數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教案(三角函數(shù))

第三章、三角函數(shù)第一節(jié)、三角函數(shù)的基本概念教學(xué)目標(biāo)：1、理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算；2、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義。教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義。 教學(xué)難點(diǎn)：角的推廣及弧度制的引入?？键c(diǎn)一：角的概念1、角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫叫的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫角的終邊，射線的端點(diǎn)叫角的頂點(diǎn)。2、角的分類：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫正角；按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫負(fù)角；如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角。3、終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和。4、深化：在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，要使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。此時(shí)角的終邊在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限。正確理解：銳角、第一象限角、小于的角，注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系?？键c(diǎn)二：角的度量1、角度制：規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制。2、弧度制：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。弧度的單位符號(hào)是，讀作弧度。3、公式：（1）角度與弧度的互化公式：，（2）扇形的弧長(zhǎng)、面積公式：4、深化：正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零。角的概念推廣之后，無(wú)論是用角度制表示還是用弧度制表示，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)和它對(duì)應(yīng)；反之，每一個(gè)實(shí)數(shù)，也都有唯一的一個(gè)角與之對(duì)應(yīng)。在同一個(gè)角的表示之中，不能同時(shí)出現(xiàn)角度和弧度。考點(diǎn)三：任意角的三角函數(shù)1、三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個(gè)角，在角的終邊上任取一點(diǎn)P（除端點(diǎn)），設(shè)其坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么我們稱比值叫做角的正弦，記作；比值叫做角的余弦，記作；比值叫做角的正切，記作；比值叫做角的余切，記作；比值叫做角的正割，記作；比值叫做角的余割，記作。正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別可以看成是從一個(gè)角的集合到一個(gè)比值的集合的映射，它們都是以角作為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，這六個(gè)函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。

2、三角函數(shù)的定義域：；；3、三角函數(shù)值的符號(hào)：在第一象限內(nèi)，各三角函數(shù)全為正數(shù)；在第二象限內(nèi)，正弦、余割的函數(shù)值為正，其余全為負(fù)；在第三象限，正切、余切的函數(shù)值為正，其余全為負(fù)；在第四象限內(nèi)，余弦、正割的函數(shù)值為正，其余全為負(fù)。4、三角函數(shù)線5、深化：一個(gè)角的三角函數(shù)值與在其終邊上所取的點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與角的大小有關(guān)，也就是說(shuō)，只要角確定，上述六個(gè)比值也就確定。例題講解：例1、已知。（1）把寫成的形式，其中；（2）求，使與的終邊相同，其中。解：（1）角的弧度數(shù)為，其中所以，，其中（2）由上可知，與角終邊相同的角可以表示為由，解得例2、寫出下列角的集合：（1）終邊在y軸上的角的集合（用的角表示）；（2）終邊在第一、三象限平分線上的角的集合。解：（1）在范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個(gè)，即角，因此，所有與角終邊相同的角構(gòu)成集合而所有與角終邊相同的角構(gòu)成集合于是終邊在y軸上的角的集合（2）仿照（1），有終邊在第一、三象限角平分線上的角的集合例3、（1）如果為第一象限角，試問(wèn)為第幾象限的角？（2）設(shè)為第二象限的角，試問(wèn)：分別是第幾象限的角？解：（1）為第一象限角，，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，在第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，在第三象限，因此，是第一或第三象限角。