高考數(shù)學二輪復習 中外數(shù)學文化專練 文-人教版高三數(shù)學試題

中外數(shù)學文化專練縱觀近幾年高考，中外優(yōu)秀的數(shù)學文化已成為高考數(shù)學命題的重要素材之一，命題者常常結(jié)合統(tǒng)計、函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、算法等內(nèi)容，通過創(chuàng)設新的情境、改變設問方式，選取適合的知識內(nèi)容等多種方法滲透中外優(yōu)秀的數(shù)學文化.以數(shù)學文化為背景的問題，不僅讓人耳目一新，同時它也使考生們受困于背景陌生，閱讀受阻，使思路無法打開.隨著高考改革的深入，命題者仍會適當加大對中國傳統(tǒng)文化進行考查的內(nèi)容，如將四大發(fā)明、勾股定理等所代表的中國古代科技文明作為試題背景材料，遵循繼承、弘揚、創(chuàng)新的發(fā)展路徑，注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實中的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新性發(fā)展，體現(xiàn)中國傳統(tǒng)科技文化對人類發(fā)展和社會進步的貢獻，踐行社會主義核心價值觀.1．(2019·呼和浩特二模)瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位．特別是當x＝π時，eiπ＋1＝0被認為是數(shù)學上最優(yōu)美的公式，數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”．根據(jù)歐拉公式可知，ei表示的復數(shù)在復平面中位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[根據(jù)歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)，得ei＝cos1＋isin1，它在復平面內(nèi)對應的點為(cos1，sin1)，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos1＞0,sin1＞0))，所以位于第一象限．故選A.]2．(2019·黃山三模)《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學的名著．在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個問題中，記這位公公的第n個兒子的年齡為an，則a1＝()A．23 B．32C．35 D．38C[由題意可知年齡構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為－3，則9a1＋eq\f(9×8,2)×(－3)＝207，解得a1＝35，故選C.]3．中華文化博大精深，我國古代算書《周髀算經(jīng)》中介紹了用統(tǒng)計概率得到圓周率π的近似值的方法．古代數(shù)學家用體現(xiàn)“外圓內(nèi)方”文化的錢幣(如圖1)做統(tǒng)計，現(xiàn)將其抽象成如圖2所示的圖形，其中圓的半徑為2cm，正方形的邊長為1cm，在圓內(nèi)隨機取點，若統(tǒng)計得到此點取自陰影部分的概率是p，則圓周率π的近似值為()圖1圖2A.eq\f(1,41－p) B.eq\f(1,1－p)C.eq\f(1,1－4p) D.eq\f(4,1－p)A[圓形錢幣的半徑為2cm，面積為S圓＝π·22＝4π；正方形邊長為1cm，面積為S正方形＝12＝1.在圓形內(nèi)隨機取一點，此點取自黑色部分的概率是p＝eq\f(S圓－S正方形,S圓)＝1－eq\f(1,4π)，則π＝eq\f(1,41－p).故選A.]4．(2019·岳麓區(qū)校級模擬)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，在不超過20的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率是()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,15)C.eq\f(1,18) D.eq\f(1,14)D[在不超過20的素數(shù)中有2,3,5,7,11,13,17,19共8個，隨機選取兩個不同的數(shù)共有28種，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20有2種，故可得隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率P＝eq\f(1,14)，故選D.]5．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為()A．1.5尺 B．2.5尺C．3.5尺 D．4.5尺B[設此等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5,9a1＋eq\f(9×8,2)d＝85.5，解得d＝－1，a1＝13.5.則a12＝13.5－11＝2.5.故選B.]6．(2019·鄭州三模)我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征．如函數(shù)f(x)＝eq\f(x4,|4x－1|)的圖象大致是()ABCDD[根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝eq\f(x4,|4x－1|)，則f(－x)＝eq\f(－x4,|4－x－1|)＝eq\f(x4·4x,|4x－1|)，易得f(x)為非奇非偶函數(shù)，排除A、B，當x→＋∞時，f(x)＝eq\f(x4,1－4x)→0，排除C；故選D.]7．(2019·濟南模擬)朱世杰是我國元代偉大的數(shù)學家，其傳世名著《四元玉鑒》中用詩歌的形式記載了下面這樣一個問題：我有一壺酒，攜著游春走．遇務①添一倍，逢店飲斛九②，店務經(jīng)四處，沒了這壺酒，借問此壺中，當原多少酒？①“務”：舊指收稅的關卡所在地；②“斛九”：1.9斛．如圖是解決該問題的算法程序框圖，若輸入的x值為0，則輸出的x值為()A.eq\f(57,40) B.eq\f(133,80)C.eq\f(57,32) D.eq\f(589,320)C[由題意，模擬程序的運行，x＝0，i＝0第一次執(zhí)行循環(huán)體后，x＝eq\f(19,20)，i＝1，不滿足退出循環(huán)的條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，x＝eq\f(57,40)，i＝2，不滿足退出循環(huán)的條件；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，x＝eq\f(133,80)，i＝3，不滿足退出循環(huán)的條件；第四次執(zhí)行循環(huán)體后，x＝eq\f(57,32)，i＝4，滿足退出循環(huán)的條件，輸出x的值為eq\f(57,32).故選C.]8．