考點(diǎn)34 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系9種常見(jiàn)考法歸類-【考點(diǎn)通關(guān)】2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)（解析版）

考點(diǎn)34空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系9種常見(jiàn)考法歸類

雷,高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一平面的概念及基本性質(zhì)考點(diǎn)六等角定理

考點(diǎn)二證明“點(diǎn)共面”、“線共面”考點(diǎn)七異面直線所成的角

考點(diǎn)三證明“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”考點(diǎn)八空間直線與平面位置關(guān)系判斷

考點(diǎn)四平面基本性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)九平面與平面位置關(guān)系的判斷

考點(diǎn)五判斷兩條直線的位置關(guān)系

解題策略

1.平面的幾個(gè)特點(diǎn)

(1)平面是平的；

(2)平面是沒(méi)有厚度的；

(3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的

2.三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法

(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位

置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示.

(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“G”或“在”，直線與平面的位置關(guān)系只

能用“U”或.

提醒：根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.

3.點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語(yǔ)言表達(dá)

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

A在/上AG/——*——/

?A

A在/外A^l_________1

A在Q內(nèi)A^a4'A/

?A

A在a外4_/

/與，〃平行l(wèi)//m

/?加相交于AlC\m=A

1與m異面樂(lè)、f/

/在a內(nèi)lua/__7

/與a平行l(wèi)//a

1,a相交于AlCia=A

/在a外/a。%/或%K

?,夕相交于/an/?=l

/一/

a與月平行a//!J4______

4.平面的基本性質(zhì)

(1)基本性質(zhì)

基本

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用

事實(shí)

A,B,C三點(diǎn)不共

基本過(guò)不在一條直線上的三

線=存在唯一的確定平面；判定點(diǎn)

事實(shí)個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平

/I"平面a使A,B,線共面

1面

C^a

基本如果一條直線上的兩個(gè)確定直線在平面

Ae/,Be/,且

事實(shí)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么內(nèi)；判定點(diǎn)在平面

BGanlua

2這條直線在這個(gè)平面內(nèi)內(nèi)

如果兩個(gè)不重合的平面

基本P^a,且

有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它判定兩平面相交；

事實(shí)PG-nB=i,且

們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)判定點(diǎn)在直線上

3P0

的公共直線

(2)基本事實(shí)1與2的推論

推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用

經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線A￡/=有且只有一(1)判定若干條直

推論1外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平/>y個(gè)平面a,使線共面的依據(jù)

面lua(2)判定若干平面

8=p=有且只有重合的依據(jù)

經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且

推論2一個(gè)平面a,使(3)判定幾何圖形

只有一個(gè)平面

qua,bua是平面圖形的依據(jù)

a//。=有且只有一

經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且

推論3個(gè)平面a,使aua,

只有一個(gè)平面口

bua

5.證明點(diǎn)、線共面、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法

證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入

的常用方法法”；

(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面a,其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面口，再證平面

a與夕重合，即用“同一法”；

(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，即用“反證法”.

要證明點(diǎn)共線問(wèn)題

(1)公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公

理3證明這些點(diǎn)都在交線上

(2)同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.

證明線共點(diǎn)問(wèn)題的

證明若干線共點(diǎn)的基本思路是先找出兩條直線的交點(diǎn)，再證明其他直線都經(jīng)過(guò)該

方法

點(diǎn).而證明直線過(guò)該點(diǎn)的方法是證明點(diǎn)是以該直線為交線的兩個(gè)平面的公共點(diǎn).

6.證明三點(diǎn)共線的方法

(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可知，這些點(diǎn)都在

兩個(gè)平面的交線上.

(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上.

7.判斷四點(diǎn)共線的方法有：

(1)四點(diǎn)中兩點(diǎn)連線所成的兩條直線平行、相交或重合；

(2)由其中三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證明第四點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)；

(3)若其中三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)一定共面.

