2021高考數(shù)學(xué)（理）真題名師評析（全國甲卷帶解析）

2021高考數(shù)學(xué)（理）真題名師點評（全國甲卷帶解析）本資料分試卷使用地區(qū)、試卷總評、考點分布細(xì)目表、試題深度解讀四個模塊,其中試題深度解讀模塊又分為【命題意圖】【答案】【解析】【點評】【知識鏈接】等欄目,其中【解析】中盡可能提供多種解法供參考.本資料部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)試卷使用地區(qū)2021年全國甲卷即原來的全國=3\*ROMANIII卷,使用地區(qū)為四川、云南、貴州、廣西、西藏二、試卷總評2021年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科命題,堅持思想性與科學(xué)性的高度統(tǒng)一,發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實際的學(xué)科特點,命制具有教育意義的試題,以增強考生社會責(zé)任感,引導(dǎo)考生形成正確的人生觀、價值觀、世界觀.如第8題以測量珠穆朗瑪峰高程的方法之一——三角高程測量法為背景設(shè)計,要求考生能正確應(yīng)用線線關(guān)系、線面關(guān)系、點面關(guān)系等幾何知識構(gòu)建計算模型,情境真實,突出理論聯(lián)系實際.《深化新時代教育評價改革總體方案》提出,構(gòu)建引導(dǎo)考生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系,改變相對固化的試題形式,增強試題開放性,減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象.2021年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科命題積極貫徹《總體方案》要求,加大開放題的創(chuàng)新力度,利用開放題考查考生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力,發(fā)揮數(shù)學(xué)科的選拔功能.如第18題給出部分已知條件,要求考生根據(jù)試題要求構(gòu)建一個命題,充分考查考生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的教學(xué)中,重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),克服“機械刷題”現(xiàn)象.該套試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì),重視理性思維,堅持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則；倡導(dǎo)理論聯(lián)系實際、學(xué)以致用,關(guān)注我國社會主義建設(shè)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要成果,通過設(shè)計真實問題情境,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.如第2題以我國在脫貧攻堅工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景,通過圖表給出某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)查結(jié)果,以此設(shè)計問題,考查考生分析問題和數(shù)據(jù)處理的能力.身心健康是素質(zhì)教育的核心內(nèi)容,在高考評價體系的核心價值指標(biāo)體系中,包含有健康情感的指標(biāo),要求考生具有健康意識,注重增強體質(zhì),健全人格,鍛煉意志.本套試卷對此也有所體現(xiàn),如第4題以社會普遍關(guān)注的青少年視力問題為背景,重點考查考生的數(shù)學(xué)理解能力和運算求解能力.總之,2021年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科很好地落實了立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的高考核心功能,同時突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色,試題有坡度,發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)科的選拔功能,對深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.三、考點分布細(xì)目表題號命題點模塊（題目數(shù)）1集合的交集集合（共1題）2頻率分布直方圖概率與統(tǒng)計（共3題）3復(fù)數(shù)的概念與運算復(fù)數(shù)（共1題）4指數(shù)與對數(shù)的應(yīng)用函數(shù)（共3題）5雙曲線的幾何性質(zhì)解析幾何（共3題）6三視圖立體幾何（共3題）7等比數(shù)列、充分條件與必要條件1.數(shù)列（共2題）2.常用邏輯用語（共1題）8解三角形的應(yīng)用三角函數(shù)與解三角形（共3題）9三角變換三角函數(shù)與解三角形（共3題）10古典概型概率與統(tǒng)計（共3題）11球與幾何體的切接立體幾何（共3題）12函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)（共3題）13導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)（共2題）14平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運算平面向量（共1題）15橢圓解析幾何（共3題）16三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)與解三角形（共3題）17獨立性檢驗概率與統(tǒng)計（共3題）18等差數(shù)列數(shù)列（共2題）19線線垂直的證明及二面角的計算立體幾何（共3題）20拋物線及直線與圓的位置關(guān)系解析幾何（共3題）21導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)（共3題）2.導(dǎo)數(shù)（共2題）22極坐標(biāo)與參數(shù)方程選修4-423絕對值函數(shù)的圖象及恒成立問題選項4-5四、試題深度解讀1.設(shè)集合,則（）A. B.C. D.【命題意圖】本題考查集合的交集運算,考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容易.【答案】B【解析】因為,所以,故選B.【點評】集合是高考每年必考知識點,一般以容易題面目呈現(xiàn),位于選擇題的前3題的位置上,考查熱點一是集合的并集、交集、補集運算,二是集合之間的關(guān)系,這種考查方式多年來保持穩(wěn)定.本題所給兩個集合均為不等式的解集,但無需化簡,足見命題者有意降低試題難度,突出對交集概念的考查,該題難度與往年老教材全國卷=3\*ROMANIII的文科集合試題難度相當(dāng).【知識鏈接】1.求解集合的運算問題的三個步驟：(1)看元素構(gòu)成,集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵,即辨清是數(shù)集、點集還是圖形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．；(2)對集合化簡,有些集合是可以化簡的,先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運算,可使問題簡單明了、易于解決；(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補等運算,常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和韋恩圖(Venn).2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是（）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【命題意圖】本題考查頻率分布直方圖及樣本的數(shù)字特征,考查數(shù)據(jù)分析與直觀想象的核心素養(yǎng).