控制工程基礎(chǔ)-第三章

第三章控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析§1.時(shí)間響應(yīng)及其典型輸入信號(hào)一時(shí)間響應(yīng)的概念瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號(hào)作用下，輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：時(shí)間

t

趨于無窮大時(shí),系統(tǒng)的輸出。二典型實(shí)驗(yàn)輸入信號(hào)1

選取實(shí)驗(yàn)信號(hào)的原則

具有典型性，能夠反映系統(tǒng)工作的大部分實(shí)際情況。形式應(yīng)盡可能簡單，便于分析處理。能使系統(tǒng)在最不利的情況下工作。

2典型實(shí)驗(yàn)信號(hào)

單位階躍信號(hào)單位斜坡信號(hào)

單位加速度信號(hào)

單位脈沖信號(hào)

正弦信號(hào)

三瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，用系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)衡量。

延遲時(shí)間(DelayTime)td上升時(shí)間(RiseTime)tr峰值時(shí)間(PeakTime)tp最大超調(diào)量(PeakOvershoot)

Mp調(diào)整時(shí)間(SettlingTime)

ts1延遲時(shí)間td：系統(tǒng)輸出第一次達(dá)到穩(wěn)定態(tài)的一半所需的時(shí)間。2上升時(shí)間tr

：系統(tǒng)輸出第一次達(dá)到穩(wěn)定態(tài)所需的時(shí)間（輸出產(chǎn)生振蕩時(shí)）或從穩(wěn)定態(tài)的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間（無振蕩時(shí)）。3峰值時(shí)間tp

：系統(tǒng)輸出達(dá)到超調(diào)量的第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。4最大超調(diào)量

Mp：系統(tǒng)輸出超出穩(wěn)態(tài)值（一般為1）的最大偏離量Mp；

或采用百分比σ%表示：

5調(diào)整時(shí)間ts

：系統(tǒng)輸出第一次達(dá)到并保持在允許誤差范圍（一般為穩(wěn)態(tài)值的Δ=5%或Δ=2%）內(nèi)所需的時(shí)間?！?.一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)三一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)四一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)五線性定常系統(tǒng)的重要特征

一一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二對(duì)上式兩邊作拉氏變換，當(dāng)K=1時(shí)，二

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

單位階躍輸入信號(hào)對(duì)一階系統(tǒng)

草稿：

c(t)為指數(shù)上升。T時(shí)間常數(shù)，具有時(shí)間量綱，T越小，系統(tǒng)的響應(yīng)越快

t=0時(shí)斜率為

t=T時(shí)，c(T)=0.632，故Ｔ為系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需要的時(shí)間。允許誤差范圍為±5%時(shí)，ts=3·T。允許誤差范圍為±2%時(shí)，ts=4·T。

三一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入信號(hào)草稿：一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的誤差：一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差：一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

單位脈沖輸入信號(hào)五線性定常系統(tǒng)的重要特征

對(duì)線性定常系統(tǒng)來說，對(duì)輸入信號(hào)積分（或?qū)?shù)）的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響應(yīng)的積分（或?qū)?shù)），積分常數(shù)由零輸出初始條件確定。

輸入信號(hào)輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)輸出信號(hào)輸出信號(hào)的導(dǎo)數(shù)單位斜坡t1(t)單位階躍1(t)δ(t)單位脈沖δ(t)§3.二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

二二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型`兩邊作拉氏變換，無阻尼固有頻率阻尼比

草稿：1二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

單位階躍輸入信號(hào)：二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的拉氏變換

二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)

的分母多項(xiàng)式的根為

當(dāng)阻尼比ζ取不同的值時(shí)，上述多項(xiàng)式的根有三種情況：，有兩個(gè)重根s1,2=-ωn

；，有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根

，有一對(duì)共軛復(fù)根

ζ=1，臨界阻尼情況：A(s)有兩個(gè)重根無超調(diào)，無振蕩。

草稿：

ζ>1，過阻尼情況:有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根

草稿：

無超調(diào)，無振蕩，過渡過程比臨界阻尼情況的長。

草稿：

0<ζ<1時(shí)，欠阻尼情況：有一對(duì)共軛復(fù)根

阻尼自然頻率

無阻尼自然頻率ωn

草稿：草稿：

衰減振蕩:0<ζ<1

振蕩頻率為阻尼自然頻率ωd

；振幅為指數(shù)衰減，由系統(tǒng)參數(shù)ωn、ζ決定。隨著ζ的減小，調(diào)整時(shí)間ts

變短，但振蕩變嚴(yán)重。一般阻尼比ζ=0.4～0.8。

ζ=0，無阻尼情況

單位階躍輸入信號(hào)