8.證明三線共點(diǎn)的步驟

(1)首先說(shuō)明兩條直線共面且交于一點(diǎn)；

(2)說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交；

(3)得到交線也過(guò)此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn).

9.證明四點(diǎn)共面的基本思路：

一是直接證明，即利用基本事實(shí)或推論來(lái)直接證明；二是先由其中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證

第四個(gè)點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)即可;

10.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

(1)空間中直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形符號(hào)共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

共

相交直線a('b=P在同一個(gè)平面內(nèi)1

1111/^7

直

平行直線在同一個(gè)平面內(nèi)

線a//b0

不同在任何一個(gè)

異面直線a^a=0

平面內(nèi)

(2)空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置直線在直線與直線與

關(guān)系平面內(nèi)平面相交平面平行

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)10

\/__________________i

//

圖形表示//'、、/

符號(hào)luaa=P1//a

當(dāng)直線與平面相交或平行時(shí)，直線不在平面內(nèi)，也稱為直線在平面外.

(3)空間中平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩個(gè)平面相交兩個(gè)平面平行

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)有一條公共直線0

符號(hào)表示an°=aa//p

4____/

圖形表示

/"http:///

11.平行公理

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

12.等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

13.唯一性定理

(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

14.判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅

(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系.特別關(guān)注異面直線.

(2)重視正方體等常見(jiàn)幾何體模型的應(yīng)用，會(huì)舉例說(shuō)明兩條直線的位置關(guān)系.

-

空

構(gòu)

可

間

幾

造

兩

模

何

直

張

線

型

位

體

方

置

正

或

關(guān)

的

方

條

15.判定或證明兩直線異面的常用方法：

(1)定義法：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.(證明兩條直線既不平行又不相交.)

(2)定理法：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.

用符號(hào)語(yǔ)言可表示為/Ua,Aia,BGa,8空/今AB與/是異面直線(如圖).

(3)推論法：一條直線上兩點(diǎn)與另一一條與它異面的直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線.

(4)分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面.

16.反證法：證明立體幾何問(wèn)題的一種重要方法.

證明步驟有三步：第一步是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步是由此假設(shè)推出與已知條件或某一公理、

定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步是推翻假設(shè)，從而原命題成立.

17.直線與平面位置關(guān)系的判斷

(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問(wèn)題的突破口，這類判斷問(wèn)題，常用分類討論的方法解

決.另外，借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體等)也是解決這類問(wèn)題的有效方法.

(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點(diǎn)在平面a內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說(shuō)明直線與

平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，要證明直線與平面平行，則必須說(shuō)明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn).

18.平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法

(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn).

(2)平面與平面平行的判斷，主要是說(shuō)明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn).

19.常見(jiàn)的平面和平面平行的模型

(1)棱柱、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)的上下底面平行；

(2)長(zhǎng)方體的六個(gè)面中，三組相對(duì)面平行.

20.異面直線所成的角

(1)定義：設(shè)“，是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線"〃小b'//b,把〃與〃所成的銳角或直

角叫作異面直線a,6所成的角(或夾角).

(2)范圍：

21.求異面直線所成的角的方法

(1)求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線

平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移.計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形

中進(jìn)行.

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)

題來(lái)解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

7T

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是(0,二］,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面

直線所成的角.

求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.

(2)向量法(基底法、坐標(biāo)法)求異面直線所成的角

根據(jù)題意，確定兩異面直線各自的方向向量a,b,則兩異面直線所成角。滿足cos0=■!——!■.

Ia||h|

I考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一平面的概念及基本性質(zhì)

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列命題：①書桌面是平面；②有一個(gè)平面的長(zhǎng)是50m,寬為20m；③平

面是絕對(duì)平的、無(wú)厚度、可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.

【答案】I

【分析】根據(jù)平面的定義判斷.