難度：容易.【答案】C【解析】因為頻率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元),超過6.5萬元,故C錯誤.綜上,給出結(jié)論中不正確的是C.故選C.【點評】統(tǒng)計圖表是高考考查的熱點,但考查方式不限于課本涉及的統(tǒng)計分布直方圖及莖葉圖,生產(chǎn)與生活中常用的折線圖、柱形圖、扇形圖、雷達(dá)圖在高考中多次考查.【知識鏈接】1.解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距),故每組樣本的頻率為組距×eq\f(頻率,組距),即矩形的面積．(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)．2.用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法(1)眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點橫坐標(biāo)；(2)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)；(3)平均數(shù)等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標(biāo)之積的和.3.已知,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一：因為,所以.故選B.解法二：因為,所以.故選B.解法三：因為,設(shè),由可得,所以,即,所以,故選B.【點評】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識點,一般以容易題面目呈現(xiàn),位于選擇題的前3題的位置上,考查熱點一是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義,如復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義等,二是復(fù)數(shù)的加減乘除運算.【知識鏈接】解復(fù)數(shù)運算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題．先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結(jié)合相關(guān)定義解答．(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題．先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答．4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【命題意圖】本題考查對數(shù)式與指數(shù)式的互化,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：容易.【答案】C【解析】由,當(dāng)時,,則.故選C.【點評】本題以社會普遍關(guān)注的青少年視力問題為背景,重點考查考生的數(shù)學(xué)理解能力和近似求解能力.身心健康是素質(zhì)教育的核心內(nèi)容,在高考評價體系的核心價值指標(biāo)體系中,包含有健康情感的指標(biāo),要求考生具有健康意識,注重增強體質(zhì),健全人格,鍛煉意志.【知識鏈接】若,則.5.已知是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點,且,則C的離心率為（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì),考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】A【解析】因為,由雙曲線的定義可得,所以,；因為,由余弦定理可得,整理可得,所以,即.故選A.【點評】雙曲線是高考必考問題,一般作為客觀題考查,若單獨考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì),一般為基礎(chǔ)題,若與其他知識交匯考查,可能會出現(xiàn)難度較大的客觀題.【知識鏈接】1.在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經(jīng)常結(jié)合|PF1－PF2|＝2a,運用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．2.雙曲線的幾何性質(zhì)中重點是漸近線方程和離心率,在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)中,離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.6.在一個正方體中,過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G．該正方體截去三棱錐后,所得多面體的三視圖中,正視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查三視圖的識別,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】D【解析】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖,如圖所示,所以其側(cè)視圖為,故選D.【點評】有關(guān)三視圖的試題,往年大多與幾何體的體積、表面積交匯考查,今年考查三視圖的識別,不需要計算,難度也有所降低,屬于送分題.【知識鏈接】三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向,注意看到的部分用實線表示,不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖,還原、推測直觀圖的可能形式,然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題,也可將選項逐項代入,再看看給出的部分三視圖是否符合．(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖,明確三視圖的形成原理,結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖．7.等比數(shù)列的公比為q,前n項和為,設(shè)甲：,乙：是遞增數(shù)列,則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【命題意圖】本題考查數(shù)列的單調(diào)性及充分條件與必要條件,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易【答案】B【解析】解法一：是遞增數(shù)列,所以是是遞增數(shù)列必要不充分條件,故選B.解法二：令,則,但不是遞增數(shù)列,所以甲不是乙的充分條件．若,則是擺動數(shù)列,又,所以若是遞增數(shù)列,必有成立,所以甲是乙的必要條件．故選B．【點評】要否定一個結(jié)論,有時可通過構(gòu)造反例來完成.【知識鏈接】1.充分條件、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷,適用于定義、定理判斷性問題．(2)集合法：根據(jù)p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷,多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題．