（2）為第二象限角，=1\*GB3①是整數(shù)，為第三象限角=2\*GB3②為第一象限角=3\*GB3③為第四象限角。例4、已知為第二象限角，且，則為第幾象限角。解：為第二象限角，為一、三象限角同號(hào)，當(dāng)時(shí)，為第一象限角；當(dāng)為第四象限角。綜上，角為第一或第四象限角。例5、一扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大》并求此扇形的最大面積。解：設(shè)扇形的半徑為rcm，則弧長(zhǎng)為，扇形的面積當(dāng)（弧度）故當(dāng)弧度時(shí)，也可用基本不等式求解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)。例6、已知扇形OAB的中心角為4弧度，其面積為2平方厘米，求扇形周長(zhǎng)和弦AB的長(zhǎng)。解：設(shè)長(zhǎng)為，設(shè)扇形的中心角的弧度數(shù)為，則由上可得扇形的周長(zhǎng)為例7、用定義法求的正弦、余弦和正切值。解：設(shè)單位圓與的角的終邊交于，則由平面幾何知識(shí)得：例8、求滿足下列條件的角x的集合：（1）；（2）；（3）解：（析：解題步驟：找終邊、畫區(qū)域、寫集合）（1）（2）（3）例9、有100個(gè)扇形，其半徑分別為且成等差數(shù)列，扇形所含圓心角也成等差數(shù)列，公差分別為，又，求這100個(gè)扇形面積的和解：從而，＋＝＝＝知識(shí)運(yùn)用：第二節(jié)、同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式教學(xué)目標(biāo)：1、掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：；2、掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式。教學(xué)難點(diǎn)：三角公式的運(yùn)用。考點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1、關(guān)系式：（1）平方關(guān)系：；；（2）商數(shù)關(guān)系：；（3）倒數(shù)關(guān)系：2、變形：，，，。3、深化：（1）正確理解“同角”的含義：只要是“同一個(gè)角”那么基本關(guān)系式就成立，不拘泥于“角的形式”，如：等都是成立的，但就不一定成立。（2）在應(yīng)用平方關(guān)系求角的三角函數(shù)值時(shí)，一定要先確定角所在的象限，進(jìn)一步確定三角函數(shù)值的符號(hào)。（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其等價(jià)形式，對(duì)于使等式兩邊都有意義的角來(lái)說(shuō)都成立，也就是說(shuō)在角自變量允許的范圍內(nèi)，不論角取什么值等式都成立，所以它們都是三角恒等式。（4）注意三個(gè)式子之間的關(guān)系：考點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式1、公式：公式一：，其中；公式二：；公式三：；公式四：；公式五：。2、深化：（1）五組誘導(dǎo)公式可概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。（2）誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，從中體現(xiàn)了化歸思想。例題講解：例1、已知，求的值。解：，，例2、已知的值。解：注：（1）已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其它三角函數(shù)值，如果這個(gè)角所在的象限確定，此類情況只有一組解；如果角所在的象限不確定，解題時(shí)首先根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角可能所在的象限，然后分不同的情況求解；如果這個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，這時(shí)就根據(jù)條件及角在各個(gè)不同的象限分別求解，此種情況一般有兩組解。（2）由已知條件求一個(gè)三角表達(dá)式的值，一般是先利用公式將表達(dá)式化簡(jiǎn)，然后再把已知條件代入；如果已知條件也比較復(fù)雜就需要對(duì)其先化簡(jiǎn)然后再應(yīng)用。需要指出的是不論條件化簡(jiǎn)還是結(jié)論式化簡(jiǎn)，都必須是恒等變形。例3、化簡(jiǎn)：。解：原式=例4、化簡(jiǎn)：。解：法一（對(duì)k分奇數(shù)和偶數(shù)討論）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，記原式＝當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，記，原式＝注：（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)三角表達(dá)式除從正面直接利用公式外，還要特別注意公式的逆用以及變形應(yīng)用，常用到的兩個(gè)技巧為：一是“1”的代換，二是“弦切互化”。（2）用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角表達(dá)式一般從正面直接應(yīng)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，在此種情況下最容易出錯(cuò)的地方是三角函數(shù)的符號(hào)。例5、求證：。證明：左邊＝右邊＝左邊＝右邊，原等式成立。例6、已知：。求證：。