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文檔簡(jiǎn)介

河北省永年縣第二中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)一模試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.2.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.43.為雙曲線的左焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn),(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.設(shè)全集為R,集合,,則A. B. C. D.5.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.606.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)是其一條漸近線上一點(diǎn),且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,則a3=()A.2 B.4 C. D.88.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.9.某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,利用列聯(lián)表,由計(jì)算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”10.存在點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)M在第一象限,使得過(guò)點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.11.在中,,,分別為角,,的對(duì)邊,若的面為,且,則()A.1 B. C. D.12.平行四邊形中,已知,,點(diǎn)、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在三棱錐中,平面,,已知,,則當(dāng)最大時(shí),三棱錐的體積為_(kāi)_________.14.某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū),每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子,申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的,則該市的任意位申請(qǐng)人中,恰好有人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是______.(用數(shù)字作答)15.角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2),則sin(π﹣α)的值是_____.16.在三棱錐中,三條側(cè)棱兩兩垂直,,則三棱錐外接球的表面積的最小值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)證明:.18.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線為,試求實(shí)數(shù),的值;(2)當(dāng)時(shí),若有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,,若不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.(12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,公差,、、成等比數(shù)列,數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20.(12分)已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,向量,,且.(1)求角的大??;(2)若,求的值21.(12分)在中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別是,,,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.22.(10分)在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求B;(2)若的面積為,周長(zhǎng)為8,求b.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問(wèn)題,關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系,本題是一道基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,即,又,即,運(yùn)算即可得解.【詳解】解:因?yàn)?,所以,又,所以,又,解?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法,屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】

過(guò)點(diǎn)作,可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),由可求得的值,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可得出,結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn),可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點(diǎn)),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過(guò)點(diǎn)作,設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為,連接.,.,,,為的中點(diǎn),,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時(shí)要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.4、B【解析】分析:由題意首先求得,然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解:由題意可得:,結(jié)合交集的定義可得:.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛:本題主要考查交集的運(yùn)算法則,補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了頻率的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】

根據(jù)題意,設(shè)點(diǎn)在第一象限,求出此坐標(biāo),再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè)點(diǎn)在第一象限,雙曲線的一條漸近線方程為,所以,,又以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,即,解得,,所以,,即,即,所以,雙曲線的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率,解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,,解得或(舍去).故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.9、B【解析】

通過(guò)與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較,可以得出正確的選項(xiàng).【詳解】解:,可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出的值,然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:由,得,∵,∴,即即,則,∵,∴,∴,即,則,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用,結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.12、C【解析】

將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運(yùn)算,將用向量和表示是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】設(shè),則,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.,故答案為414、【解析】

基本事件總數(shù),恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出該市的任意5位申請(qǐng)人中,恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率.【詳解】解:某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū),每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子,申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的,該市的任意5位申請(qǐng)人中,基本事件總數(shù),該市的任意5位申請(qǐng)人中,恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù):,該市的任意5位申請(qǐng)人中,恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.15、【解析】

計(jì)算sinα,再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得x=1,y=2,r,∴sinα,∴sin(π﹣α)=sinα.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義,誘導(dǎo)公式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】

設(shè),可表示出,由三棱錐性質(zhì)得這三條棱長(zhǎng)的平方和等于外接球直徑的平方,從而半徑的最小值,得外接球表面積.【詳解】設(shè)則,由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長(zhǎng)的平方和等于其外接球的直徑的平方.記外接球半徑為,∴當(dāng)時(shí),.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積,解題關(guān)鍵是掌握三棱錐的性質(zhì):三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ),.(Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】

(1)由,分和兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由題,得,利用等比數(shù)列求和公式,即可得到本題答案.【詳解】(Ⅰ)解:由題,得當(dāng)時(shí),,得;當(dāng)時(shí),,整理,得.?dāng)?shù)列是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,,;(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,,故.故得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)的關(guān)系式求通項(xiàng)公式以及利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和并證明不等式,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理證明能力.18、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)題意,求得的值,根據(jù)切點(diǎn)在切線上以及斜率等于,構(gòu)造方程組求得的值;(2)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于方程的兩個(gè)正根,,不等式恒成立,等價(jià)于恒成立,,令,求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即可得到的范圍,即的范圍.【詳解】(1)由題可知,,,聯(lián)立可得.(2)當(dāng)時(shí),,,有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,,是方程的兩個(gè)正根,,,不等式恒成立,即恒成立,,由,,得,,令,,在上是減函數(shù),,故.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),構(gòu)造新函數(shù),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域得到參數(shù)的取值范圍,屬于較難題目.19、(1),();(2).【解析】

(1)根據(jù)是等差數(shù)列,,、、成等比數(shù)列,列兩個(gè)方程即可求出,從而求得,代入化簡(jiǎn)即可求得;(2)化簡(jiǎn)后求和為裂項(xiàng)相消求和,分組求和即可,注意討論公比是否為1.【詳解】(1)由題意知,,,由得,解得.又,得,解得或(舍).,.又(),().(2),①當(dāng)時(shí),.②當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】此題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,裂項(xiàng)相消求和等知識(shí)點(diǎn),考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想,屬于一般性題目.20、(1)(2)【解析】

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式得到關(guān)于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到關(guān)于的方程,與方程聯(lián)立求出,進(jìn)而求出,利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得,,由二倍角的余弦公式可得,,又因?yàn)?,所以,解得或,∵,?在中,由余弦定理得,即①又因?yàn)?把代入①整理得,,解得,,所以為等邊三角形,,∴,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟練掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)正弦定理先求得邊c,然后由余弦定理可求得邊b;(Ⅱ)結(jié)合二倍角公式及和差公式,即可求得本題答案.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?,由正弦定理可得,,又,所以,所以根?jù)余弦定

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