【詳解】平面是無(wú)限延展的，沒(méi)有長(zhǎng)度、厚度，通常用平行四邊形表示平面，但平面不是平行四邊形.題

中只有③正確.

故答案為：1.

2.（2023春?高三課時(shí)練習(xí)）下面說(shuō)法中正確的是（）

A.任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面

B.平靜的太平洋面是平面

C.平面就是平行四邊形

D.在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個(gè)平面

【答案】D

【分析】根據(jù)平面的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，平面是無(wú)限延展的，所以一個(gè)平面圖形不是一個(gè)平面，所以A不正確；

對(duì)于B中，平靜的太平洋面是個(gè)有邊界的圖形，不是平面，所以B不正確；

對(duì)于C中，平面可以用平行四邊形表示，但平面不是是平行四邊形，所以C不正確；

對(duì)于D中，在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個(gè)平面，所以D正確.

故選：D.

3.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）一個(gè)平面把空間分為部分；兩個(gè)平面把空間分為部

分；三個(gè)平面把空間分為部分.

【答案】23或44或6或7或8

【分析】根據(jù)空間中平面與平面的位置關(guān)系判斷即可；

【詳解】一個(gè)平面把空間分為2部分；

兩個(gè)平行平面將空間分成3部分，兩個(gè)相交平面可以將空間分成4部分，

故兩個(gè)平面將空間分成3或4部分；

當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成4部分，如圖1所示；

當(dāng)有兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)面都相交，此時(shí)將空間分成6部分，如圖2所示；

當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交于條直線時(shí)，可以把空間分成6部分，如圖3所示：

當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，且三條直線互相平行時(shí)，將空間分成7部分，如圖4所示；

當(dāng)兩個(gè)平面豎著相交，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，

即三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，此時(shí)可將空間分成8部分，如圖5所示;

綜上可得三個(gè)平面把空間分為4或6或7或8部分.

4.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知4、B、C為空間中的三個(gè)點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面有個(gè).

【答案】1或無(wú)數(shù)

【分析】根據(jù)三點(diǎn)的位置關(guān)系，結(jié)合確定平面的依據(jù)，即可判斷.

【詳解】當(dāng)三點(diǎn)A、B、C不共線時(shí)，則經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面有1個(gè)，當(dāng)三點(diǎn)A、B、C共線時(shí)，則經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平

面有無(wú)數(shù)個(gè).

故答案為：1或無(wú)數(shù)

5.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）一條直線和直線外三點(diǎn)最多可以確定個(gè)平面.

【答案】4

【分析】分情況討論每種可能的結(jié)果，最后再取最多的那個(gè)即可.

【詳解】（1）如果直線外三點(diǎn)共線，且所在直線與已知直線平行，可確定1個(gè)平面；如果直線外三點(diǎn)共線，

且所在直線與已知直線相交，可確定1個(gè)平面；

（2）如果直線外三點(diǎn)共線，且所在直線與己知直線異面，可確定3個(gè)平面；如果直線外三點(diǎn)不共線，連

接任意兩點(diǎn)的3條直線中，兩條與已知直線均異面，第三條與已知直線平行，可確定3個(gè)平面；如果直

線外三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)的3條直線中，兩條與已知直線均異面，第三條與已知直線相交，可確定

3個(gè)平面；如果直線外三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)的3條直線中，兩條與已知直線均異面，第三條與已知

直線相交，可確定3個(gè)平面；如果直線外三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)的3條宜線中，一條與已知宜線均

異面，其它兩條與已知直線相交，可確定3個(gè)平面；

（3）如果直線外三點(diǎn)不共線，且任意兩點(diǎn)所在直線與已知直線均異面，可確定4個(gè)平面；

綜上所述，最多可確定4個(gè)平面.

