考點21圖形的相似（含黃金分割、位似）問題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)考點方法突破

考點21圖形的相似

課標(biāo)對考點的要求

對圖形的相似問題，中考命題需要滿足下列要求：

（1）了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割。

（2）通過具體實例認(rèn)識圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。

（3）掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。

（4）了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形

相似；三邊成比例的兩個三角形相似。*了解相似三角形判定定理的證明。

（5）了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方。

（6）了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。

（7）會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題。

重要考點知識解康

一、比例

1.成比例線段（簡稱比例線段）：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段

的長度的比相等，即刊=￡（或a：b=c：d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。如果

bd

作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即色=2或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中項。

hc

2.什么是黃金分割

C

__________N

點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果包=任成立，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫

ACAB

作線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫作黃金分割比。如果把包=生化為乘積式是AC2=AB.BC,

ACAB

AC叫作AB和BC的比例中項。

3.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

4.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。

5.平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。

數(shù)學(xué)使人精確。數(shù)學(xué)會讓我們的生活更美好！數(shù)學(xué)也是藝術(shù)。

二、相似、相似三角形及其基本的理論

1.相似：相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、大小無關(guān)。

2.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相

似比。

3.三角形相似的判定方法

（1）定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊延長線）相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

（3）兩個三角形相似的判定定理

判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，可簡述

為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。

判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個三角

形相似，可簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，可簡

述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

4.直角三角形相似判定定理：

①以上各種判定方法均適用

②定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，

那么這兩個直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。

5.相似三角形的性質(zhì)：

（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例

（2）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比

（3）相似三角形周長的比等于相似比

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

三、位似圖形

1.定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直

線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2.性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為晨那么位似圖形對應(yīng)點的坐

標(biāo)的比等于k或，；2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比.

3.找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即

是位似中心.

4.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點；3）確定位似比，即要將圖形放大或

縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點：5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點.

重要問題解題思維方法總結(jié)

1.作一條線段的黃金分割點方法

一條線段的黃金分割點有兩個.任意一條線段都可以找出兩個黃金分割點,這兩個黃金分割點關(guān)

于這條線段的垂直平分線對稱。

DC

----------------------?B

方法1：

如圖，已知線段49,按照如下方法作圖：

(1)經(jīng)過點B作BDLAB,使放=工AB.

2

(2)連接力〃，在加上截取止如

(3)在上截取則點C為線段油的黃金分割點。

方法2：

如圖，設(shè)AB是已知線段。

DC

(1)在AB上作正方形ABCD；

(2)取AD的中點E,連接EB；

(3)延長DA至F,使EF=EB；

(4)以線段AF為邊作正方形AFGH。

點H就是AB的黃金分割點。

2.黃金分割的魅力所在

⑴古埃及胡夫金字塔：文明古國埃及的金字塔，形似方錐，大小各異。但這些金字塔底面的邊長與高之比

都接近于0.618；

⑵蒙娜麗莎的微笑：著名畫家達(dá)?芬奇的《蒙娜麗莎》構(gòu)圖就完美的體現(xiàn)了黃金分割在油畫藝術(shù)上的應(yīng)用,

蒙娜麗莎的頭和兩肩在整幅畫面中都完美的體現(xiàn)了黃金分割；

AF_FB

~FB~AB

⑶偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚曾致力于推廣“0.618優(yōu)選法”，把黃金分割原理應(yīng)用于生產(chǎn)、生活實際以及科學(xué)實

驗中，為國家節(jié)約了大量的人力和能源。

⑷人體最感舒適的溫度是23℃,也是正常人體溫（37℃）的黃金點（37X0.618比23℃）。這說明醫(yī)學(xué)與

0.618有千絲萬縷的聯(lián)系，尚待開拓研究。衡量一個人身材是否美觀的重要標(biāo)準(zhǔn)就是看肚臍是否是頭頂?shù)侥_

底的黃金分割點。人體肚臍不但是身型是否美化的黃金點，有時還是醫(yī)療效果的黃金點，許多民間名醫(yī)在

肚臍上貼藥治好了某些疾病。人體還有幾個黃金點：肚臍上部分的黃金點在咽喉，肚臍以下部分的黃金

點在膝蓋，上肢的黃金點在肘關(guān)節(jié)，上肢與下肢長度之比均近似0.618.

