函數(shù)的奇偶性（九大題型）

5.4函數(shù)的奇偶性課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生結(jié)合實例，利用圖象抽象出函數(shù)性質(zhì)，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).（2）通過函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，熟悉轉(zhuǎn)化、對稱等思考方法，提升邏輯推理素養(yǎng).（3）通過函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心條件，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（1）結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.（2）能判斷函數(shù)的奇偶性，能運用奇偶函數(shù)的圖象特征解決一些簡單問題.（3）掌握函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用.（4）了解函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心滿足的條件.知識點01函數(shù)的奇偶性概念1、函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為奇函數(shù)．知識點詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點對稱的；（3）的等價形式為：，的等價形式為：；（4）由定義不難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點對稱，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)；（3）函數(shù)的定義域為，因為，所以，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；（4）因為函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).知識點02判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷與之一是否相等．（2）驗證法：在判斷與的關(guān)系時，只需驗證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點（軸）對稱．（4）性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．【即學(xué)即練2】（2023·陜西漢中·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的圖像（

）A．關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于軸對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】A【解析】函數(shù)定義域為，，，函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，A正確，C錯誤；又，B錯誤，D錯誤.故選：A知識點03關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．【即學(xué)即練3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若是奇函數(shù)，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】是奇函數(shù)，則，，即，解之得，則，經(jīng)檢驗是奇函數(shù).故選：B題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例1．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并加以證明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【解析】（1）為奇函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，所以為奇函數(shù).（2）為非奇非偶函數(shù)，定義域為R，關(guān)于原點對稱，，且，所以，為非奇非偶函數(shù).（3）為非奇非偶函數(shù)，定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以，為非奇非偶函數(shù).（4）為奇函數(shù)，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù).（5）為偶函數(shù)，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為偶函數(shù).（6）為奇函數(shù)，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù).（7）為偶函數(shù)，定義域為R，關(guān)于原點對稱.對于，都有，且.對于，，有，.同理可推得，，.綜上所述，，都有，所以為偶函數(shù).（8）為奇函數(shù)，定義域為R，關(guān)于原點對稱.對于，都有，且.對于，，有，.同理可推得，，.綜上所述，，都有，所以為奇函數(shù).例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）函數(shù)的定義域為R，因為，都有，且，所以，函數(shù)為偶函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域為R，因為，都有，且，所以，函數(shù)為奇函數(shù)；（3）函數(shù)的定義域為，因為，都有，且，所以，函數(shù)為奇函數(shù)；（4）函數(shù)的定義域為，因為，都有，且，所以，函數(shù)為偶函數(shù).例3．（2023·全國·高一課堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）的定義域為，且，所以為偶函數(shù).（2）的定義域為，且，所以為奇函數(shù).（3）的定義域為，所以定義域不關(guān)于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù).題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，．所以，，即，因此，.故選：D.例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則在上的解析式為.【答案】【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時，則，可得，所以.故答案為：.例6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，則當(dāng)時，．【答案】【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，故答案為：變式1．（2023·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，.【答案】【解析】函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，故答案為：變式2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則的解析式為.【答案】（或）【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時，，則，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，因此當(dāng)時，，所以的解析式為.故答案為：變式3．（2023·全國·高一課堂例題）為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則．【答案】【解析】當(dāng)時，，則．由于是上的奇函數(shù)，故，所以當(dāng)時，．因為為上的奇函數(shù)，故．綜上，，故答案為：變式4．（2023·河南南陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是R上的奇函數(shù)，當(dāng)，則的解析式為【答案】【解析】設(shè)，則，又函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，由，．故．故答案為：題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值例7．（2023·山東棗莊·高一山東省滕州市第五中學(xué)?？计谀┮阎瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時，，則.【答案】【解析】由于是奇函數(shù)，且在處有定義，所以，所以當(dāng)時，，所以.故答案為：例8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．【答案】/【解析】由題意可知，即.又是奇函數(shù)，故，即，∴對任意都成立，則，∴.所以，故答案為：例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則．【答案】3【解析】因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，，所以．故答案為：.變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則．【答案】【解析】由是奇函數(shù)，則,所以故答案為：變式6．（2023·全國·高一課堂例題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，，則．【答案】【解析】，．即.故答案為：題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，則的值為（