故答案為：4

考點(diǎn)二證明“點(diǎn)共面”、“線共面”

6.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）給出下列命題：①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；②三條平行直線都與另一條直線

相交，則這四條直線共面；③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④每?jī)蓷l都相交并且交點(diǎn)全部不同的四條直

線共面.其中正確的命題為.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷選項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于①，由于梯形為平面圖形，故四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，所以①正確；

對(duì)于②，不妨設(shè)a//》//d,ca=A,cb=B,c「d=C,則。、b唯一確定一個(gè)平面a,

所以Aea,Bwa,所以A8ua,又Aec,Bec,所以cua,

所以Cwa,乂a//d,〃ua,所以dua,故三條平行直線都與另一條直線相交，則這四條直線共面，所

以②正確；

對(duì)于③，當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí)，兩個(gè)平面可以不重合，故③不正確；

對(duì)于④，因?yàn)閮蓛上嘟磺也贿^(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)，

所以由直線在平面內(nèi)的判定性質(zhì)知滿足條件的第四條直線必在該平面內(nèi)，故④正確.

綜上①②④正確.

故答案為：①②④.

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知空間四個(gè)點(diǎn)，則”這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一

平面內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，由此可驗(yàn)證充分性成立；”這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)''時(shí)，可能

有“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”，從而必要性不成立.

【詳解】“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上“，則第四點(diǎn)不在共線三點(diǎn)所在的直線上，

因?yàn)橐粭l直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定能推出“這四點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)“，從而充分性成立；

“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)''時(shí)，可能有“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”，不一定有三點(diǎn)在同一直線上，從

而必要性不成立，

所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的充分不必要條件.

故選：A.

8.【多選】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)

法中正確的是（）

A.直線8與直線G”共面B.直線CO與直線EF異面

C.直線A8與直線EF共面D.直線GH與直線E尸異面

【答案】ACD

【分析】作出正方體的直觀圖，逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】如圖，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，則C￡＞與GH相交，故A正確；

在正方體中，CE//DF旦CE=DF,故四邊形8莊為平行四邊形，二CO〃防,

則以＞、EF共面，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?故A8、EF共面，故C正確;

由圖可知，EF、G”不在同一個(gè)平面，且EF、G”既不平行也不相交,

:.EF、GH為異面直線，故D正確.

故選：ACD.

9.（2023?吉林?長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體ABC。-A8cp中，直線與平面AAQ

的交點(diǎn)為為線段qR的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AM,O三點(diǎn)共線B.M,。,4,8四點(diǎn)異不共面

C.B,q,O,M四點(diǎn)共面D.B，A，C,M四點(diǎn)共面

【答案】C

【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知A，A，G，C四點(diǎn)共面且耳是異面直線，再根據(jù)M與AC、面ACGA、

面ABtD］的位置關(guān)系知M在面ACGA與面ABR的交線上，同理判斷O、.A,即可判斷各選項(xiàng)的

正誤.

因?yàn)锳A,HCCX.

則A4，C”C四點(diǎn)共面.

因?yàn)镸eAC，

則Me平面ACC0,

又Me平面ABQ,

則點(diǎn)M在平面ACGA與平面的交線上，

同理，O、A也在平面ACCM與平面4BQ的交線上,

所以AM,O三點(diǎn)共線；

從而M,O，A，*A四點(diǎn)共面，都在平面ACC.A內(nèi)，

而點(diǎn)8不在平面ACC,內(nèi)，

所以M,0，A，8四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；

B,BVO,三點(diǎn)均在平面BBRD內(nèi)，

而點(diǎn)A不在平面88QO內(nèi)，

所以直線A。與平面B4RD相交旦點(diǎn)。是交點(diǎn)，

所以點(diǎn)M不在平面BBRD內(nèi)，

即B,B「O,M四點(diǎn)不共面，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

BC0[A,][BC=D、A,

所以BCAA為平行四邊形，

所以CA1m共面，

所以B，A，C,M四點(diǎn)共面，

故選項(xiàng)D正確.

故選:c.

10.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，正方體中，E、尸分別是AA、CG上的點(diǎn)，并且4E=C尸.求證:

B、E、R、尸共面.

