蘇教版高中數(shù)學(xué)選修3-3-3.4.3-球面直角三角形-課件

球面直角三角形定義

球面上至少有一個(gè)角是直角的三角形叫做球面直角三角形（sphercalrighttriangle)。球面三角形可以有兩個(gè)甚至三個(gè)直角。另一方面，球面直角三角形的直角也不一定是最大角。定理4

設(shè)ΔABC中，則（1）（2）（3）

球面直角三角形的勾股定理證

這些公式中，cosc=cosacosb給出了球面直角三角形的三邊長的關(guān)系，稱為球面直角三角形的勾股定理。及類似公式由這證明了（1）中后一式。可以直接從定理1得到，即球面余弦定理

如果直角三角形的斜邊c>，則cosc=cosacosb<0，因此直角邊中有一條大于，另一邊小于，如果斜邊c=，則直角邊中至少有一條也等于。球面上，一點(diǎn)到一個(gè)大圓的距離是連結(jié)此點(diǎn)與大圓上點(diǎn)的曲線長的最小值。如果P是取定大圓的一個(gè)極點(diǎn)，則連結(jié)P與此大圓上點(diǎn)的劣弧長都是，它們所在的大圓與給定的大圓都垂直，因此P到此大圓的距離是。定理5設(shè)點(diǎn)A不是大圓的極點(diǎn)，如果連結(jié)A與大圓上點(diǎn)C的劣弧垂直于大圓，則點(diǎn)A到大圓的距離是的長。ACAC證

我們已證明連結(jié)球面上兩點(diǎn)的曲線以大圓弧最短。如圖，設(shè)A是大圓Γ外一點(diǎn)，A不是大圓的極點(diǎn)。設(shè)過A與Γ垂直的大圓的兩交點(diǎn)中靠近A的是C。設(shè)B是大圓Γ上另一點(diǎn)，A，B，C構(gòu)成一個(gè)球面直角三角形，則公式sinb=sinBsinc,0<sinB≤1說明c≥b,如果b=c，則sinB=1,B=這與過A垂直于給定的大圓Γ只有一條垂線矛盾，因此，c>b。定理5也可以表示為：球面上，一點(diǎn)到直線（大圓）上點(diǎn)的距離以垂線最短。AC球面三角公式的應(yīng)用球面上到定點(diǎn)距離是定長r的點(diǎn)的軌跡是球面上的圓，當(dāng)r=時(shí)，軌跡是大圓，即球面上直線；當(dāng)r<時(shí)，軌跡是小圓。例題例1

設(shè)在單位球面ΔABC中，C=S是ΔABC的面積，則證單位球面上ΔABC的面積是S=A+B-,從定理4可得到如圖，設(shè)ΔABC是平面上圓的內(nèi)接三角形，圓心是P，由于ΔPBC，ΔPAB，ΔPAC都是等腰三角形，它們的底角分別相等，記為θ1，θ2，θ3。于是π-2A=B+C-A=2θ1，A=-θ1，

如果B，C取定，這證明了平面圓上弧上的圓周角相等，設(shè)ΔABC是一個(gè)球面三角形，如果它的三個(gè)頂點(diǎn)在球面的一個(gè)小圓上，我們稱它是這個(gè)小圓的內(nèi)接三角形。將上面的方法用到球面上，得：設(shè)ΔABC是球面上一個(gè)小圓的內(nèi)接三角形，如果兩頂點(diǎn)B，C取定，頂點(diǎn)A可以在邊一側(cè)的小圓上變動，則B+C-A是定值。BCBC

能否看成是平面上圓的同弧上的圓周角相等的推廣？思考如果三角形的角A在頂點(diǎn)A時(shí)變動為定角，即如果球面上也有同一圓弧上的圓周角相等這一性質(zhì)，則由B+C-A為定值可得B+C也是定值，從而ΔABC的面積A+B+C-π也是定值，顯然這不可能，這說明球面上小圓的同弧上的圓周角不一定相等。1、球面直角三角形；2、球面直角三角形的勾股定理；3、定理5;4、應(yīng)用。課堂小結(jié)謝謝聆聽！19、你哭了，眼淚是你自己的。你痛了，沒有人能體會到。8、青春不止，創(chuàng)業(yè)不息、相信自己，永不放棄。17、最值得欣賞的風(fēng)景，是自己奮斗的足跡。18、創(chuàng)富靠堅(jiān)持，堅(jiān)持為夢想，用勤勞的雙手和先進(jìn)的思想來實(shí)現(xiàn)心中的夢想。1、只有經(jīng)歷過地獄般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流過血的手指才能彈出世間的絕唱。10、創(chuàng)富靠堅(jiān)韌不拔的精神，堅(jiān)持為群眾增收致富貢獻(xiàn)一份力量。1、你接受比抱怨還要好，對于不可改變的事實(shí)，你除了接受以外，沒有更好的辦法了。17、夢想不拋棄苦心追求的人，只要不停止追求，你們會沐浴在夢想的光輝之中。12、決定命運(yùn)的并不是天上掉下來的一個(gè)大大的機(jī)會，而是每一分鐘里你做的一個(gè)微小的選擇。所有的差別就只在那一分鐘里。20、與其回味昨日的溫暖，不如好好把握今日的花香。9、被全世界拋棄又怎樣，我還有我自己，我愛我自己。6、做你自己，總有一件事你能比別人做得更好。6、當(dāng)你休息的時(shí)候記得回頭看看，別人都在奔跑。1、受挫一次，對工作和生活的理解加深一層。20、你不可能要求每個(gè)人都讀懂你，理解你，那樣會顯得你是一件廉價(jià)品。4、淡淡的日子，淡淡的心情，淡淡的陽光，淡淡的風(fēng)，凡事淡淡的，就好。10、有什么別有病，沒什么別沒錢，缺什