證明：，，即左邊＝右邊注：三角恒等式的證明方法靈活多樣，可總結(jié)如下:(1)從一邊開始直接推證得它等于另一邊，一般地如果所證等式一邊比較繁而另一邊比較簡(jiǎn)時(shí)多采用此法，即由繁到簡(jiǎn)。（2）左右歸一法，即將所證恒等式左右兩邊同時(shí)推導(dǎo)變形，直接推得左右兩邊都等于同一個(gè)式子。（3）比較法，即設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“”。（4）分析法，從被證的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的充分條件，一直到已知條件或顯然成立的結(jié)論為止，就可以判斷原等式成立。例7、是否存在，使等式同時(shí)成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。解：由條件得，兩式平方相加得，當(dāng)時(shí)，代入可得。當(dāng)時(shí)，代入求不出滿足條件的的值。綜上所述，存在滿足條件。知識(shí)運(yùn)用：第三節(jié)、兩角和與差的三角函數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1、掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教學(xué)重點(diǎn)：掌握三角公式。教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用公式解決有關(guān)問(wèn)題?？键c(diǎn)一、兩角和與差的正弦、余弦、正切1、兩角和與差的余弦2、兩角和與差的正弦：3、兩角和與差的正切：4、誘導(dǎo)公式六：5、深化：（1）兩角和與差的三角函數(shù)公式，其內(nèi)涵是“揭示同名不同角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律”。不同角的三角函數(shù)關(guān)系式使用起來(lái)與同角的三角函數(shù)關(guān)系式最大的不同點(diǎn)是必須根據(jù)題目的題設(shè)條件與結(jié)論去確定所應(yīng)用的公式，而選定公式的能力靠觀察角度關(guān)系、熟悉公式特征來(lái)培養(yǎng)。（2）兩角和的余弦公式是整個(gè)三角變換的基礎(chǔ)，其它和角、差角以及倍角公式都是通過(guò)對(duì)此公式中的角進(jìn)行不同的變換整理而得。（3）和（差）角公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式可以看成是和（差）角公式的特例。（4）注意各個(gè)公式成立的條件，特別是兩角和與差的正切公式。（5）明確各公式的結(jié)構(gòu)特征，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意公式的逆用或變形應(yīng)用。考點(diǎn)二：二倍角的正弦、余弦、正切1、二倍角的正弦：2、二倍角的余弦：3、二倍角的正切：4、深化：（1）二倍角公式是由兩角和公式中令得出，注意公式成立的條件。（2）要熟悉各種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于是的二倍，其它如是的二倍，的二倍等，所有這些都可以利用二倍角公式。（3）注意二倍角公式的變形應(yīng)用與逆用，特別是二倍角的余弦公式，其變形公式在求值、化簡(jiǎn)、證明中有廣泛的應(yīng)用。（4）為了計(jì)算的需要，有時(shí)要對(duì)題中涉及的角進(jìn)行變換，以便能利用和、差、倍角公式進(jìn)行計(jì)算，常用到的變換有：等等，在具體問(wèn)題中常根據(jù)已知條件中的角與待求問(wèn)題中的角的具體形式進(jìn)行變換。例題講解：例1、求的值。解：原式＝＝例2、設(shè)，求。解：，＝注：（1）求三角函數(shù)式的值往往所給的角都是非特殊角，解決這類問(wèn)題的思路主要有：=1\*GB3①化為特殊角的三角函數(shù)值；=2\*GB3②化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；=3\*GB3③化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)，進(jìn)行約分求值。（2）解決給式（值）求值問(wèn)題常注意：=1\*GB3①注意整體思想在解題中的應(yīng)用；=2\*GB3②要注意觀察和分析問(wèn)題中各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，把“待求角”用“已知角”表示出來(lái)；=3\*GB3③要注意條件中角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的制約作用，確定所涉及到的每一個(gè)角的范圍，以免出現(xiàn)增（失）解。例3、化簡(jiǎn)：。解：原式＝＝例4、已知，若，則。解：＝注：（1）利用兩角和、差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)三角關(guān)系式一般多采用對(duì)公式的逆用或變形應(yīng)用，因此要善于觀察和分析所要化簡(jiǎn)的表達(dá)式，對(duì)比它與和、差、倍角公式結(jié)構(gòu)上的相似之處，以便確定相應(yīng)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理。（2）如果要化簡(jiǎn)的式子中三角函數(shù)的系數(shù)出現(xiàn)1和（或）、，則一般是將它們轉(zhuǎn)化為相應(yīng)特殊角的三角函數(shù)，以便構(gòu)造條件利用和、差、倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)。例5、求證：。證明：右邊＝＝等式成立。例6、已知三點(diǎn)。若向量求的最大值、最小值及相應(yīng)的k的值。