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)以及已知，AB=D{C{,AE=FG.然后結(jié)合圖象，即可得出AE=FG，進(jìn)而得

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，AB=DtCl,AA.//CQ,AE//CtF.

又因?yàn)锳E=GF,所以，AE=FCt.

因?yàn)锽E=AE_AB—￡）|￡=CQ「C、F=FDi,

顯然區(qū)不共線，所以BE//FR,

所以，B、E、2、F共面.

11.（2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在直四棱柱ABC。-A8CQ中，CD//AB,AB=AA,=3,

CD=2,P為棱AB上一點(diǎn)，且BP=f（幾為常數(shù)），直線與平面P4G相交于點(diǎn)2則線段。。的

長(zhǎng)為.

7J

【分析】根據(jù)題意作輔助線，根據(jù)平行關(guān)系可得E而，取RQ=GE,根據(jù)平行關(guān)系可得CO/e

進(jìn)而可知點(diǎn)Q即為直線DtD與平面PAC,的交點(diǎn),即可得結(jié)果.

【詳解】：所―=3,所以八百

分別過(guò)G，"作垂足分別為F,E,分別過(guò)E,F作EN_LA8,nW，A8,垂足分別為

N,M,

可得CQEF,MNEF均為平行四邊形，則CQ=EF=MN=3,

過(guò)點(diǎn)P作尸。〃AP,交直線A。于點(diǎn)。，則ZMBP:/XFEG,

一由PBAB3/1

可得寶二五’即mGE=^^=A±1^=2￡,

AB32+1

72

在DQ上取點(diǎn)。，使得AQ=GE=3,

4+1

'：EN//例，①〃DDt,則EN//DDt,

可知：D.Q//EG,D,Q=EG,即O?GE為平行四邊形,

/.GQ//DtE,GQ=DtE,

又"為平行四邊形，則C尸〃RE,C,F=D,E,

可得GQ〃C/，GQ=C,F,

故C.QGF為平行四邊形，則CQMGF,

又：人2〃AP,則GQ〃”，

即A,P,ct,Q四點(diǎn)共面，故點(diǎn)。即為直線R。與平面PAG的交點(diǎn),

22

:.D.Q=——

'2+1

24

故答案為:

4+1

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理截面問(wèn)題時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系問(wèn)題，根據(jù)線、面平行關(guān)系的判定定理以及

性質(zhì)定理分析判斷.

12.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐A8CD的底面ABC。為平行四邊形，M是棱。。

上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，平面交CR于點(diǎn)，，則，煞=.

【分析】將四棱錐補(bǔ)為二棱柱ADR-BCE,由RMaCEH求解.

【詳解】解：如圖所示：

補(bǔ)全四棱錐為三棱柱，作RE〃/1B,且。E=AB,

因?yàn)锳8CO為平行四邊形，所以45〃CO,

則D.EHABUCD,flRE=AB=CD,

所以四邊形ABED,和四邊形DQCE都是平行四邊形,

因?yàn)镹為中點(diǎn)，則延長(zhǎng)4V必過(guò)點(diǎn)E,

所以A,N,E,H,M在同一平面內(nèi),

因?yàn)榱//CE,所以DtMHCEH,

乂因?yàn)槔抢??！ㄉ峡拷c(diǎn)。的三等分點(diǎn),

D、HD、M_2DXH_2

所以~HC~CE~3

2

故答案為：j

13.（2023?廣東?高三專題練習(xí)）圖1是由矩形ADEB,n△ABC和菱形6FGC組成的一個(gè)平面圖形，其中

AB=\,BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿A8,8C折起使得8E與8尸重合，連接。G,如圖2.

