甘肅省武威市涼州區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023-2024學(xué)年度高二數(shù)學(xué)開學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、單選題（共40分）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】計算，確定虛部得到答案.【詳解】，故虛部為.故選：C2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)差角余弦公式即可求值.【詳解】.故選：B.3.已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運算律展開目標(biāo)式，根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.【詳解】由題設(shè)，.故選：B.4.的內(nèi)角的對邊分別為.已知，則（）A.6 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦定理直接列式計算求解.【詳解】在中，由余弦定理得：代入得：，整理得：，解得或（負(fù)值舍去）.故選：A5.《張丘建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭；令上方六尺；問斬高幾何?”其意思為：已知方錐（即正四棱錐）下底邊長為20尺，高為30尺，現(xiàn)欲從方錐上面截去一段，使之成為方亭（即正四棱臺），且使方亭上底邊長為8尺（如圖所示），則截去小方錐的高為（）.A.24尺 B.18尺 C.6尺 D.12尺【答案】D【解析】【分析】利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征即求.【詳解】設(shè)截去小方錐的高為，則，解得（尺）.故選：D.6.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，密碼被成功破譯的概率為，已知甲單獨破譯密碼的概率為，則乙單獨破譯密碼的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】密碼被譯出的對立事件是兩個人同時不能譯出密碼，由此求出密碼被譯出的概率【詳解】依題意，設(shè)乙單獨破譯密碼的概率為，因為密碼被譯出的對立事件是兩個人同時不能譯出密碼，所以，則.故選：A7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求，再代入二倍角的正切公式，即可求解.【詳解】因為，所以，.故選：A8.同時拋擲兩個質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有的正四面體一次.記事件{第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)}，{第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)，{兩個四面體向下的一面或者同時出現(xiàn)奇數(shù)或者同時出現(xiàn)偶數(shù)}，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概率公式，互斥事件的概率公式以及相互獨立事件的概率乘法公式，逐一判斷即可求解.【詳解】依題意，，，故選項A，B不正確；因為，為相互獨立事件，所以，故選項C正確；又因為事件、、不可能同時發(fā)生，所以，故選項D不正確；故選：C.二、多選題（共20分）9.若，，是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平面向量定義、數(shù)量積定義、共線向量定義進行判斷．【詳解】對應(yīng)，若，則向量長度相等，方向相同，故，故正確；對于，當(dāng)且時，，但，可以不相等，故錯誤；對應(yīng)，若，，則方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正確；對應(yīng)，若，則，，，故正確．故選：【點睛】本題考查平面向量的有關(guān)定義，性質(zhì)，數(shù)量積與向量間的關(guān)系，屬于中檔題．10.在中，角的對邊分別為，則（）A.若，則為直角三角形B.若符合條件有一個，則C.若，則D.若，則為等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】對于A：根據(jù)平面向量的模長以及數(shù)量積的運算律分析運算；對于B：利用正弦定理分析運算；對于C：利用正弦定理可判斷；對于D：利用兩角和差的正弦公式求解.【詳解】對于A：因，即，則，整理得，所以，即為直角三角形，故A正確；對于B：若，則，若符合條件的有一個，則或，故B錯誤；對于C：若，則由正弦定理可得，故C正確；對于D：若，即,展開整理得，∵，∴或，∴為直角三角形或等腰三角形，故D錯誤.故選：AC.11.已知向量和滿足，，，下列說法中正確的有（）A. B.C.與的夾角為 D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量運算和向量夾角公式，向量模依次判斷每個選項得到答案.【詳解】，將，的代入，可得故，故正確；，故錯誤；設(shè)與的夾角為，則，故，又，故，錯誤；，故，正確.故選：.12.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面ABC，，且.若鱉臑外接球的體積為，則當(dāng)該鱉臑的體積最大時，下列說法正確的是（）A. B.C.該鱉臑體積的最大值為 D.該鱉臑的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)鱉臑的幾何特征，分別根據(jù)外接球半徑求出邊長判斷A,B選項，根據(jù)體積及表面積公式計算判斷C,D選項即可.【詳解】在鱉臑中，四個面都為直角三角形，可知PC的中點O到四個頂點的距離都相等，所以點O是鱉臑外接球的球心，由外接球的體積為，得外接球半徑，所以.設(shè)，，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值,A,B選項正確，C錯誤；此時，所以鱉臑的表面積，D選項正確.故選:ABD.三、填空題（共20分）13.長方體中，棱，，則與所成角的余弦值是______．【答案】【解析】【分析】由長方體性質(zhì)及異面直線所成角的定義找到其平面角，進而求其余弦值.【詳解】由長方體的性質(zhì)知：，故與所成角即為，而，，故.故答案為：14.