(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,進(jìn)行判斷,適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題．2.從集合的角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為：(1)若A?B,則p是q的充分條件；(2)若A?B,則p是q的必要條件；(3)若A＝B,則p是q的充要條件；(4)若AB,則p是q的充分不必要條件；(5)若A?B,則p是q的必要不充分條件；(6)若AB且A?B,則p是q的既不充分也不必要條件．8.2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖,現(xiàn)有A,B,C三點,且A,B,C在同一水平面上的投影滿足,．由C點測得B點的仰角為,與的差為100；由B點測得A點的仰角為,則A,C兩點到水平面的高度差約為（）（）A.346 B.373 C.446 D.473【命題意圖】本題考查解三角形在實際問題中的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)建模及直觀想象的核心素養(yǎng).難度：中等偏易【答案】B【解析】過作,過作,故,由題,易知為等腰直角三角形,所以．所以．因為,所以,在中,由正弦定理得：,而,所以所以．故選B．【分析】本題以測量珠穆朗瑪峰高程的方法之一——三角高程測量法為背景設(shè)計,要求考生能正確應(yīng)用線線關(guān)系、線面關(guān)系、點面關(guān)系等幾何知識構(gòu)建計算模型,情境真實,突出理論聯(lián)系實際,求解的關(guān)鍵是將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中,借助正弦定理或余弦定理求解.【知識鏈接】求距離、高度問題的注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形,要首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接解；若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理．9.若,則（）A. B. C. D.【命題意圖】本題同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中點偏易【答案】A【解析】由可得,,,,解得,,.故選A.【點評】三角函數(shù)與解三角形是高考中的重點,若解答題中沒有解三角形,則客觀題中一般有3道三角函數(shù)與解三角形試題,這3道題分別考查三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及解三角形.【知識鏈接】1.利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化,開方時要根據(jù)角α所在象限確定符號；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．2.解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個時,此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差、倍的關(guān)系．10.將4個1和2個0隨機排成一行,則2個0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查排列組合與古典概型.考查邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等【答案】C【解析】解法一：先將4個1隨機排成一行,4個1之間與兩端有5個空,利用插空法排0,若2個0相鄰,則有種排法,若2個0不相鄰,則有種排法,所以2個0不相鄰的概率為.故選C.解法二：把4個1和2個0隨機排成一行,排法種數(shù)為,2個0相鄰的排法種數(shù)為,所以2個0不相鄰的概率為,故選C.【命題意圖】概率與統(tǒng)計是高考重點,在高考試卷中既有客觀題又有解答題,由于該模塊涉及知識點比較多,高考命題沒有固定的熱點,一般情況下,統(tǒng)計與概率、隨機變量的分布列都會涉及,客觀題至少會有2道.求解本題的關(guān)鍵是正確計數(shù),注意4個1和2個0分別為相同元素,不要誤用排列計數(shù).【知識鏈接】1.排列應(yīng)用問題的分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題,分析問題時有位置分析法、元素分析法,在實際進(jìn)行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采用間接法．(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.2.古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù),這就需要正確列出基本事件,基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法、排列組合法,具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇．11.已如A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點,且,則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查球的幾何性質(zhì)及棱錐的體積,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等【答案】A【解析】,為等腰直角三角形,,則外接圓的半徑為,又球的半徑為1,設(shè)到平面的距離為,則,所以.故選A.【點評】球與幾何體的切接是高考的熱點與難點,常作為客觀題中的壓軸題,考查熱點是幾何體的外接球,此類問題要求學(xué)生有較強的空間想象能力和準(zhǔn)確的計算能力,才能順利解答.從實際來看,這部分知識是學(xué)生掌握最為模糊,看到就頭疼的題目.分析原因,除了這類題目的入手確實不易之外,主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路,以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.【知識鏈接】1.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體,則可直接利用公式進(jìn)行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進(jìn)行求解．2.求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心及接、切點作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解,其中公式使用頻率非常高,考生一定要重視．12.設(shè)函數(shù)的定義域為R,為奇函數(shù),為偶函數(shù),當(dāng)時,．若,則（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏難【答案】D【解析】解法一：由是奇函數(shù),所以,令得,令,,又是偶函數(shù),所以,令得,所以,所以,再由可得,所以時,,所以．故選D.解法二：由是奇函數(shù),所以,用代換上式中的x可得,由是偶函數(shù),所以,所以,所以,所以,,中令得,所以,所以時,,所以,故選D．【點評】函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點,若單獨考查,一般為基礎(chǔ)題,若與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯考查,常作為客觀題的壓軸題.