解：由已知，得即，兩式平方相加，可得有最小值；又有最大值1，此時(shí)知識(shí)運(yùn)用：第四節(jié)、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明教學(xué)目標(biāo)：1、能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和恒等式的證明；2、初步體會(huì)化歸思想在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、恒等變形和證明三角恒等式中的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用三角公式解決問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明中的技巧。例題講解：例1、化簡(jiǎn)：。解：原式＝＝＝例2、化簡(jiǎn)：。解：原式＝＝注：（1）三角函數(shù)化簡(jiǎn)的基本思路為：=1\*GB3①統(tǒng)一函數(shù)名稱，一般有弦化切與切化弦，涉及到割函數(shù)則一般化為弦函數(shù)。=2\*GB3②統(tǒng)一角度，即涉及到單角、倍角、半角等角時(shí)，可根據(jù)具體情況由倍角公式及其變形將角轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角。=3\*GB3③統(tǒng)一次數(shù)，即式子中各項(xiàng)的次數(shù)大小不一樣時(shí)，可考慮升冪或降冪，使各項(xiàng)次數(shù)統(tǒng)一起來(lái)。（2）三角函數(shù)化簡(jiǎn)的基本要求為：=1\*GB3①能求出具體值的要求算出數(shù)值；=2\*GB3②三角函數(shù)的種類要盡量減少；=3\*GB3③各項(xiàng)的次數(shù)應(yīng)盡可能地降低；=4\*GB3④出現(xiàn)的項(xiàng)數(shù)盡可能地少；=5\*GB3⑤一般要使分母或根號(hào)下面不含三角函數(shù)式。例3、求證：。證明：左邊＝＝＝右邊等式成立例4、已知，求證：。證明：，，即注：（1）常見(jiàn)的三角恒等式包括無(wú)條件恒等式和由條件恒等式兩種類型。=1\*GB3①對(duì)無(wú)條件恒等式的證明，多用綜合法、比較法、分析法證明，一般有“化繁為簡(jiǎn)法”即從等式比較復(fù)雜的一邊出發(fā)，進(jìn)行變換逐步推出另一邊；“左右歸一法”即將等式兩邊同時(shí)變換、化簡(jiǎn)，得到同一個(gè)式子，從而證明等式成立；“變更論證法”即首先將原結(jié)論變形為另一等價(jià)形式，通過(guò)證明這個(gè)等價(jià)式成立，從而證得原式成立。=2\*GB3②對(duì)有條件恒等式的證明關(guān)鍵在于分析已知條件與求證結(jié)論之間的區(qū)別與聯(lián)系。一般有兩種思路：一種是將條件代入求證式，再證其相等，這種方法叫做代入法；另一種是從條件式出發(fā)，作以求證式為目標(biāo)的變形逐步推出求證式，這種方法叫推出法。（2）如果要證明“角＝角”，則需分三步完成：先證明某同名三角函數(shù)值相等；再證明兩個(gè)角在該三角函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)；最后由函數(shù)的單調(diào)性得出兩個(gè)角相等。特別要注意，前兩步缺一不可。例5、已知A、B、C是的三個(gè)內(nèi)角，。若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化？試證明你的結(jié)論。剖析：這是探究條件變化后結(jié)論是否變化的問(wèn)題。三角形中有三個(gè)角，任意兩角交換位置后，本題有三種情況，從結(jié)構(gòu)上來(lái)看，交換B,C兩角的位置顯然y值無(wú)變化，但該結(jié)構(gòu)對(duì)于角A與角B交換、角A與角C交換并沒(méi)有這么一目了然的效果。于是我們要對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形后探究。=可見(jiàn)，任意交換兩個(gè)角的位置，y值都不變化。反思：本題采用的是猜測(cè)探究法，從角A與角C交換后，y的值無(wú)變化，便大膽地猜想角A與角B交換、角A與角C交換后，y的值也無(wú)變化。而對(duì)稱輪換式具有這樣的性質(zhì)。于是目標(biāo)轉(zhuǎn)化為化簡(jiǎn)y，看它是否對(duì)稱輪換式。大膽猜測(cè)必須小心推證。其本質(zhì)上是一個(gè)對(duì)稱式以部分對(duì)稱或不對(duì)稱的形式出現(xiàn)，關(guān)鍵是對(duì)式子結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形，還其對(duì)稱式的面目，故本題也可理解為是探究結(jié)構(gòu)規(guī)律（特征）。第五節(jié)、三角函數(shù)的求值教學(xué)目標(biāo)：能正確運(yùn)用三角函數(shù)公式及其變形，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值。教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)公式的運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)的求值。例題講解：題型1、給角求值例1、（1）的值為（A）A、1；B、；C、；D、與有關(guān)（2）。注：給角求值問(wèn)題，比較簡(jiǎn)單的一類是直接利用三角公式求解，此時(shí)涉及到的角多為特殊角，較為復(fù)雜的一類是給定非特殊角求值，解決這類問(wèn)題的基本思路有：（1）化為特殊角的三角函數(shù)值，此法關(guān)鍵在于找出所給非特殊角與特殊角的關(guān)系；（2）化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去非特殊角求值；（3）化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分而求值。