）A． B．3 C．或3 D．不能確定【答案】B【解析】函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，由于奇函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，所以，即，解得或，由區(qū)間定義可知，當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，，符合題意；可得.故選：B．例11．（2023·福建泉州·高一?？计谥校┤羰桥己瘮?shù)，則（

）A．2 B．1 C．1 D．3【答案】A【解析】因為是偶函數(shù)，所以，即，所以，則，解得.故選：A例12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】C【解析】由題意可得，則，可得.故選：C.變式7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由函數(shù)，因為函數(shù)為偶函數(shù)，可得，即，所以，解得.故選：D.變式8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是奇函數(shù)，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【解析】由題設(shè)，則，而滿足題設(shè).所以.故選：C變式9．（2023·江西南昌·高一統(tǒng)考期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【解析】因為為奇函數(shù)，所以，得，因為，所以，故選：A.題型五：已知奇函數(shù)+M例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，分別為定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則.【答案】12【解析】依題意，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，∴，∵，∴，即.故答案為：12.例14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，其中為常數(shù)，若，則．【答案】【解析】設(shè)，，是奇函數(shù)，，則，又，所以．故答案為：．例15．（2023·浙江寧波·高一慈溪市楊賢江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則．【答案】2【解析】，設(shè)，則，函數(shù)為奇函數(shù)，，，.故答案為：2.變式10．（2023·河南鄭州·高一鄭州四中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則=.【答案】0【解析】函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，.故答案為：0.變式11．（2023·上海普陀·高一校考期末）函數(shù)，其中??是常數(shù)，且，則．【答案】【解析】依題意，，，所以，所以.故答案為：變式12．（2023·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則.【答案】【解析】∵，∴令，則由定義域為R，關(guān)于原點對稱且，∴為奇函數(shù)，∴，∴，∵，∴．故答案為：13.題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問題例16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足．(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【解析】（1）令，則．再令，可得，∴．（2）是偶函數(shù)；證明：令可得，∴是偶函數(shù)．例17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對于任意都有．(1)證明是奇函數(shù)；(2)解不等式．【解析】（1）證明：令，則由，得，即；令，則由，得，即得，故是奇函數(shù)．（2），所以，則，即，