已知向量，，若，則m的值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示列式可求出結(jié)果.【詳解】因為向量，，且，所以，得.故答案為：.15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，，則_________.【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理邊角關(guān)系得，根據(jù)余弦定理求，即可得的大小.【詳解】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系可得：，而又，又，所以.故答案為：16.甲、乙兩人單獨解一道題，若甲、乙能解對該題的概率分別是m，n，此題被解對的概率_________【答案】【解析】【分析】法一：由事件的和事件的概率公式及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式計算可得.法二：根據(jù)相互獨立事件及對立事件的概率公式計算可得.【詳解】設(shè)“甲解對此題”，“乙解對此題”，事件相互獨立，“此題被解對”即為事件，法一：.法二：“兩人均未解對此題”，故.故答案為：.四、解答題（共70分）17.已知與的夾角為．（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求，再根據(jù)運算法則展開計算即可；（2）先計算，再平方，進而開方即可.【小問1詳解】因為所以【小問2詳解】因為，所以所以.18.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，AA1＝4，點E為棱AA1的中點．（1）求證：BE⊥平面EB1C1；（2）求點A到平面CEB1的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理分析證明；（2）方法一：根據(jù)平行關(guān)系分析可得：點A到平面CEB1的距離等于點P到平面CEB1的距離，利用等體積法運算求解；方法二：直接使用等體積法求點到面的距離.【小問1詳解】由已知可得B1C1⊥平面ABB1A1．且BE?平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，在△B1BE中，B1B＝4，BE＝B1E，所以B1B2＝BE2＋B1E2，所以BE⊥B1E，又因為B1C1∩B1E＝B1，平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.【小問2詳解】方法一：取CB1的中點F，BC的中點P，連接EF，AP，PF，PB1，PE，可得AE∥PF，且AE＝PF，則四邊形APFE為平行四邊形，可得AP∥EF，又因為AP?平面CEB1，EF?平面CEB1，所以AP∥平面CEB1，所以點A到平面CEB1的距離等于點P到平面CEB1的距離，易知，在△CEB1中，，，，所以，從而△CEB1為直角三角形．設(shè)點P到平面CEB1的距離為dP，所以，即，解得，所以點A到平面CEB1的距離為；方法二：等體積法設(shè)點P到平面CEB1的距離為h，因為，所以三角形是直角三角形，，而，可得，解得，所以點A到平面CEB1的距離為.19.已知中，.（1）求的大小；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等變換可得，進而即得；（2）利用余弦定理即得.【小問1詳解】∵中，，∴，∴，又，∴，又，∴；【小問2詳解】∵，，∴，∴，解得或（舍去）∴.20.甲、乙兩人射擊同一個標(biāo)靶，每人一發(fā)，其中甲命中概率為，乙命中概率為，若甲、乙的射擊相互獨立，求（1）標(biāo)靶被擊中的概率；（2）標(biāo)靶未被擊中的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用獨立事件乘法公式、互斥事件加法求標(biāo)靶被擊中的概率；（2）由（1），利用對立事件概率求法求標(biāo)靶未被擊中的概率．【小問1詳解】設(shè)“甲命中標(biāo)靶”為事件，“乙命中標(biāo)靶”為事件，則，，且事件、相互獨立，記“標(biāo)靶被擊中”為事件，則；【小問2詳解】記“標(biāo)靶未被擊中”為事件，則．21.正方體中，、分別為、的中點，、分別是、的中點．（1）求證：E、F、B、D共面；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見詳解（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)線面、面面平行的判定定理分析證明.【小問1詳解】連接，由題意可得：分別為的中點，則，∵，，則為平行四邊形，∴，則，故E、F、B、D共面.【小問2詳解】由題意可得：分別為的中點，則，∵，則，且平面，平面，∴平面，連接，由題意可得：分別為的中點，則，，∵，，則，，即為平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面.22.為了解我市高三學(xué)生參加體育活動的情況，市直屬某校高三學(xué)生500人參加“體育基本素質(zhì)技能”比賽活動，按某項比賽結(jié)果所在區(qū)間分組：第1組：，第2組：，第3組：，第4組：，第5組：，得到不完整的人數(shù)統(tǒng)計表如下：比賽結(jié)果所在區(qū)間人數(shù)5050a150b其頻率分布直方圖為：（1）求人數(shù)統(tǒng)計表中的a和b的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該項比賽結(jié)果的中位數(shù)；（3）用分層抽樣的方法從第1，2，3組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加上一級比賽活動，求參加上一級比賽活動中至少有1人的比賽結(jié)果在第3組的概率.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出比賽結(jié)果在及內(nèi)的頻率即可得解；(2)利用頻率分布直方圖求中位數(shù)的方法計算即得；(3)求出第1，2，3組中各抽的人數(shù)，再用列舉法即可求出概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，比賽結(jié)果在內(nèi)的頻率為：，則，比賽結(jié)果在內(nèi)的頻率為：，則，所以人數(shù)統(tǒng)計表中a和b的值分別為200，50；（2）由頻率分布直方圖知，比賽結(jié)果在內(nèi)的頻率為0.2，比賽結(jié)果在內(nèi)的頻率為0.6，則中位