除上面的變化外，還要注意函數(shù)名稱和次數(shù)的變化，一般地，如果待求值的三角式子中涉及弦函數(shù)、切函數(shù)以及割函數(shù)，則需要考慮“切割化弦”或“弦化切”，如果涉及到高次式則用倍角公式或其變形統(tǒng)一次數(shù)。題型二、給值求值例2、已知，求的值。解：＝例3、設(shè)，求的值。解：又原式＝注：求解給值求值問(wèn)題需要注意以下幾點(diǎn)：（1）注意整體思想在解題中的應(yīng)用，例如已知求的值可直接把“”用“”表示出來(lái)而不必求出的具體值。（2）注意觀察和分析問(wèn)題中各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，特別是相互之間的和、差、倍、半關(guān)系，靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化。（3）要注意條件中所給的角的范圍以及所給的角的函數(shù)值對(duì)所求角的函數(shù)值的制約作用。題型三、給值求角例4、已知，且是第三象限角，是第四象限角，求角的值。解：由可得由是第三象限的角，得；由是第四象限的角，得。注：解決給值求角問(wèn)題的要求和基本方法如下：（1）已知某個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，如果是一個(gè)特殊角則要直接寫出這個(gè)角的大小。（2）如果要求解的角是由一些條件表達(dá)式給出，則一是考慮所求解的角與已知條件中的角的關(guān)系，盡量將所求解的角用已知條件中的角表示出來(lái)；二是考慮求該角的某個(gè)三角函數(shù)值，具體哪個(gè)三角公式，一般可由條件中的函數(shù)去確定：一般已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值時(shí)，選正、余弦函數(shù)，若角的范圍是，正余弦函數(shù)均可；若角的范圍是時(shí)，一般選余弦函數(shù)；若角的范圍是，則一般選正弦函數(shù)。例5、由四個(gè)數(shù)排成2行2列所得的數(shù)表稱為矩陣。例如是一個(gè)矩陣。設(shè)矩陣，。（1）若，則稱矩陣A與B相等，記為A=B。（2）定義兩個(gè)矩陣A與B的和為。若已知，，，，且A,B為的內(nèi)角，求：（1）；（2）的值。解：（1）由矩陣定義和題中條件可得解得（2）為銳角，反思：本題形式上以矩陣出現(xiàn)，根據(jù)矩陣定義推出四個(gè)三角等式，再依據(jù)三角恒等式、倍角公式、半角公式、萬(wàn)能公式等求得最后結(jié)果。本題也可將矩陣換為行列式，重新命題。知識(shí)運(yùn)用：第六節(jié)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1、了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，理解的物理意義。2、會(huì)由已知三角函數(shù)值求角。3、了解周期函數(shù)與最小正周期的意義。教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的運(yùn)用。考點(diǎn)一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、圖像與性質(zhì)：圖像定義域RR值域R周期性最小正周期最小正周期最小正周期遞增區(qū)間遞減區(qū)間奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)2、深化：（1）由基本三角函數(shù)的圖像可以看出，正弦曲線、余弦曲線既是軸對(duì)稱曲線又是中心對(duì)稱曲線，正切曲線只是中心對(duì)稱曲線。（2）正弦曲線、余弦曲線的對(duì)稱軸恰經(jīng)過(guò)相應(yīng)曲線最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，相鄰兩對(duì)稱軸之間函數(shù)的單調(diào)性相同并且相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離恰等于函數(shù)的半個(gè)周期；正弦曲線、余弦曲線的對(duì)稱中心分別是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的零點(diǎn)，相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離也恰好是函數(shù)的半個(gè)周期，并且對(duì)稱軸、對(duì)稱中心間隔排列著。正切曲線的對(duì)稱中心除去零點(diǎn)外還有使正切函數(shù)值不存在的點(diǎn)，用平行于x軸的直線去截正切曲線，相鄰兩交點(diǎn)之間的距離都相等并且都等于正切函數(shù)的周期。（3）函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及對(duì)稱軸、對(duì)稱中心可利用整體代換法由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心求解。考點(diǎn)二、函數(shù)的圖像1、五點(diǎn)作圖法：五點(diǎn)作圖法畫，的圖像的基本步驟是：取值、列表、描點(diǎn)、連線、延伸。其中“五點(diǎn)”是指函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)點(diǎn)，它們分別為：起點(diǎn)、最高點(diǎn)、中間點(diǎn)、最低點(diǎn)、終點(diǎn)。