因為，所以，所以，

又因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，所以或．所以x的解集為．例18．（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域均為R，對任意x，y恒有，且．(1)求的值；(2)判斷的奇偶性，并證明．【解析】（1）令得，，所以，又，所以．（2）是奇函數(shù)，證明：又因為函數(shù)的定義域為R，所以是奇函數(shù)．變式13．（2023·安徽合肥·高一校考期中）已知滿足，且時，(1)判斷的單調(diào)性并證明；(2)證明：；(3)若，解不等式．【解析】（1）是定義在上的減函數(shù)，證明如下：，且，則，，又，即，，是定義在上的減函數(shù)；（2）由，令，得，令可得，，，，即；（3），，，即，又是定義在上的減函數(shù)，，解得或，不等式的解集為或．變式14．（2023·陜西渭南·高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，若對于任意的x，y∈，都有(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明結(jié)論.【解析】（1）令，根據(jù)題意可得，即，解得.（2）為奇函數(shù)，證明如下：令，根據(jù)題意可得：，又的定義域關(guān)于原點對稱，故為奇函數(shù).變式15．（2023·陜西西安·高一交大附中?？计谥校┒x在R上的連續(xù)函數(shù)滿足對任意，，.(1)證明：；(2)請判斷的奇偶性；(3)若對于任意，不等式恒成立，求出m的最大值.【解析】（1）令，則有，，因為是任意的，，由得，，；（2）令，由①②得，將代入，解得或（，舍去），代入③得；令，則有，兩式相加得，由（1）的運算結(jié)果，代入上式，得：，由可知如果，則有，不可能，所以，，由于x是任意的，必有，兩式相加得，是偶函數(shù)，，是奇函數(shù)；（3）由于，不等式即為：，由，得，令，則不等式轉(zhuǎn)化為，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以m的最大值為；綜上，m的最大值為.題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運用例19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知定義域為的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是．【答案】【解析】根據(jù)題意，為定義在上的奇函數(shù)，則，為奇函數(shù)，且，在是減函數(shù)，∴，在內(nèi)是減函數(shù)，函數(shù)圖象草圖如圖，則不等式的解集為；故答案為：．例20．（2023·福建·高一?？计谥校┤舳x在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，，有，且，則滿足的x的取值范圍為．【答案】【解析】因為對任意的，，有，所以在上單調(diào)遞減，又因為在R上為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以，則的草圖如圖所示，所以或或，，又因為，所以或，即或，解得或，所以x的取值范圍為.故答案為：.例21．（2023·福建福州·高一?？计谥校┮阎嵌x在R上的偶函數(shù)，若，，且時，都有，則滿足的實數(shù)m的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，，且，不失一般性不妨假設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又是定義在上的偶函數(shù)，由得，所以，所以或，解得或.所以滿足的實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.變式16．（2023·四川瀘州·高一四川省瀘縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，則，由不等式，則，可得，由函數(shù)在單調(diào)遞減，則，解得.故答案為：.變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由于在上是減函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，若，則，平方可得，解得，故答案為：變式18．（2023·全國·高一課堂例題）已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【解析】因為，則，因為是奇函數(shù)，所以．又函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得，故所求不等式的解集為．故答案為：.變式19．（2023·全國·高一課堂例題）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為．【答案】【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可知不等式等價于，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又為上的奇函數(shù)，所以函數(shù)為增函數(shù)，上式等價于．當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，，，則，則恒成立．綜上可得．故答案為：變式20．（2023·河南南陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且．(1)用定義法判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并證明；(2)解不等式．【解析】（1）∵為定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，∴，∴．又，∴．檢驗：當(dāng)，時，，，∴為奇函數(shù)，符合題意，∴．證明：對任意的，．∵，∴，，∴．又，，故，∴，即，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）∵為定義在區(qū)間上的函數(shù)，∴，∴．∵，且為定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，∴．又在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴或．綜上，實數(shù)m的取值范圍是．變式21．（2023·湖北武漢·高一武漢二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且(1)確定函數(shù)的解析式并判斷在上的單調(diào)性（不必證明）;(2)解不等式.【解析】（1）由題意可得，解得所以，經(jīng)檢驗滿足，設(shè)，，因為，所以，，，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；（2），，是定義在上的增函數(shù)，，得，所以不等式的解集為.變式22．（2023·湖南株洲·高一株洲二中?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式;(2)判斷的單調(diào)性（并用單調(diào)性定義證明）;(3)解不等式.【解析】（1）定義在上的奇函數(shù)，則，即，解得，又，即，解得，，經(jīng)檢驗符合題意；（2）函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下：任取、且，則，因為，則，，故，即，因此函數(shù)在上是增函數(shù).（3），，，解得，不等式的解集為．題型八：利用函數(shù)奇偶性識別圖像例22．（2023·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，其定義域都關(guān)于原點對稱，，即函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，故AC錯誤；由選項圖可知，都是討論的情況，當(dāng)時，，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，故B正確；對于D選項，由圖可知，.函數(shù)在和上單調(diào)遞增，若，在和上單調(diào)遞減，若，在和上單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：B例23．（2023·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谥校┪覈麛?shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：”數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中，常用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在[﹣2，2]上的圖像大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】定義域為R，，則是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸軸對稱，排除選項CD；又因為，則排除選項A，選B.故選：B．例24．（2023·江蘇徐州·高一徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列圖像中，不可能是的圖像的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】為奇函數(shù)，的圖像關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，如A所示，故A不符合題意；當(dāng)時，為“對勾函數(shù)”，如D所示，故D不符合題意；當(dāng)時，在或上遞減，故B符合題意，C不符合．故選：B．變式23．（2023·河南南陽·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的圖像大致為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，可得為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，排除選項C；，排除選項A；因為，所以排除選項D．故選：B變式24．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像如圖1和圖2，則函數(shù)y=f(x)?g(x)的圖像可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)y=g(x)的圖像與y軸沒有公共點，所以函數(shù)y=f(x)?g(x)的圖象與y軸沒有公共點，排除CD；由函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像可知：函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，函數(shù)y=g(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f(x)?g(x)是奇函數(shù)，故排除B,故選：A變式25．（2023·高一單元測試）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴函數(shù)定義域為關(guān)于原點對稱，，函數(shù)為奇函數(shù)，由易得的圖象為A．故選：A題型九：對稱性與奇偶性的綜合應(yīng)用例25．（2023·北京東城·高一統(tǒng)考期中）已知偶函數(shù)的其圖像與軸有四個交點，則方程的所有實數(shù)根的和為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)為,，，，，∵是偶函數(shù)，∴．方程的實根為：，，，，和為，∴方程的所有實數(shù)根的和為，故選：．例26．（2023·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為，則所有交點的橫坐標(biāo)之和為（