二、對相似多邊形的理解

1.如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形是相似多邊形.

2.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

3.多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形.

4.相似多邊形的性質(zhì)為：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等.

三、解決相似三角形的武器就是靈活運用性質(zhì)與判定

1.相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似

比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角

形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相

似三角形面積的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三

角形相似；②三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等

且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

中考典例解析

【例題1】（2022山西省模擬）寬與長的比是避二1（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐

2

富的美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCZ）,分別

取A。、BC的中點E、F,連接E凡以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交的延長線于點G；作

AD,交AD的延長線于點H,則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形EFC。C.矩形EFGHD.矩形。CGH

【答案】D

【解析】設(shè)正方形的邊長為2,則CD=2,CF=1

在直角三角形DCF中，DF=df+T2=也

FG=6

CG=>/5-l

,CGV5-1

,CD-2

二矩形DCGH為黃金矩形

故選：D.

【點睛】本題主要考查了黃金分割，解決問題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念.解題時注意，寬與長的比是

嶼二1的矩形叫做黃金矩形，圖中的矩形ABGH也為黃金矩形.

2

【例題2】（2021貴州畢節(jié)）學(xué)習(xí)投影后，小華利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度.如圖，

身高1.1m的小明從路燈燈泡A的正下方點B處，沿著平直的道路走8〃?到達(dá)點。處，測得影子QE長是2m,

則路燈燈泡A離地面的高度AB為m.

BD，-------------

【答案】8.5.

【解析】由AB1BE,CDA.BE,得到AB//CD,推出根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可

得到結(jié)論.

'JABLBE,CDLBE,

.'.AB//CD,

.CD=DE,

"ABBE'

?1.7=2

"AB"2+8'

解得：AB=8.5,

答：路燈燈泡4離地面的高度48為&5米.

【例題3】（2021廣西玉林）如圖，在△ABC中，。在AC上，DE//BC,DF//AB.

（1）求證：tXDFCsXAED：

c

(2)若CD=LC,求-△DFJ的值.

3^AAED

【答案】見解析。

【解析】（1）證明：尸〃A8,DE//BC,

：.ZDFC=ZABF,ZAED=NABF,

，/DFC=NAED,

又,：DE〃BC,

：.ZDCF=NAOE,

：./\DFC^/\AED-,

（2）'：CD^1AC,

3

?CD-I

DA2

由（1）知△OFC和△4￡：￡）的相似比為：型=工，

DA2

S

故：ADFC=（CD）2=（上）2=工

^AAEDDA24

【例題4】（2021貴州黔東南）已知在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點分別為點A（2,1）、點B（2,

0）、點。（0,0）,若以原點。為位似中心，相似比為2,將aAOB放大，則點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為

【答案】（4,2）或（-4,-2）.

【解析】根據(jù)位似變換的定義，作出圖形，可得結(jié)論.

如圖，觀察圖象可知，點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（4,2）或（-4,-2）.

考點問題綜合訓(xùn)練

一、選擇題

1.(2020?浙江紹興)如圖，己知NZM3=NC4E,那么添加下列一個條件后，仍然無法判定

的是()

C.ZB=ZDD.NC=ZAED

【答案】B

【解析】利用相似三角形的判定依次判斷可求解.

VZDAB=ZCAE,ZDAE=ZBAC,

ADAQ

A.若——=——，且ZDAE=/BAC,可判定AABCS/^ADE,故選項A不符合題意；

ADAE

A3BC

B.若——=—，且NDAE=/BAC,無法判定AABCS^ADE,故選項B符合題意；

ADDE

C.若NB=/D,且NDAE=/BAC,可判定AABCSAADE,故選項C不符合題意；

D?若NC=NAED,且NDAE=NBAC,可判定AABCS^ADE,故選項D不符合題意；故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練運用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

2.(2021重慶)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△048以原點。為位似中心放大后得到△OC￡>,若B(0,

1),D(0,3),則△OAB與△(%：力的相似比是()

A.2：1B.1：2C.3：1D.1：3

【答案】D

【解析】根據(jù)信息，找到0B與。力的比值即可.