這五個(gè)點(diǎn)的具體找法如下表。x0y0A00五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)依次為.2、圖像變換法：函數(shù)，其中的圖像可以用以下方法得到：先把曲線上所有的點(diǎn)向左（）或向右（）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）。經(jīng)過(guò)上述變化，可以把的圖像變換為的圖像。3、深化：（1）圖像變換法有兩種情形，注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。（2）確定函數(shù)的解析式關(guān)鍵是的確定。一般地，A可由圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定，可通過(guò)函數(shù)的周期來(lái)確定，可以用代入法確定，即把一個(gè)已知點(diǎn)代入函數(shù)解析式求解而得，也可以用五點(diǎn)作圖法的五點(diǎn)求解。（3）當(dāng)函數(shù)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A稱為這個(gè)振動(dòng)的振幅，T稱為這個(gè)振動(dòng)的周期，稱為這個(gè)振動(dòng)的頻率，稱為相位，稱為初相。例題講解：例1、用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)的圖像，并說(shuō)明這個(gè)圖像是由的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的。解：列表如下：0x0200在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的五點(diǎn)：。用平滑的曲線將這五個(gè)點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，最后將其向兩端伸展一下。將的圖像向左平移個(gè)單位得到的圖像，再將的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像，再將的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），即得的圖像。注：作三角函數(shù)圖像的方法有五點(diǎn)作圖法和圖像變換法以及三角函數(shù)線畫法，其中以五點(diǎn)作圖法和圖像變換法為主。例2、設(shè)函數(shù)。已知函數(shù)，的最小正周期相同，且。（1）試確定，的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。解：（1）的最小正周期相同，，即又把由，這與相矛盾由由（2）由故的單調(diào)增區(qū)間為例3、設(shè)，若函數(shù)。（1）寫出的最小正周期T及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2，求此時(shí)函數(shù)的最大值，并指出x取何值時(shí)取到最大值。解：（1）＝的最小正周期為由，得的增區(qū)間是（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值注：（1）求三角函數(shù)定義域時(shí)既要注意一般函數(shù)求定義域時(shí)對(duì)自變量x的限制，如分母不為零，偶次根式被開方數(shù)非負(fù)等，又要注意三角函數(shù)中正切函數(shù)等函數(shù)本身對(duì)自變量的限制。在全面考慮上述對(duì)x的限制后，列出關(guān)于x的最簡(jiǎn)三角不等式（組）。（2）求三角函數(shù)的值域（或最值）既與一般函數(shù)的值域（最值）求法有關(guān)，又有其自身的特點(diǎn)與特殊方法：=1\*GB3①利用三角函數(shù)的有界性等；=2\*GB3②利用三角函數(shù)的增減性；=3\*GB3③利用變量替換把三角函數(shù)值域（或最值）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)值域（最值）求解；=4\*GB3④利用幾何模型例如斜率公式，距離公式等求解。此類問(wèn)題在求解過(guò)程中要特別注意函數(shù)自身的范圍以及條件中角的范圍。（3）判斷三角函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）的一般步驟：=1\*GB3①求復(fù)合函數(shù)的定義域；=2\*GB3②對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)變形，使三角函數(shù)達(dá)到“統(tǒng)一”標(biāo)準(zhǔn)（即一個(gè)函數(shù)名，一個(gè)角，次數(shù)為一次）；=3\*GB3③利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）。（4）求三角函數(shù)的周期的一般方法：=1\*GB3①公式法：將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為“，，”的形式，然后利用周期公式求解。=2\*GB3②圖像法：如果解析式中含有絕對(duì)值符號(hào)可考慮利用圖像判斷；=3\*GB3③定義法：對(duì)定義域中的每一個(gè)自變量x，先由解析式觀察初步確定周期T，然后再利用定義驗(yàn)證。例4、已知函數(shù)的圖像在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為，與x軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為,則這個(gè)函數(shù)的解析式為（B）.A、；B、；C、；D、例5、如圖是某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)。