（2）求圖2中的直線CE與平面ACG所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵3

4

【分析】（1）證明AD〃CG即可證得A,C,G,。四點(diǎn)共面，根據(jù)證明A5工平面

BCGE,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證：

（2）連接EC,取3c的中點(diǎn)“，連接E4，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明.平面A8C,以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】（1）在圖2中，由題意得A￡）〃8E,CG〃8E,

所以A￡）〃CG,

所以圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面,

由已知得

又BEcBC=B,BE,BCu平面BCGE,

所以A3工平面3CGE,

乂因ABu平面ABC,所以平面ABC/平面8CGE；

（2）連接EC,在菱形8EGC中，N￡BC=60。，則二E8C為等邊三角形，

取8c的中點(diǎn)H,連接則EHJ.BC,

因?yàn)槠矫鍭BC上平面8CGE,平面4?Cc平面BCGE=8C,mu平面8CGE,

所以E〃_L平面A3C,

如圖，以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（T,l,0）,C（l,0,0）,E（0,0,月）,G（2,0,^）,

則CG=（1,O,G）,AC=（2,-l,0）,CE=（-l,0,百），

設(shè)平面ACG的法向量〃=（x,y,z）,

n-CG=x+耶＞z=0

則有，可取〃二(3,6,-6),

n-AC=2x-y=0

則cos(%CE)nCE_-6一旦

|/?||CE|-2x46"V

所以直線CE與平面ACG所成角的正弦值為曲.

14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體AMCQ—A8CD中，M為底面A8CD的中心，Q是

棱AQ上一點(diǎn)，且，Q=/IAA，2€[0，“，N為線段AQ的中點(diǎn)，給出下列命題，其中正確的是（）

A.CN與QM共面;

B.三棱錐A-OMN的體積跟，的取值無(wú)關(guān)；

C.當(dāng)2時(shí)，AM1QM-

4

D.當(dāng)時(shí)，過(guò)A,Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為逑士2姮.

【答案】ABD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：可得MN//CQ,可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)N到平面A8CD的距離為定值3，且zMDM的面積為定值可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)C：分別求出AM,QM,4Q的長(zhǎng)，驗(yàn)證是否滿足勾股定理，從而判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D：先將過(guò)A,Q,〃的截面分析做出，再求周長(zhǎng)可判斷.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：在ACQ中，因?yàn)椤?，N為AC,AQ的中點(diǎn)，

所以MN//C0,所以C7V與QM共面，所以A正確;

=

對(duì)選項(xiàng)B：由^A-DMN^N-ADM，

因?yàn)镹到平面板D的距離為定嗚，目.3的面積為定值入

所以三棱錐A-OWN的體積跟;I的取值無(wú)關(guān)，所以B正確;

,4。2=際+4。2=1+白卷

取的中點(diǎn)分別為ME,連接EMEM,則EM?=MN?+EN2=1+1

4

在直角三角形“照中，Q"=ME2+EQ2=（；）+（；]+/=曰

貝I]AM：+QM2>AQ"所以AMLQM不成立，所以C不正確.

1UUIMD1uuuin

對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)4時(shí)，取A"=—RG，連接"C,則"Q//AG,又AC//AC所以HQ//AC

33

所以A",C,”,。共面，即過(guò)A,Q,"三點(diǎn)的正方體的截面為AC"Q,

由A。=C”=Ji+1=—■，則ACHQ是等腰梯形，且QH=；AC1與

所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為/=近+與+2x=4弋2vH,所以口正確:

故選：ABD.

考點(diǎn)三證明“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”

15.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，正方體AG中，。是30中點(diǎn)，AC與截面8。弓交于P,那么C-

【答案】G、P、o是平面AACG和平面8OG的公共點(diǎn)，所以它們共平面AACG與平面的交線

【分析】確定G、P、平面A4CG，a、尸、Oe平面8。a,得到結(jié)論.

