2024年沈陽(yáng)市高三數(shù)學(xué)第三次模擬聯(lián)考試卷附答案解析

2024年沈陽(yáng)市高三數(shù)學(xué)第三次模擬聯(lián)考試卷試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘2024.05第I卷（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．3．已知，則的值是（

）A． B． C． D．4．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下面說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是280，則實(shí)數(shù)的值等于（

）A．1 B．2 C． D．7．甲?乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為和，在目標(biāo)被擊中的情況下，甲?乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．8．已知是定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A． B． C． D．1二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9．設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為8B．橢圓的離心率C．面積的最大值等于12D．以線段為直徑的圓與圓相切10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，直至出現(xiàn)正面向上，則停止拋擲.設(shè)隨機(jī)變量表示停止時(shí)拋擲的次數(shù)，則B．從6名男同學(xué)和3名女同學(xué)組成的學(xué)習(xí)小組中，隨機(jī)選取2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，設(shè)隨機(jī)變量表示所選取的學(xué)生中男同學(xué)的人數(shù)，則C．若隨機(jī)變量，則D．若隨機(jī)變量，則當(dāng)減小，增大時(shí)，保持不變11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則在上的最小值為0B．若，則點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足條件的值有3個(gè)D．若對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程在區(qū)間內(nèi)的解的個(gè)數(shù)恒大于4且小于10，則滿足條件的值有7個(gè)第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量滿足，，則.13．在中，已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積為，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，，若，則.14．已知，且，若，且，則正整數(shù)的值為.四?解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15．設(shè)公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.16．某類(lèi)型的多項(xiàng)選擇題設(shè)置了4個(gè)選項(xiàng)，一道題中的正確答案或是其中2個(gè)選項(xiàng)或是其中3個(gè)選項(xiàng).該類(lèi)型題目評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：每題滿分6分，若未作答或選出錯(cuò)誤選項(xiàng)，則該題得0分；若正確答案是2個(gè)選項(xiàng)，則每選對(duì)1個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若正確答案是3個(gè)選項(xiàng)，則每選對(duì)1個(gè)正確選項(xiàng)得2分.甲?乙?丙三位同學(xué)各自作答一道此類(lèi)題目，設(shè)該題正確答案是2個(gè)選項(xiàng)的概率為.(1)已知甲同學(xué)隨機(jī)（等可能）選擇了2個(gè)選項(xiàng)作答，若，求他既選出正確選項(xiàng)也選出了錯(cuò)誤選項(xiàng)的概率；(2)已知乙同學(xué)隨機(jī)（等可能）選出1個(gè)選項(xiàng)作答，丙同學(xué)隨機(jī)（等可能）選出2個(gè)選項(xiàng)作答，若，試比較乙?丙兩同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望的大小.17．已知函數(shù)（其中），.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.18．已知四棱柱中，平面，在底面四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)若平面平面，求三棱錐的體積；(2)設(shè)且，若直線與平面所成角等于，求的值.19．設(shè)拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且.若拋物線的焦點(diǎn)為，記的面積分別為.(1)求的最小值.(2)設(shè)點(diǎn)，直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).(3)我國(guó)古代南北朝數(shù)學(xué)家祖暅所提出的祖暅原理是“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，記線段與拋物線圍成的封閉圖形為繞軸旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體為.試用祖桓原理的數(shù)學(xué)思想求出的體積.1．B【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】由，得或，而，所以.故選：B2．D【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法及乘方運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】依題意，，所以.故選：D3．D【分析】利用二倍角公式和同角之間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)行求解判斷選項(xiàng)【詳解】當(dāng)，則故選：D4．B【分析】根據(jù)直線和平面平行和垂直的性質(zhì)即可判斷出它們的位置關(guān)系，逐項(xiàng)得出結(jié)論即可.【詳解】對(duì)于A，若，則可能平行或相交，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即B正確；對(duì)于C，若，則或，可知C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則或，可知D錯(cuò)誤；故選：B5．A【分析】若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，參變分離得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，則，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)?，所以“”是“在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A6．C【分析】根據(jù)題意，求得展開(kāi)式的通項(xiàng)，確定的值，列出方程，即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，解得.故選：C.7．C【分析】根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，由相互獨(dú)立事件的概率公式，計(jì)算可得目標(biāo)被擊中的概率，再由條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，甲?乙同時(shí)擊中目標(biāo)為事件，則，，所以，，則在目標(biāo)被擊中的情況下，甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為.故選：C.8．A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到，再由奇函數(shù)的性質(zhì)得到，從而推導(dǎo)出，再由所給解析式及周期性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，又是奇函數(shù)，所以，即，所以，則，所以是以為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性，從而利用周期性求出函數(shù)值.9．