二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

二階系統(tǒng)(ζ＝0)的單位階躍響應(yīng)的拉氏變換

§4.二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)一

二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)：

上升時(shí)間峰值時(shí)間最大超調(diào)量調(diào)整時(shí)間二結(jié)論三例一欠阻尼狀態(tài)時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)1上升時(shí)間tr

：第一次達(dá)到穩(wěn)定態(tài)所需的時(shí)間。2峰值時(shí)間tp

：達(dá)到超調(diào)量的第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。

第一個(gè)峰值,k=1

阻尼振蕩周期所以tp

是Td

的一半，它的變化趨勢(shì)與上升時(shí)間tr

相同。3最大超調(diào)量Mp：超出穩(wěn)態(tài)值（一般為1）的最大偏離量。

Mp

是ζ的函數(shù)，與ωn

無關(guān)：ζ↓，Mp↑；ζ=1時(shí)，Mp=0；ζ=0時(shí)，Mp=1。4調(diào)整時(shí)間ts

當(dāng)允許誤差范圍為2%時(shí),

當(dāng)允許誤差范圍為5%時(shí),

包絡(luò)線時(shí)間常數(shù):

包絡(luò)線

ωn↑，ts↓

ζ↑，ts↓

二結(jié)論

二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)由ζ和ωn共同決定。增大無阻尼自然頻率ωn，可提高系統(tǒng)的快速響應(yīng)性能，而不會(huì)改變超調(diào)量。增大阻尼比，可減小最大超調(diào)量，減弱系統(tǒng)的振蕩性能，使系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性增加，但會(huì)使系統(tǒng)的快速性變差。當(dāng)允許誤差范圍為0.02～0.05時(shí)，調(diào)整時(shí)間ts

在ζ=0.7左右時(shí)最小，故稱為最佳阻尼比。

一般，綜合考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性能，選擇在ζ=0.4～0.8的范圍內(nèi)。

三

解題思路

物理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型兩階標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)特征參數(shù)性能指標(biāo)三例題例1：右下圖為一伺服系統(tǒng)的方塊圖?，F(xiàn)要使系統(tǒng)的最大超調(diào)量Mp=0.2，峰值時(shí)間tp=0.8秒，試確定增益Kv

和Kh

的數(shù)值，并確定此時(shí)系統(tǒng)的上升時(shí)間tr

和調(diào)整時(shí)間ts

。解：(1)求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)回路Ⅰ：回路Ⅱ：開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。(2)確定系統(tǒng)的參數(shù)ζ、ωn

由Mp=0.2確定阻尼比ζ上式兩邊取自然對(duì)數(shù)

由tp=0.8

秒，求ωn

(2)確定增益Kv

、Kh

將Φ(s)與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)比可得

(3)計(jì)算上升時(shí)間tr、調(diào)整時(shí)間ts

a.上升時(shí)間tr

b.調(diào)整時(shí)間ts

設(shè)允許誤差范圍為2%

例2：右上圖為一個(gè)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)。當(dāng)有F=3N的力（階躍輸入）作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)中質(zhì)量m作如左下圖所示的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)左下圖中的響應(yīng)曲線，確定原質(zhì)量m、粘性阻尼系數(shù)f和彈簧剛度系數(shù)k的值。

1數(shù)學(xué)模型2由響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值為1cm可求出k

∴k=3(N/cm)=300(N/m)

3

c(tp)求最大超調(diào)量Mp4由最大超調(diào)量Mp和峰值時(shí)間tp

，求ζ、ωn

5

通過二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式由ζ、ωn

，求得m和f

三課程結(jié)構(gòu)重點(diǎn)：時(shí)間響應(yīng)的概念；一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)典型時(shí)間響應(yīng)的特點(diǎn)