廣東省廣州市天河區(qū)新昌學校2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題

廣東省廣州市天河區(qū)新昌學校2023－2024學年九年級（上）期中數(shù)學試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫做一元二次方程，逐一判斷即可求解，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、中未知數(shù)的最高次數(shù)是，不是一元二次方程，不合題意；、中含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不合題意；、不是整式方程，故不是一元二次方程，不合題意；、是一元二次方程，符合題意；故選：．2.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將一個圖形沿著某一點旋轉(zhuǎn)后能與自身完全重合的圖形是中心對稱圖形，根據(jù)定義判斷．【詳解】解：A、不符合定義，故該選項不符合題意；B、符合定義，故該選項符合題意；C、不符合定義，故該選項不符合題意；D、不符合定義，故該選項不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了中心對稱圖形的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．3.若a、b是菱形的兩條對角線的長，且a、b是一元二次方程的兩個根，則菱形的邊長為（）A.4 B.5 C. D.10【答案】B【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，菱形的性質(zhì)，勾股定理，先求出方程的解，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，再根據(jù)勾股定理求出即可．能熟記菱形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的對角線互相垂直平分．菱形的四條邊都相等．勾股定理：若三角形的兩條直角邊為a和b，斜邊為c，則．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．【詳解】解：解方程，∴或解得或8，所以菱形的對角線為6和8，設(shè)菱形的對角線和交于O，所以，，，由勾股定理得：，即菱形的邊長是5．故選：B．4.將拋物線先向下平移4個單位，再向左平移5個單位，得到的新拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：將拋物線先向下平移4個單位，再向左平移5個單位，得到的新拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．5.若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有兩個相等實數(shù)根，則a的值是（）A.4 B.﹣4 C.1 D.﹣1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式=0，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a的值．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有兩個相等實數(shù)根，∴∴a=1故選：C【點睛】本題考查了一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的根的判別式=b2﹣4ac；當＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當＜0，方程沒有實數(shù)根；也考查了一元二次方程的定義．6.如圖，在中，以C為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)得到，邊，相交于點F，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，得，，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，故選：C【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.已知拋物線，若點，都在該拋物線上，則大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，開口方向向下自變量離對稱軸越近則函數(shù)值越大．【詳解】解：，，，，且二次函數(shù)圖像開口方向向下自變量距離對稱軸越近函數(shù)值越大，．故選：C．8.由于疫情得到緩和，餐飲行業(yè)逐漸回暖，某家餐廳重新開張，開業(yè)第一天收入約為3020元，之后兩天的收入按相同的增長率增長，第三天收入約為4350元．設(shè)每天的增長率為x，根據(jù)題意可列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)每天的增長率為x，則第二天收入3020（1+x）元，第3天收入為3020（1+x）（1+x），再根據(jù)條件“第3天收入約為4350元”列出方程即可．【詳解】解：設(shè)每天的增長率為x，由題意得：，故選：C．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，再設(shè)出未知數(shù)，列出方程．9.當ab＜0時，y＝ax與y＝ax＋b的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，ab＜0，分a＞0與a＜0兩種情況討論，分析選項可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，ab＜0，當a＞0時，b＜0，y=ax2開口向上，過原點，y=ax+b過一、三、四象限；此時，A選項符合，當a＜0時，b＞0，y=ax2開口向下，過原點，y=ax+b過一、二、四象限；此時，沒有選項符合．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，要求學生理解系數(shù)與圖象的關(guān)系．10.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0，3)，點B在第一象限內(nèi)，AO=AB，∠OAB=120°，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2021次旋轉(zhuǎn)后，點B的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出B1～B5的坐標，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：過點B作BH⊥y軸于H．