ACD【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，則半焦距，對(duì)于A，的最大值為，A正確；對(duì)于B，橢圓的離心率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則，而，因此面積的最大值等于，C正確；對(duì)于D，以線段為直徑的圓為的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，則圓與圓外切，D正確.故選：ACD10．BCD【分析】求出判斷A；利用超幾何分布的期望公式計(jì)算判斷B；利用二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算判斷C，利用正態(tài)分布的特定區(qū)間的概率判斷D.【詳解】對(duì)于A，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面、反面的概率均為，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然隨機(jī)變量服從超幾何分布，則，B正確；對(duì)于C，由隨機(jī)變量，得，C正確；對(duì)于D，由正態(tài)分布的意義知，為定值，D正確.故選：BCD11．AC【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷ABC；把方程等價(jià)轉(zhuǎn)化成，作出函數(shù)的圖象和直線，結(jié)合圖象分析判斷D.【詳解】，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A正確；對(duì)于B，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心的縱坐標(biāo)應(yīng)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由，，解得，因此，C正確；對(duì)于D，方程等價(jià)于，函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)，如圖，函數(shù)的最小正周期，設(shè)，（其中)，顯然，由下圖可知，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)的解的個(gè)數(shù)，所以區(qū)間長(zhǎng)度應(yīng)滿足：，由，則，化簡(jiǎn)得，所以，正整數(shù)的值有11個(gè)，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性問(wèn)題，先根據(jù)給定的自變量取值區(qū)間求出相位的范圍，再利用正(余)函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即得.12．【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，又，所?故答案為：13．##【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解即得.【詳解】依題意，，而，即，解得，在中，由余弦定理得，所以.故答案為：14．109【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化關(guān)系，結(jié)合已知可得，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)在上的圖象、以點(diǎn)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，進(jìn)行“割線放縮”求出值.【詳解】依題意，，設(shè)，顯然是增函數(shù)，從而是方程的唯一解，由，且當(dāng)時(shí)，，得，從而應(yīng)略小于11，需要判斷與10.9的大小關(guān)系，先估算的近似值.考慮函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)之間的線段，然后進(jìn)行“割線放縮”，，，所以.故答案為：109【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考慮函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)之間的線段，然后進(jìn)行“割線放縮”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.15．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程，求出，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，即，從而得到，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，成等比數(shù)列，則，即，將代入上式，解得或（舍去）．；（2）由（1）得，又，所以，所以，則．16．(1)(2)乙同學(xué)得分?jǐn)?shù)學(xué)期望小于丙同學(xué)得分?jǐn)?shù)學(xué)期望【分析】（1）記事件為該題的正確答案是個(gè)選項(xiàng)，則為該題的正確答案是個(gè)選項(xiàng)，設(shè)事件為甲同學(xué)既選出正確選項(xiàng)也選出錯(cuò)誤選項(xiàng)，利用全概率公式計(jì)算可得；（2）設(shè)表示乙同學(xué)答題得分，則的可能取值為，，，設(shè)表示乙同學(xué)答題得分，則的可能取值為，，，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望，從而判斷.【詳解】（1）記事件為該題的正確答案是個(gè)選項(xiàng)，則為該題的正確答案是個(gè)選項(xiàng)，即，，由得，，，設(shè)事件為甲同學(xué)既選出正確選項(xiàng)也選出錯(cuò)誤選項(xiàng)，則，，則.（2）由得，，，設(shè)表示乙同學(xué)答題得分，則的可能取值為，，，所以，，，所以，設(shè)表示乙同學(xué)答題得分，則的可能取值為，，，所以，，，所以，即，故乙同學(xué)得分?jǐn)?shù)學(xué)期望小于丙同學(xué)得分?jǐn)?shù)學(xué)期望．17．(1)(2)【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程；（2）轉(zhuǎn)化為，令，二次求導(dǎo)得到單調(diào)性和最小值，求出，得到答案.【詳解】（1）時(shí)，，，，故，故函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為，即（2）時(shí)，恒成立，故，令，定義域?yàn)?，則，令，則在恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，的取值范圍是.18．(1)(2)3【分析】（1）過(guò)作于點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定證得，再在底面四邊形中進(jìn)行相關(guān)計(jì)算即可得解.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法列式求解即得.【詳解】（1）過(guò)作于點(diǎn)，由平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，則，

在四棱柱中，平面，即平面，而平面，于是，又平面，則平面，又平面，則，在底面四邊形中，，即，又，則，即，且，又有，則在等腰直角中，，即，又，則，，又，所以.（2）由四棱柱中，平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，在平面中，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，則，即，整理得，而解得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用向量法求直線與平面所成的角，求出平面的法向量是關(guān)鍵，并注意公式求出的是線面角的正弦．19．(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求出，再列出面積表達(dá)式，利用基本不等式求解即得.（2）設(shè)，求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合（1）的信息可得，再設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理推理即得.（3）根據(jù)給定條件，利用祖暅原理分析計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，直線，由消去y整理得，，由，得，解得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為.（2）設(shè)，則直線的斜率，方程為，由（1）知拋物線，由消去y得，整理得，顯然，于是，又，聯(lián)立消去，得，設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，整理得:，