【詳解】。是BO中點(diǎn)，則O是AC中點(diǎn)，故Oe平面A4CG，

AC與截面8DG交于尸，故PeAC，故Pe平面A4CG，又G?平面AACC-

故C1、p、Oe平面AACG，又C、P、Ow平面BDG，

故C1、P、O在平面AACC1和平面BOG的交線上.

故答案為：G、p、。是平面AACG和平面BDG的公共點(diǎn)，所以它們共平面AACG與平面BDG的交線.

16.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形A8CZ）的各邊AB、BC、CD.D4上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，

若EFCGH=P,則點(diǎn)P（）

A.一定在直線BO上B.一定在直線AC上

C.既在直線AC上也在直線8。上D.既不在直線AC上也不在直線BO上

【答案】B

【分析】由題意可得PC平面A8C,尸C平面ACQ,又平面A8CC平面ACO=AC,則尸eAC,可得答案.

【詳解】如圖，

P

TEFu平面4BC,GHu平面4C￡）,EFCGH=P,

.?.PC平面48C,PG平面AC￡）,

又平面ABCC平面ACD=AC,

：.P^AC,即點(diǎn)P一定在宜線AC上.

故選：B.

17.（2023?北京朝陽(yáng)?高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體ABCD-AMG”中，A6與平面相交于點(diǎn)M,則下列

結(jié)論一定成立的是（）

A.AMYBDB.A^M1BD

C.AM=^MCtD.MB=MD

【答案】C

【分析】根據(jù)平面交線的性質(zhì)可知AN。AG=M，又平行線分線段成比例即可得出正確答案，對(duì)于ABD可

根據(jù)長(zhǎng)方體說(shuō)明不一定成立.

【詳解】如圖，連接AC,B。，交于N,連接AG，AN,

在長(zhǎng)方體中，平面ACGA與平面ABO的交線為AN.

而AC|U平面ACGA，且A￡c平面=M,

所以MeAN,

又AN〃AG，AN」AG，

所以AM=：MG，故C正確.

對(duì)于A,因?yàn)殚L(zhǎng)方體中AC與3。不一定垂直，故推不出故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)殚L(zhǎng)方體中與4田不一定相等，故推不出故B錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由B知，不能推出AN與BO垂直，而AN是中線，所以推不出MB=MD,故D錯(cuò)誤.

故選：C

18.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知JWC在平面a外，三邊A3、BC、。所在的直線分別與平面a交

于P,Q,R.求證：P,Q,R共線.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】推導(dǎo)出P,Q,R都在平面A8C與平面a的交線上，即可證明.

【詳解】；A3ce=P,PeAB<Pw平面a.

又ABu平面ABC,平面ABC.

...由基本事實(shí)3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面a的交線匕

同理可證。,R也在平面A8C與平面a的交線上，

二P,Q,R共線.

19.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，在空間四邊形4BCD中，E,尸分別是4B,的中點(diǎn)，G,H分別

在BC,C。上，且BG:GC=OH:〃C=1:2.

A

(2)設(shè)EG與"/交于點(diǎn)尸，求證：P,A,C三點(diǎn)共線.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件，可得EF〃BD以及GH〃BD,所以所〃GH,進(jìn)而得出四點(diǎn)共面;

(2)因?yàn)锳C是平面ABC和平面AC￡＞的交線，只需證明尸點(diǎn)是平面ABC和平面AC。的交點(diǎn)，即可證得

PGAC,進(jìn)而得到三點(diǎn)共線.

【詳解】(1)因?yàn)镋,尸分別為A8,A。的中點(diǎn)，所以所〃3D

在△BC。中，因?yàn)?――=—>所以=y—=—,所以GH//BD,

GCHC2CDCD3

所以EF〃GH.

所以E,F,G,〃四點(diǎn)共面.

(2)因?yàn)镋GcFH=P,所以PeEG.

由已知可得，EeAB,G&BC,ABu平面ABC,ACu平面ABC,

所以EGu平面A8C,所以尸w平面ABC

同理PwEW,FHu平面ADC,Pe平面ADC.