(2019·安徽二模)謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出，先作一個正三角形，挖去一個“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形)，然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，我們用白色代表挖去的面積，那么黑三角形為剩下的面積(我們稱黑三角形為謝爾賓斯基三角形)．在如圖第5個大正三角形中隨機取點，則落在白色區(qū)域的概率為()A.eq\f(68,81) B.eq\f(175,256)C.eq\f(81,256) D.eq\f(16,81)B[不妨設第一個三角形的面積為1，則第二個圖中黑色部分面積為eq\f(3,4)，第3個圖中黑色部分面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2，第4個圖中黑色部分面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3，第5個圖中黑色部分面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4，則在第5個大正三角形中隨機取點，落在白色區(qū)域的概率為P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(175,256).故選B.]9．電子計算機誕生于20世紀中葉，是人類最偉大的技術發(fā)明之一．計算機利用二進制存儲信息，其中最基本單位是“位(bit)”，1位只能存放2種不同的信息：0或l，分別通過電路的斷或通實現(xiàn)．“字節(jié)(Byte)”是更大的存儲單位，1Byte＝8bit，因此1字節(jié)可存放從00000000(2)至11111111(2)共256種不同的信息．將這256個二進制數(shù)中，所有恰有相鄰兩位數(shù)是1其余各位數(shù)均是0的所有數(shù)相加，則計算結(jié)果用十進制表示為()A．254 B．381C．510 D．765B[恰有相鄰兩位數(shù)是1其余各位數(shù)均是0的二進制數(shù)為11000000,1100000,110000,11000,1100,110,11，共7個．轉(zhuǎn)化為十進制并相加得(27＋26)＋(26＋25)＋(25＋24)＋(24＋23)＋(23＋22)＋(22＋21)＋(21＋20)＝381，故選B.]10．(2019·東湖區(qū)校級三模)“柯西不等式”是由數(shù)學家柯西在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的，但從歷史的角度講，該不等式應當稱為柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，因為正是后兩位數(shù)學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學選修教材4－5中給出了二維形式的柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2當且僅當ad＝bc(即eq\f(a,c)＝eq\f(b,d))時等號成立．該不等式在數(shù)學中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應用．根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)f(x)＝2eq\r(5－x)＋eq\r(x－4)的最大值及取得最大值時x的值分別為()A.eq\r(5)，eq\f(21,5) B.eq\r(3)，eq\f(21,5)C.eq\r(13)，eq\f(61,13) D.eq\r(29)，eq\f(61,13)A[由柯西不等式可知：(2eq\r(5－x)＋eq\r(x－4))2≤(22＋12)[(eq\r(5－x))2＋(eq\r(x－4))2]＝5，所以2eq\r(5－x)＋eq\r(x－4)≤eq\r(5)，當且僅當2eq\r(x－4)＝eq\r(5－x)，即x＝eq\f(21,5)時取等號，故函數(shù)f(x)＝2eq\r(5－x)＋eq\r(x－4)的最大值及取得最大值時x的值分別為eq\r(5)，eq\f(21,5)，故選A.]11．(2019·馬鞍山一模)1642年，帕斯卡發(fā)明了一種可以進行十進制加減法的機械計算機.1674年，萊布尼茨改進了帕斯卡的計算機，但萊布尼茲認為十進制的運算在計算機上實現(xiàn)起來過于復雜，隨即提出了“二進制”數(shù)的概念．之后，人們對進位制的效率問題進行了深入的研究．研究方法如下：對于正整數(shù)n，x(x≥2)，我們準備nx張不同的卡片，其中寫有數(shù)字0,1，…，x－1的卡片各有n張．如果用這些卡片表示n位x進制數(shù)，通過不同的卡片組合，這些卡片可以表示x個不同的整數(shù)(例如n＝3，x＝10時，我們可以表示出000…999共103個不同的整數(shù))．假設卡片的總數(shù)nx為一個定值，那么x進制的效率最高則意味著nx張卡片所表示的不同整數(shù)的個數(shù)xn最大．根據(jù)上述研究方法，幾進制的效率最高？()A．二進制 B．三進制C．十進制 D．十六進制B[設nx＝k為定值，則nx張卡片所表示的不同整數(shù)的個數(shù)y＝xeq\f(k,x)，(x，k∈N*)，假設x，k∈R＋，則lny＝eq\f(k,x)lnx，即y＝eeq\f(k,x)lnx，求導可得：y′＝eeq\f(k,x)lnx·eq\f(k,x2)(1－lnx)，因為eeq\f(k,x)lnx·eq\f(k,x2)＞0，所以當0<x<e，y′>0，當x>e，y′<0，可得x＝e時，函數(shù)y取得最大值，比較2eq\f(k,2)，3eq\f(k,3)的大小即可，分別6次方可得：23k＝8k,32k＝9k，可得8k<9k，∴2eq\f(k,2)<3eq\f(k,3).∴根據(jù)上述研究方法，3進制的效率最高，故選B.]12．黃金分割起源于公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，公元前4世紀，古希臘數(shù)學家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了這一問題，公元前300年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為eq\f(\r(5)－1,2)，把eq\f(\r(5)－1,2)稱為黃金分割數(shù)．已知雙曲線eq\f(x2,\r(5)－12)－eq\f(y2,m)＝1的實軸長與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù)，則m的值為()A．2eq\r(5)－2 B.eq\r(5)＋1C．2 D．2eq\r(5)A[由題意得，在雙曲線中a2＝(eq\r(5)－1)2，b2＝m，∴c2＝a2＋b2＝(eq\r(5)－1)2＋m.∵雙曲線的實軸長與焦距的比值為黃金分割數(shù)eq\f(\r(5)－1,2)，∴eq\f(2a,2c)＝eq\f(a,c)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴eq\f(a2,c2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))2＝eq\f(3－\r(5),2)，∴eq\f(\r(5)－12,\r(5)－