在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠BAH=180°-120°=60°，AB=OA=3，∴∠ABH=30°，∴AH=AB=，∴由勾股定理得：BH=，∵AO=AB，∠OAB=120°，∴∠BOH=30°，∴OB=2BH=，∴B（，），由題意B1（-，），B2（-，0），B3（-，-），B4（，-），B5（，0），…，6次一個循環(huán)，∵2021÷6=336…5，∴B2021（，0），故選：A．【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律的方法．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11.若函數(shù)，則自變量x的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，根據(jù)分母不能為0即可作答．【詳解】解：若函數(shù)有意義，則．故答案為：．12.若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣1，則另一個根為________．【答案】-2【解析】【詳解】試題解析：由韋達定理可得，故答案為13.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，且點A、B都在原點右側(cè)，拋物線的頂點為點P，當為直角三角形時，m的值為________．【答案】2【解析】【分析】設(shè)點，，則，求出點，由拋物線的對稱性知為等腰直角三角形，建立方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可求得m值．【詳解】解：設(shè)點，，則，令得，∴，，則，由拋物線得頂點坐標為，拋物線的對稱性知為等腰直角三角形，∴，即，解得：或或，∵拋物線與x軸交于A、B兩點，且點A、B都在原點右側(cè)，∴且且，即且，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系、解高次方程等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．14.等腰三角形的一邊為9，另兩邊恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則的值是__________．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根據(jù)題意可得或，進而求解即可．【詳解】解：設(shè)的兩個根分別為，∴，，∵等腰三角形的一邊長為9，另兩邊的長是關(guān)于x的方程的兩根，∴或，當時，三邊為9，9，1，滿足三角形的三邊關(guān)系，此時；當時，三邊為9，3，3，不滿足三角形的三邊關(guān)系，舍去；∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．15.如圖，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△AED，連接對應點C、D，AE垂直平分CD于點F，則旋轉(zhuǎn)角度是_____°．【答案】40【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出∠DAC的度數(shù)即可．【詳解】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△AED，∠BAC＝20°，∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，∵AE垂直平分CD于點F，∴∠DAE＝∠CAE＝20°，∴∠DAC＝20°+20°＝40°，即旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是40°，故答案為：40．【點睛】本題主要考查了圖像旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)，從而得到邊相等與角相等的條件．16.在直角坐標系中，已知線段的端點是，，若拋物線與線段有兩個交點，則a的取值范圍是________．【答案】或【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的圖象上的點的特征等知識，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．根據(jù)題意得出，，，拋物線對稱軸為直線，然后進行分類討論：當時，，當時．【詳解】解：如圖，軸，與y軸交于P．，，，∴的中點坐標為，的中點坐標為，由，得，．拋物線對稱軸為直線．當時，．∴．當時，，∴，綜上，滿足條件的a的值為或．故答案為：或．三．解答題（共9小題，滿分72分）17.解下列方程：（1）（2）【答案】（1）x1=﹣1，x2=3；（2）x1=﹣3，x2=【解析】【分析】（1）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可解答；（2）根據(jù)十字相乘法解一元二次方程即可解答．【詳解】解：（1）原方程可化為：，∴x+1=0或x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3；（2）原方程可化為：，∴（x+3）(2x﹣1)=0，∴x+3=0，2x﹣1=0，解得：x1=﹣3，x2=．【點睛】本題考查了解一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題型，掌握并靈活選用解一元二次方程的方法是解答的關(guān)鍵．18.如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且于點，求的度數(shù)．【答案】．【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂直的定義和直角三角形的兩銳角互余，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，由得，則，最后根據(jù)角度和差即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及應用．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，∵，∴，∴，∴．19.在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為．