湖南省長沙市楊梓中學高三數學文摸底試卷含解析

湖南省長沙市楊梓中學高三數學文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為(

)A． B．2 C． D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】設M在雙曲線﹣=1的左支上，由題意可得M的坐標為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得a=b，再由離心率公式即可得到所求值．【解答】解：設M在雙曲線﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，則M的坐標為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查雙曲線的離心率的求法，運用任意角的三角函數的定義求得M的坐標是解題的關鍵．2.已知a，b∈R，i是虛數單位，若a﹣i與2+bi互為共軛復數，則（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i參考答案：D【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】由條件利用共軛復數的定義求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i與2+bi互為共軛復數，則a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故選：D．3.（5分）（2015?池州二模）已知變量x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為（）A．﹣3B．0C．1D．3參考答案：C考點：簡單線性規(guī)劃．專題：計算題；不等式的解法及應用．分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內部，再將目標函數z=x﹣2y對應的直線進行平移，可得當x=1，y=0時，z取得最大值1．解答：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）設z=F（x，y）=x﹣2y，將直線l：z=x﹣2y進行平移，當l經過點C時，目標函數z達到最大值∴z最大值=F（1，0）=1故選：C點評：本題給出二元一次不等式組，求目標函數z=x﹣2y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎題．4.給出下列命題：①函數的定義域是（-3,1）;②在區(qū)間(0,1)中隨機地取出兩個數，則兩數之和小于1的概率是；；③如果數據x1、x2、…、xn的平均值為，方差為S2，則3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的方差為9S2；④直線ax－y＋2a＝0與圓x2＋y2＝9相交；其中真命題個數是

()A．1 B．2

C．3

D．4參考答案：C5.設集合,，則等于（）A．B．C．D．參考答案：B，，所以，答案選B.6.若函數的圖象關于直線對稱，則的最小正值為(

)A．3

B．4

C.5

D．6參考答案：C7.已知橢圓的離心率為,雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓的方程為 A． B． C． D．參考答案：D略8.在復平面內表示復數的點位于（

）第一象限

第二象限第三象限

第四象限

參考答案：A9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.64

B.32

C.96

D.48參考答案：A10.已知定義在上的可導函數的導函數為，滿足，且為偶函數，，則不等式的解集為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，，則與的夾角為

參考答案：略12.若是正實數，則的最小值是 參考答案：13.在△ABC中，AC邊上的高為BD，垂足為D，且｜｜＝，則·

＝___________．參考答案：-3略14.已知向量且

則的最小值為

參考答案：6;15.如圖，AB，CD是半徑為的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P，PD=，∠OAP=30°，則CP＝_______________。參考答案：略16.已知函數f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍為________．參考答案：17.定義：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為4，焦點三角形的周長為4+12，則橢圓C的方程是．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由題意可知c=2，根據焦點三角形的定義及橢圓的定義，求得a的值，則b2=a2﹣c2=36﹣20=16，即可求得橢圓方程．【解答】解：由題意可知：焦點F1，F(xiàn)2，則丨F1F2丨=2c=4，c=2，由橢圓的定義可知：丨AF1丨+丨AF2丨=2a，焦點三角形AF1F2周長L=丨AF1丨+丨AF2丨+丨F1F2丨=2a+2c，則a=6，b2=a2﹣c2=36﹣20=16，∴橢圓的標準方程為：，故答案為：，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4﹣5：不等式選講已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范圍．參考答案：【考點】函數恒成立問題；絕對值不等式的解法．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根據不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣2≤x≤1}，分類討論，即可得到結論．（Ⅱ）記，從而h（x）=，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣2≤x≤1}．∴當a≤0時，不合題意；當a＞0時，，∴a=2；（Ⅱ）記，∴h（x）=∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．【點評】本題考查絕對值不等式的解法，考查恒成立問題，將絕對值符號化去是關鍵，屬于中檔題．19.（14分）設橢圓的對稱中心為坐標原點,其中一個頂點為,右焦點與點的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在經過點的直線,使直線與橢圓相交于不同的兩點滿足？若存在,求出直線的方程；若不存在,請說明理由.參考答案：解:(1)依題意,設橢圓方程為,則其右焦點坐標為,由,得,即,故.又∵,∴,從而可得橢圓方程為.-----------6分(2)由題意可設直線的方程為,由知點在線段的垂直平分線上,由消去得,即可得方程（*）當方程（*）的即時方程（*）有兩個不相等的實數根.設,,線段的中點,則是方程（*）的兩個不等的實根,故有.從而有

,.于是,可得線段的中點的坐標為又由于,因此直線的斜率為,由,得，即，解得，∴，∴綜上可知存在直線：滿足題意.--------------14分20.（本小題滿分12分）甲、乙、丙三名優(yōu)秀的大學畢業(yè)生參加一所重點中學的招聘面試，面試合格者可以簽約。甲表示只要面試合格就簽約，乙與丙則約定，兩個面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約。設每個人面試合格的概率都是P，且面試是否合格互不影響。已知至少有1人面試合格概率為。

(1)求P。

(2)求簽約人數的分布列和數學期望值。參考答案：解：（1）至少1人面試合格概率為（包括1人合格2人合格和3人都合格），這樣都不合格的概率為1-=。（1-P）3=

P=（2）簽約人數取值為0、1、2、3簽約人數為0的概率：都不合格（1-）3=，甲不合格，乙丙至少一人不合格*（1-*）-（1-）3（甲乙丙都不合格）=簽約人數為0的概率：+=簽約人數為1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：*（1-*）=簽約人數為2的概率:甲不合格，乙丙全部合格：**（1-）=簽約人數為3的概率:甲乙丙均合格：（）3=分布表：簽約人數0123概率數學期望：E＝121.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求證：AC⊥BB1；（Ⅱ）若AB＝AC＝A1B＝2，在棱B1C1上確定一點P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值為．參考答案：（Ⅰ）在三棱柱中，因為，平面，所以平面平面，………………（2分）因為平面平面，，所以平面，所以.…………………（4分）設平面的一個法向量為，因為，，即所以令得，…………………（10分）而平面的一個法向量是，則，解得，即P為棱的中點，其坐標為.……………………（12分）22.（本