【知識鏈接】函數(shù)對稱性與函數(shù)周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于直線對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.(2)若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.(3)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.13.曲線在點處的切線方程為__________．【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】【解析】因為,所以,,故切線方程為,即．【點評】用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線,是高考的一個熱點,內(nèi)容主要涉及求曲線切線的斜率與方程、曲線切線的條數(shù)、公切線問題,由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等,高考中既有基礎(chǔ)客觀題,也有壓軸客觀題,時而也會以解答題形式考查.【知識鏈接】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是研究曲線的切線的基石,函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率．也就是說,曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.求以曲線上的點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．求曲線過某點的切線,一般是設(shè)出切點(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(x0,y0),進(jìn)而確定切線方程．14.已知向量．若,則________．【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運算,考查數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】.【解析】解法一：,,解得.解法二：因為所以,,因為,所以,解得.【點評】平面向量是高考數(shù)學(xué)必考知識點,一般以客觀題形式考查,熱點是平面向量的線性運算及平面向量的數(shù)量積,可以是容易題,也可以是中等難度題,中等難度題常用平面幾何、不等式等知識交匯考查.【知識鏈接】平面向量數(shù)量積求解問題的策略=1\*GB3①求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|),要注意θ∈[0,π]．=2\*GB3②兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.=3\*GB3③求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a);|a±b|＝eq\r(a2±2a·b＋b2);若a＝(x,y),則|a|＝eq\r(x2＋y2).15.已知為橢圓C：的兩個焦點,P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,且,則四邊形的面積為________．【命題意圖】本題考查橢圓的定義及幾何性質(zhì),考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易.【答案】【解析】因為為上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,也關(guān)于原點對稱,所以四邊形為平行四邊形,又,所以四邊形為矩形,設(shè),則,所以,,即四邊形面積等于.【點評】注意與橢圓焦點弦長或焦半徑有關(guān)的計算問題及與焦點有關(guān)的距離問題,常利用橢圓的定義求解.本題通過橢圓定義整體代入,直接求mn,避開了復(fù)雜的運算.【知識鏈接】橢圓中幾個常用的結(jié)論：(1)焦點三角形：橢圓上的點P(x0,y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形．r1＝|PF1|,r2＝|PF2|,∠F1PF2＝θ,△PF1F2的面積為S,則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當(dāng)r1＝r2時,即點P的位置為短軸端點時,θ最大；②S＝b2taneq\f(θ,2)＝ceq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0)),當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0))＝b時,即點P的位置為短軸端點時,S取最大值,最大值為bc.(2)焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短,弦長lmin＝eq\f(2b2,a).(3)AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中點M(x0,y0),則①弦長l＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；②直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).16.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示,則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：中等偏難【答案】2【解析】解法一：由圖可知,即,所以；由五點法可得,即；所以.因為,；所以由可得或；因為,又,符合題意,可得的最小正整數(shù)為2.解法二：根據(jù)圖象估值,或者干脆拿出三角板測量一下,由圖象估計y軸左側(cè)第1個零點到原點距離是y軸右側(cè)第1個零點到原點距離的一半,所以y軸左側(cè)第1個零點為,,,y軸右側(cè)第一個對稱軸為,,顯然1不符合條件.結(jié)合估值可知2在y軸右側(cè)第1個零點與第2個零點之間,符合條件.【點評】解法二是非常規(guī)解法,但在求解與某些給出圖象的問題時比較實用,法無定法,得分是硬道理！【知識鏈接】根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ),x∈R的圖象求解析式的步驟：(1)首先確定振幅和周期,從而得到A與ω.(Ⅰ)A為離開平衡位置的最大距離,即最大值與最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值,且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為函數(shù)的半個周期；②函數(shù)圖象與x軸的交點是其對稱中心,相鄰兩個對稱中心間的距離也是函數(shù)的半個周期；③一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心間的距離為函數(shù)的eq\f(1,4)個周期(借助圖象很好理解記憶)．(2)求φ的值時最好選用最值點求．峰點：ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ；谷點：ωx＋φ＝－eq\f(π,2)＋2kπ.也可用零點求,但要區(qū)分該零點是升零點,還是降零點．升零點(圖象上升時與x軸的交點)：ωx＋φ＝2kπ；降零點(圖象下降時與x軸的交點)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．17.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【命題意圖】本題考查頻率的計算與獨立性檢驗,考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).難度：容易【解析】（1）甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.