（1）求這段時(shí)間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式。解：注：確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵在于參數(shù)的確定，其中A：可由圖像的最高（低）點(diǎn)確定，或先求出，再代入已知點(diǎn)求解而得。：一般通過(guò)周期公式來(lái)求解，因而要求出，關(guān)鍵在于求出周期。一般地函數(shù)的周期可以由最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、零點(diǎn)的坐標(biāo)或者對(duì)稱軸的方程、對(duì)稱中心的坐標(biāo)等來(lái)求解。：代入法，即把圖像上一個(gè)已知點(diǎn)代入求解，此時(shí)要注意這個(gè)已知點(diǎn)是最值點(diǎn)還是零點(diǎn)，如果是零點(diǎn)還要看清它是在遞增區(qū)間上還是遞減區(qū)間上；五點(diǎn)法，即令中的某一個(gè)，然后把相應(yīng)的x值代入即得。注意在求的值時(shí)要看清題目條件中對(duì)的范圍限制。例6、已知函數(shù)。（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）求圖像的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心。解：＝單調(diào)遞增區(qū)間：，即。遞減區(qū)間：所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：。例7、已知函數(shù)的一段圖像過(guò)點(diǎn)，如圖所示。（1）求的表達(dá)式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，求的最大值，并求此時(shí)自變量x的集合。解：（1）由圖可知，函數(shù)的周期，又為函數(shù)的圖像在一個(gè)周期內(nèi)五點(diǎn)的起點(diǎn)，所以，此時(shí)有又的圖像過(guò)點(diǎn)，，故（2）由題意，函數(shù)的最大值為，此時(shí)即，所以自變量x的集合為注：三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合問(wèn)題一般涉及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的作圖、三角函數(shù)圖像變換、三角函數(shù)各種性質(zhì)的判斷與求解等各個(gè)方面，解決這類綜合問(wèn)題的基本步驟是：（1）先化簡(jiǎn)，一般題設(shè)中給出的三角函數(shù)表達(dá)式比較復(fù)雜，其圖像、性質(zhì)等不易直接判斷求解，因而先化簡(jiǎn)，多數(shù)情況下都可以將三角函數(shù)化為或三種標(biāo)準(zhǔn)形式之一，其中.此外還有可能在上述標(biāo)準(zhǔn)形式后帶有一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，如的形式。（2）若考察函數(shù)圖像變換，則按題目要求對(duì)函數(shù)進(jìn)行相位變換、周期變換、振幅變換、上下平移變換，注意各種變換順序的不同對(duì)平移大小的影響。第七節(jié)、解斜三角形教學(xué)目標(biāo)：1、掌握三角形的邊角關(guān)系、正弦定理、余弦定理，并能運(yùn)用它們解決三角形的有關(guān)問(wèn)題；2、會(huì)用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理、余弦定理。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的運(yùn)用?？键c(diǎn)：1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即。推論：，R為三角形外接圓的半徑；;；。2、余弦定理：在三角形中，任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的2倍，即推論：3、深化：（1）利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形問(wèn)題：=1\*GB3①已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）。（2）利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形問(wèn)題：=1\*GB3①已知兩邊求三個(gè)角；=2\*GB3②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。（3）三角形中常用的其它幾個(gè)結(jié)論：大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三個(gè)內(nèi)角的和為，例題講解：例1、在中，已知求角A，C和邊c的值。解：有兩解由正弦定理，得（1）當(dāng)此時(shí)（2）當(dāng)此時(shí)所以例2、已知的一個(gè)內(nèi)角為，面積為，周長(zhǎng)為20cm，求此三角形的各邊長(zhǎng)。解：設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，且，依題意有，即，解得所以三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm，7cm，8cm。注：（1）“已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角”解三角形，這類問(wèn)題可分為一解、二解和無(wú)解三種情