）A．0 B．m C． D．【答案】C【解析】依題意函數(shù)滿足，即的圖象關(guān)于對稱.函數(shù)的圖象也關(guān)于對稱性，所以若函數(shù)與圖象的交點分別為，，…，，則.故選：C.例27．（2023·四川眉山·高一?？计谀┮阎瘮?shù)關(guān)于成中心對稱，函數(shù)的圖像與的圖像有2022個交點，則這些交點的橫，縱坐標(biāo)之和等于（

）A． B． C．10110 D．5050【答案】A【解析】因為，所以函數(shù)關(guān)于成中心對稱，又函數(shù)關(guān)于成中心對稱，函數(shù)的圖象與的圖象有2022個交點，則這些交點也關(guān)于點對稱，所以每兩個對稱點縱坐標(biāo)之和為，2022個交點有1011組對稱點，所以這2022交點得縱坐標(biāo)之和為，所以每兩個對稱點橫坐標(biāo)之和為，2022個交點有1011組對稱點，所以這2022交點得橫坐標(biāo)之和為，故這些交點的橫縱坐標(biāo)之和為．故選：A．變式26．（2023·河南洛陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若與的圖像有交點，，，則（

）A． B．0 C．3 D．6【答案】C【解析】由可得，函數(shù)的圖像上任意一點關(guān)于點的對稱點為，即點，由也滿足函數(shù)解析式，可得函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，函數(shù)的圖像可以由奇函數(shù)的圖像向上平移1個單位得到，所以函數(shù)的圖像也關(guān)于點對稱，若與的圖像有交點，，，不妨設(shè)，由對稱性可得，，，，所以.故選：C變式27．（2023·四川南充·高一統(tǒng)考期末）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).(1)若.①求此函數(shù)圖象的對稱中心；②求的值；(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論（寫出結(jié)論即可，不需證明）.【解析】（1）①，，而滿足，即為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點中心對稱.②，由①得，即，所以.（2）“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”，類比已知條件可得，一個一個推廣結(jié)論為：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).（答案不唯一）變式28．（2023·云南紅河·高一?？茧A段練習(xí)）我們知道，函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．依據(jù)推廣結(jié)論，已知關(guān)于中心對稱；(1)求的解析式；(2)求的值．【解析】（1）設(shè)，則為奇函數(shù)，依題可知且，故，整理得，故則所以函數(shù)（2）知函數(shù)圖像的對稱中心為，故，所以且，記,則，兩式相加得,故變式29．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)是奇函數(shù).(1)依據(jù)推廣結(jié)論，求函數(shù)的圖象的對稱中心；(2)請利用函數(shù)的對稱性的值；(3)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖像關(guān)于軸成軸對稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論.（不需要證明）【解析】（1）設(shè)的圖象的對稱中心為，則為奇函數(shù)，所以，即，所以，即，整理得，（對函數(shù)定義域內(nèi)的任意都成立），所以，解得，所以函數(shù)的圖象的對稱中心為；（2）由（1）知函數(shù)圖象的對稱中心為，所以，則，又，所以；（3）推論：函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，或函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱的充要條件是.變式30．（2023·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象的對稱中心為.【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)的對稱中心為，則由函數(shù)為奇函數(shù)可得，變形可得，即；整理可得，所以；解得，所以其對稱中心為.故答案為：變式31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).根據(jù)這一結(jié)論，可以求出函數(shù)的對稱中心是.【答案】【解析】設(shè)的對稱中心是，則函數(shù)為奇函數(shù)，即，故，所以，整理得，則，故的對稱中心是，故答案為：一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】奇函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，又，則，大致圖象如下，所以當(dāng)時，.故選：B.2．（2023·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)偶函數(shù)的定義域為R，當(dāng)時，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，因為當(dāng)時，是增函數(shù)，又，所以，即，故選：A.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式為（