（每個方格的邊長均為1個單位長度）（1）畫出關(guān)于原點對稱的圖形，并寫出點的坐標；（2）畫出繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出點的坐標；（3）寫出經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)可直接得到．（請將20題（1）（2）小問的圖都作在所給圖中）【答案】（1）見解析，；（2）見解析，（3）繞點O順時針時針旋轉(zhuǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得：關(guān)于原點的對稱點為，再順次連接，即可求解；（2）根據(jù)題意得：繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后的對稱點為，再順次連接；（3）根據(jù)題意得：繞點O順時針時針旋轉(zhuǎn)后可直接得到，即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得：關(guān)于原點的對應點為，畫出圖形如下圖所示：小問2詳解】解：根據(jù)題意得：繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應點為，畫出圖形如下圖所示：【小問3詳解】解：根據(jù)題意得：繞點O順時針時針旋轉(zhuǎn)后可直接得到．【點睛】本題主要考查了圖形的變換——畫關(guān)于原點對稱，繞原點旋轉(zhuǎn)后圖形，得到圖形關(guān)于原點對稱，繞原點旋轉(zhuǎn)后對應點的坐標是解題的關(guān)鍵．20.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一實數(shù)根大于2，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求證；（2）利用因式分解法，求出方程的兩個根為，再由該方程有一實數(shù)根大于2，即可求解．【小問1詳解】解：，根據(jù)題意得：，∴方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】解：，∴，解得：，∵該方程有一實數(shù)根大于2，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．21.康輝旅行社推出了一則紅色旅游促銷廣告如下：我社推出去廣安小平故里紅色旅游，收費標準為：①組團人數(shù)不超過30人，人均收費800元；②組團人數(shù)超過30人，每增加1人，人均收費降低10元．但人均收費不得低于500元．在“不忘初心，牢記使命”主題教育活動期間，某單位決定分批組織全體職工參觀學習，緬懷改革開放總設(shè)計師鄧小平同志．（1）如果該單位第一批組織40人去參觀學習，則公司應向旅行社交費多少元？（2）如果該單位計劃用29250元組織第一批職工去學習，問這次參觀學習應安排多少人參加？【答案】（1）28000元（2）45人【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式或方程．（1）根據(jù)各數(shù)量之間關(guān)系，列式計算；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．【小問1詳解】解：（元．答：公司應向旅行社交費28000元．【小問2詳解】解：設(shè)這次參觀學習應安排人參加，則人均費用為元，依題意得：，整理得：，解得：，．當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去．答：這次參觀學習應安排45人參加．22.已知，是一元二次方程兩實數(shù)根，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）16（2）2【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知：的兩根滿足．（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對展開式進行代入計算即可．（2）先將根代入原方程，得到，移項后得，再代入，最后利用兩根之和再代入即可求得結(jié)果．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，得，．；【小問2詳解】∵，是一元二次方程的兩實數(shù)根，∴，∴．∴1．23.【閱讀材料1】為解方程，我們可以將看作一個整體，然后設(shè)，那么原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解是，，，．我們將上述解題的方法叫換元法．【閱讀材料2】已知實數(shù)，滿足，且，顯然m，n是方程兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：（1）直接應用：解方程，可設(shè)__________，原方程可化為__________．經(jīng)過運算，原方程的解是__________．（2）間接應用：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．【答案】（1），，，；（2）【解析】【分析】本題考查的是換元法解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的應用，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵；（1）設(shè)，原方程可化為，再解方程求解y，再分類求解x的值即可；（2）先判斷，可得，是方程的兩個根，可得，，再利用完全平方公式的變形進行求解即可．【小問1詳解】解：解方程，可設(shè)，原方程可化為，∴，解得：，，當，則，解得：，當時，則，方程無解，∴原方程的解為：，；【小問2詳解】∵的兩個根為，，則，∴，不互為相反數(shù)，∴，∵實數(shù)，滿足，，且，∴，∴，是方程的兩個根，∴，，∴．24.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”實踐活動，是一種非常有效的學習方式．我們一起來動手、動腦玩轉(zhuǎn)數(shù)學吧．（1）折一折：將正方形紙片折疊，使邊，都落在對角線上，展開得折痕，，連接，如圖1．（2）轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊，于點P，Q，連接，如圖2．證明：；（3）若正方形的邊長為6，且，求的長．【答案】（1）45（2）見解析（3）3【解析】【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知：，，根據(jù)正方形的性質(zhì)：，則；（2