【點評】作為解答題,本題實在太容易了,只相當(dāng)于課本基礎(chǔ)題的難度,且這種題型平時訓(xùn)練較多,該題就是送分題.【知識鏈接】獨立性檢驗的一般步驟(1)假設(shè)兩個分類變量x與y沒有關(guān)系；(2)計算出K2的觀測值,其中；(3)把K2的值與臨界值比較,作出合理的判斷．注意：在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及相關(guān)值的確定,不可混淆．18.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),記為的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分．【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的證明及與的關(guān)系,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：中等【解析】選①②作條件證明③：設(shè),則,當(dāng)時,；當(dāng)時,；因為也是等差數(shù)列,所以,解得；所以,所以.選①③作條件證明②：因為,是等差數(shù)列,所以公差,所以,即,因為,所以是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：設(shè),則,當(dāng)時,；當(dāng)時,；因為,所以,解得或；當(dāng)時,,當(dāng)時,滿足等差數(shù)列的定義,此時為等差數(shù)列；當(dāng)時,,不合題意,舍去.綜上可知為等差數(shù)列.【點評】該題是“結(jié)構(gòu)不良問題”,在老教材高考中首次出現(xiàn),題目給出部分已知條件,要求考生根據(jù)試題要求構(gòu)建一個命題,充分考查考生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的教學(xué)中,重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),克服“機械刷題”現(xiàn)象.這種題型對考生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象能力等有很深入的考查,體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.【知識鏈接】等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．(3)通項公式：an＝pn＋q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．19.已知直三棱柱中,側(cè)面為正方形,,E,F分別為和的中點,D為棱上的點．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時,面與面所成的二面角的正弦值最小?【命題意圖】本題考查線面位置關(guān)系的證明、二面角的計算,考查直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等.【解析】解法一：（1）取BC中點G,連接EG,則EG∥,共面,且,所以,連接,由四邊形為正方形,可得,因為,所以平面,因為平面,所以.因為三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以因為,,所以,（2）由（1）知兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖．所以．由題設(shè)（）．設(shè)平面的法向量為,因為,所以,即．令,則因為平面的法向量為,設(shè)平面與平面的二面角的平面角為,則．當(dāng)時,取最小值為,此時取最大值為．所以,此時．解法二：因為三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以因為,,所以,因為三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以因為,,所以,又,所以平面．所以兩兩垂直．直三棱柱中因為三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以因為,,所以,又,所以平面．所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖．所以,．由題設(shè)（）．（1）因為,所以,所以．（2）設(shè)平面的法向量為,因為,所以,即．令,則因為平面的法向量為,設(shè)平面與平面的二面角的平面角為,則．當(dāng)時,取最小值為,此時取最大值為．所以,此時．【點評】立體幾何解答題是每年必考題,該題一般分2問,第1問一般考查線面位置關(guān)系的證明,第2問一般考查空間角的計算.第1問失分主要原因是步驟不規(guī)范,第2問求空間角一般用空間向量求,該問失分主要原因是運算失誤.【知識鏈接】1.證明線面位置關(guān)系應(yīng)注意的問題（1）線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；（2）線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)．證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論,如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；（3）證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn),使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范．利用向量法計算二面角大小的常用方法（1）找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小．（2）找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。?0.拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O．焦點在x軸上,直線l：交C于P,Q兩點,且．已知點,且與l相切．（1）求C,的方程；（2）設(shè)是C上的三個點,直線,均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系,并說明理由．【命題意圖】本題考查圓與拋物線的方程及直線與圓、拋物線的位置關(guān)系,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：中等偏難.【解析】（1）依題意設(shè)拋物線,,所以拋物線的方程為,與相切,所以半徑為,所以的方程為；（2）設(shè),則互不相等,所以方程為,因為,所以,展開整理得所以直線方程為,同理直線的方程為,直線的方程為,與圓相切,整理得,同理可得所以為方程的兩根,,到直線的距離為：,所以直線與圓相切.【點評】解析幾何解答題是高考數(shù)學(xué)必考題,該題一般分2問,第1問通常為求曲線的方程,難度較小,第2問通常為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一般運算量比較大,相當(dāng)一部分同學(xué)會因為運算能力不過關(guān)而失分.【知識鏈接】過不同兩點的直線方程為,無論AB斜率是否存在,上式都成立、21.已知且,函數(shù)．（1）當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點,求a取值范圍．【命題意圖】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象交點個數(shù)問題.難度：難.【解析】（1）當(dāng)時,,令得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）解法一：,設(shè),則問題轉(zhuǎn)化為有2個不同實根,,若,則,在上是減函數(shù),方