所以「為平面ABC與平面ADC的一個(gè)公共點(diǎn).

又平面MCr＞平面AOC=AC,所以PeAC,

所以P,A,C三點(diǎn)共線.

20.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖所示，在正方體ABC￡＞-A￡GR中，E,F分別是AB,然的中點(diǎn).

(1)求證：CE,D,F,OA三線交于點(diǎn)P；

(2)在(1)的結(jié)論中，G是。￡上一點(diǎn)，若尸G交平面ABCO于點(diǎn)，，求證：P,E,"三點(diǎn)共線.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)連接AB,CD,,可得到EP〃C"目.EFxCR,則EC與"/相交，設(shè)交點(diǎn)為R則能得到

Pe平面A8CO,Pw平面A￡)Z)1A，結(jié)合平面ABCDc平面A￡>Q|A=A。，即可得證；

(2)可證明P,E,”都在平面PC。與平面A8CO的交線上，即可得證

【詳解】(1)證明：連接40，CD,,EF

正方體ABCD-A4G。中，E,F分別是AB的中點(diǎn)，

/.E尸〃AB且EFwA3

,:CD|//A8且CQ=48,

EFUCD,aEF卡CD,,

...EC與。尸相交，設(shè)交點(diǎn)為P,

?：PGEC,ECu平面ABCQ,二色平面ABC。；

又PeFD、,FD、u平面ADD^,Ape平面ADD}\,

為兩平面的公共點(diǎn)，

平面平面ADRA,=AD,：.PeAD,

:?CE、RF、D4三線交于點(diǎn)P：

在(1)的結(jié)論中，G是RE上一點(diǎn)，F(xiàn)G交平面ABCD于點(diǎn)H,

則fHu平面PCD,,：.HG平面PCD、,又〃e平面ABCD,

：.He平面PCRc平面ABCD,

同理，尸€平面尸C°c平面A8CD,

Ee平面PCRc平面ABCD,

：.P,E,”都在平面PCq與平面ABC。的交線上，

：.P,E,”三點(diǎn)共線.

21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知，正方體ABCD-A/B/。。/中，點(diǎn)E,F分別為功。，C/B/的中點(diǎn),

ACHBD=P,4C/nEF=Q.求證：

（1）D,B,E,尸四點(diǎn)共面.

（2）若4c交平面BDEF于點(diǎn)R,則P,Q,R三點(diǎn)共線.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；

【分析】（1）求證E尸〃8/）,再由兩條平行線可以確定平面即可求證；

（2）利用公理2說(shuō)明三點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上即可.

【詳解】（1）連接8/功，如下圖所示：

因?yàn)镋,F分別為D,。,C/B/的中點(diǎn)，

所以E尸〃小。/,乂因?yàn)?DJ/BD,

所以EF//BD,

所以EF與BZ）共面，

所以E,F,B,力四點(diǎn)共面.即證.

（2）因?yàn)锳CnBD=P,所以尸6平面A4/C/CC平面8QEF.

同理，QG平面A4C/CC平面BDEF,

因?yàn)?CH平面DBFE=R,

所以Rd平面4A/C/CC平面BDEF,

所以P,Q,K三點(diǎn)共線，即證.

【點(diǎn)睛】本題考查空間中四點(diǎn)共面，三點(diǎn)共線的問(wèn)題，只需熟練掌握和應(yīng)用公理即可.

22.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在正四棱柱ABC。-A4G"中，O為CR的中點(diǎn)，且點(diǎn)E既在平面AB?

內(nèi)，又在平面AC%內(nèi).

(1)證明：EeAO：

(2)若A4,=4,AB=2,E為A。的中點(diǎn)，E在底面ABC。內(nèi)的射影為“，指出”所在的位置(需要說(shuō)明理

由)，并求線段A4的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)取C。的中點(diǎn)凡連接AF,”為AF的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析，A、H=叵