,轉(zhuǎn)化求解不等式的解集即可. 【解答】解:定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),3f(x)+xf′(x)>ln(x+1),所以3x2f(x)+x3f′(x)>x2ln(x+1)>0(x>0),可得[x3f(x)]′>0, 所以函數(shù)g(x)=x3f(x)在(0,+∞)是增函數(shù), 因?yàn)椋▁﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0,且f(3)=1, 所以(x﹣2017)3f(x﹣2017)>33f(3),即g(x﹣2017)>g(3), 所以x﹣2017>3,解得x>2020. 則不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集為:(2020,+∞). 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),不等式的解集,不等式恒成立問(wèn)題存在性問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力. 7.已知全集,集合,,則等于---------------------(★)A.,
B.,
C.,
D.,參考答案:B8.已知,則展開(kāi)式中的系數(shù)為(
)A.24
B.32
C.
44
D.56參考答案:A9.若,則的值為(
)A.
B.-
C.
D.參考答案:C略10.下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是(
)A.若平面平面,平面平面,平面平面,則
B.若平面平面,平面平面,則
C.若直線,平面平面,則
D.若直線平面,平面平面平面,則參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影為_(kāi)________________.參考答案:略12.已知,在區(qū)間上任取一點(diǎn),使得的概率為
.參考答案:略13.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸入,,則輸出的數(shù)S=_______.參考答案:略14.下列四個(gè)命題中,真命題的序號(hào)有
(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).①將函數(shù)y=的圖象按向量y=(-1,0)平移,得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=②圓x2+y2+4x-2y+1=0與直線y=相交,所得弦長(zhǎng)為2③若sin(+)=,sin(-)=,則tancot=5④如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,P為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),P到平面AA1D1D的距離與到直線CC1的距離相等,則P點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分.(16題圖)參考答案:答案:③④解析:①錯(cuò)誤,得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式應(yīng)為y=|x-2|②錯(cuò)誤,圓心坐標(biāo)為(-2,1),到直線y=的距離為>半徑2,故圓與直線相離,
③正確,sin(+)==sincos+cossinsin(-)=sincos-cossin=兩式相加,得2sincos=,兩式相減,得2cossin=,故將上兩式相除,即得tancot=5④正確,點(diǎn)P到平面AD1的距離就是點(diǎn)P到直線AD的距離,
點(diǎn)P到直線CC1就是點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離,由拋物線的定義可知點(diǎn)P的軌跡是拋物線。15.復(fù)數(shù)的模等于__________;參考答案:略16.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
參考答案:17.設(shè)函數(shù),則_________.參考答案:答案:12三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)命題P:|2x﹣3|≤1;命題q:lg2x﹣(2t+1)lgx+t(t+1)≤0.(1)若命題q所表示不等式的解集為A={x|10≤x≤100},求實(shí)數(shù)t的值;(2)若¬p是¬q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】2L:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】(1)由題意可知:lg2x﹣(2t+1)lgx+t(t+1)≤0.解得t≤lgx≤t+1,又因?yàn)榻饧癁锳={x|10≤x≤100},即可求出t.(2)命題P:|2x﹣3|≤1,化為:﹣1≤2x﹣3≤1,解得1≤x≤2.設(shè)命題p表示的集合為M=[1,2],設(shè)命題q表示的集合為N=[10t,10t+1],由已知,¬p是¬q的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件,可知M?N,據(jù)此列出不等式,即可求出結(jié)果.【解答】解:(1)由題意可知:lg2x﹣(2t+1)lgx+t(t+1)≤0.解得t≤lgx≤t+1,又因?yàn)榻饧癁锳={x|10≤x≤100},∴t=1.(2)命題P:|2x﹣3|≤1,化為:﹣1≤2x﹣3≤1,解得1≤x≤2.設(shè)命題p表示的集合為M=[1,2],設(shè)命題q表示的集合為N=[10t,10t+1],由已知,¬p是¬q的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件,可知M?N,∴,解得lg2﹣1≤t≤0.19.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,直線y=x+與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C相較于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案:【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】(Ⅰ)由已知列關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組得到a,b的值,則橢圓方程可求;(Ⅱ)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,設(shè)出兩交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積,由以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)得到=0,代入向量坐標(biāo)后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得到k與m的關(guān)系,進(jìn)一步由直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解答】(Ⅰ)解:由題意,,解得.∴橢圓C的方程為;(Ⅱ)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),知橢圓C的右頂點(diǎn)為M(2,0),由,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣3)=0,且△=3+4k2﹣m2,,.而AM⊥BM,即,∴(x1﹣2,y1)?(x2﹣2,y2)=0,得,∴(1+k2)?﹣(mk﹣2)?+m2+4=0,整理得7m2+16mk+4k2=0,即(m+2k)(7m+2k)=0,當(dāng)m=﹣2k時(shí),l:y=k(x﹣2)過(guò)定點(diǎn)(2,0)為右頂點(diǎn),與已知矛盾;當(dāng)m=﹣k時(shí),l:y=k(x﹣)過(guò)定點(diǎn)(,0),此時(shí)△=3+4k2﹣m2>0;綜上知,直線l過(guò)定點(diǎn)(,0).20.已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求的最小值;(2)設(shè)不等式的解集為P,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:.解:(1)令,解得;令,解得………3分
從而在內(nèi)單調(diào)遞減,內(nèi)單調(diào)遞增.所以,當(dāng)時(shí)取得最小值1.
………5分(1)
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁镻,且,所以,對(duì)任意的,不等式恒成立,
………6分由得.當(dāng)時(shí),上述不等式顯然成立,故只需考慮的情況.
………7分將變形得
………8分令,令,解得;令,解得
………10分從而在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.所以,當(dāng)時(shí),取得最小值,從而所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.………12分略21.已知橢圓C:=1(a>b>0),離心率為,兩焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)F1的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),且△F2MN的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)P(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|的最大值.參考答案:解:(1)由題得:,4a=8,所以a=2,.又b2=a2﹣c2,所以b=1即橢圓C的方程為.(2)由題意知,|m|≥1.當(dāng)m=1時(shí),切線l的方程x=1,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為,此時(shí);當(dāng)m=﹣1時(shí),同理可得當(dāng)|m|>1時(shí),設(shè)切線l的方程為y=k(x﹣m),(k≠0)由設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則△=64k4m2﹣16(1+4k2)(4k2m2﹣4)=48k2>0又由l與圓.得所以==因?yàn)閨m|≥1所以,且當(dāng)時(shí),|AB|=2,由于當(dāng)m=±1時(shí),,所以|AB|的最大值為2.略22.(本小題滿分13分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,且PA=AD=2,E、F分別為棱AD、PC的中點(diǎn).(Ⅰ)求異面直線EF和PB所成角的大??;(Ⅱ)求證:平面PCE⊥平面PBC;(Ⅲ)求二面角E-PC-D的大小.參考答案:以直線AB為x軸,直線AD為z軸建立間直角坐標(biāo)系,如圖,則
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
(Ⅰ)∵E為AD中點(diǎn),∴E(0,1
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