）A． B． C． D．以上都不對【答案】A【解析】設(shè)，則，又.故選：A4．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即函數(shù)為偶函數(shù)；若函數(shù))為偶函數(shù)，則，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的充分必要條件，故選：A．5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，作出的圖象，如圖所示.由得，即.觀察圖象得，或，故選：B.6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因為，所以，由，得，即，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，所以為奇函數(shù)，即，因為，所以為奇函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，得，即不等式的解集為.故選：D7．（2023·江西上饒·高一江西省廣豐中學(xué)校考階段練習(xí)）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以在單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)，，當(dāng)，，所以若，則或或或或解得或，所以x的取值范圍是.故選：C8．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，由，即，得到或（舍棄），所以，當(dāng)時，由，即，得到，所以，綜上所述，或，故選：B.二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法正確的為（

）A．的圖像關(guān)于對稱 B．必成立C．必成立 D．的圖像關(guān)于原點對稱【答案】ABD【解析】因為為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點對稱，即D正確；且，即B正確，C錯誤；由可知函數(shù)圖象關(guān)于對稱，即A正確.故選：ABD.10．（2023·廣東深圳·高一校考期中）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說法正確的是（

）A．的值域為 B．的定義域為C．， D．為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】因為函數(shù)，所以函數(shù)的定義域為，值域為，故A錯誤，B正確；因為或且0與1均為有理數(shù)，所以或，故C正確；函數(shù)，故為偶函數(shù)，D正確．故選：BCD11．（2023·湖南株洲·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于對稱；B．若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則；C．若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則為奇函數(shù)；D．函數(shù)的圖象的對稱中心是點【答案】ACD【解析】對于A，由函數(shù)是偶函數(shù)，得，因此的圖象關(guān)于對稱，A正確；對于B，由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，得，B錯誤；對于C，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，得，即，整理得，因此為奇函數(shù)，C正確；對于D，由，因此函數(shù)的圖象的對稱中心是點，D正確.故選：ACD12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則下列說法正確的有（

）A． B．為奇函數(shù)C．為增函數(shù) D．【答案】ABC【解析】對于A，令，得，所以，故A正確；對于B，令得：，再以代，得：，兩式相加得：，，即，定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對于C，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，不妨設(shè)，則，因為，所以且因此，所以，則，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，C正確；對于D，令，因為，則，即，因為，且函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若（，且）是奇函數(shù)，則.【答案】/【解析】由，可得，因為是奇函數(shù)，所以，所以，解得.故答案為：.14．（2023·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（填序號）．①；②；③；④．【答案】③【解析】對于①④，其定義域顯然不關(guān)于原點對稱，故其為非奇非偶函數(shù)；又②中，由得其定義域為，顯然不關(guān)于原點對稱，故②也是非奇非偶函數(shù)；對于③，其定義域為R，且對都滿足，故③是偶函數(shù)．故答案為：③15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列結(jié)論：①若的定義域關(guān)于原點對稱，則是偶函數(shù)；②若是偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于原點對稱；③若，則是偶函數(shù)；④若是偶函數(shù)，則；⑤若，則不是偶函數(shù)；⑥若是定義域為的奇函數(shù)，則．其中正確結(jié)論的序號是．【答案】②④⑤⑥【解析】只有的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足時，才是偶函數(shù)，故①錯誤．的定義域關(guān)于原點對稱是為偶函數(shù)的必要條件，②正確．對任意，滿足，才是偶函數(shù)，僅憑兩個特殊的函數(shù)值相等不能判定對于x的其它的值是否滿足，故由不能判定函數(shù)的奇偶性，故③錯誤．當(dāng)是偶函數(shù)時，，，因此成立，故④正確．若想證明一個函數(shù)不是奇函數(shù)或偶函