?:B（0,I）,D（0,3）,

；.OB=1,OD=3,

?：/\OAB以原點O為位似中心放大后得到△OCD,

...△OAB與△08的相似比是08：OD=\-.3.

3.（2021浙江溫州）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，。是位似中心，點A,8的對應(yīng)點分別為點4'

貝IJA'B'的長為（）

」B'

B

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【答案】B

【解析】根據(jù)位似圖形的概念列出比例式，代入計算即可.

???圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為2：3,

.AB—2pn6—2

A'B'3NB'3

解得，A'B'=9.

4.（2020?浙江紹興）如圖，己知。43=NC4￡,那么添加下列一個條件后，仍然無法判定

的是（）

A

D

ABACABBC

A.-----=------B,-----=-----c./■=/nD.ZC^ZAED

ADAEADDE

【答案】B

［解析】利用相似三角形的判定依次判斷可求解.

ZDAB=ZCAE,二ZDAE=ZBAC,

A.若一=—,且NDAE=NBAC,可判定AABCS/^ADE,故選項A不符合題意;

ADAE

A3BC

B.若——=—,且NDAE=NBAC,無法判定AABCS/XADE,故選項B符合題意;

ADDE

C.若NB=ND,且NDAE=NBAC,可判定AABCSAADE,故選項C不符合題意；

Do若/C=/AED,且NDAE=NBAC,可判定AABCS/^ADE,故選項D不符合題意；故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練運用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

5.（2020?四川遂寧）如圖，在平行四邊形A8C。中，NABC的平分線交AC于點E,交A。于點凡交CD

BE

的延長線于點G,若AF=2FQ,則=的值為（）

【答案】C

【解析】由AF=2￡＞尸，可以假設(shè)。尸=丸貝ijAF=2AAD=3k,

?四邊形A8C。是平行四邊形，：.AD//BC,AB//CD,AB^CD,

：.NAFB=NFBC=ZDFG,ZABF=ZG,

「BE平分NA8C,:.NA8F=ZCBG,：.NABF=NAFB=NDFG=NG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,：.CG=CD+DG=3k,

BEAB2k2lt,

'JAB//DG,:.AABESACGE,：.——=——=一=一，故選：C.

EGCG3k3

6.（2020?上海）已知：如圖，在菱形ABCO中，點E、尸分別在邊AB、4。上，BE=DF,CE的延長線交

DA的延長線于點G,CF的延長線交BA的延長線于點H.

（1）求證：ABECSABCH；（2）如果求證：AG=DF.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（I）：?四邊形A8C。是菱形，.?.8=CB,ND=NB,CD//AB.

?:DF=BE,：.△CDF^△CBE（SAS）,:.NDCF=NBCE.

'：CDHBH,：.ZH=ZDCF,:./BCE=NH.且：./XBCH.

eBEAE,,AEAGBEAG

（2）?BEr=AB*AE>.?--=----,?AG〃BC>..----=----,?-----=----,

ABEBBEBCABBC

,;DF=BE,BC=AB,：.BE=AG=DF,即AG=O尸.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

7.（202（）?甘肅金昌）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計人體雕像時，使雕像的腰部以下。與全

身匕的高度比值接近0.618,可以增加視覺美感，若圖中b為2米，則”約為（）

A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米

【答案】A

［解析1根據(jù)a:b~0.618.且b=2即可求解.

由題意可知，”:從0.618,代入6=2,Aa=^x0.618=1.236-1.24.故答案為:A

【點睛】本題考查了黃金分割比的定義，根據(jù)題中所給信息即可求解，本題屬于基礎(chǔ)題.

8.（2020?四川瀘州）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題:

點G將一線段MN分為兩線段MG,GN,使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的段GN的比例

中項，即滿足些=0竺=避二1,后人把造二1這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段MN的

MNMG22

“黃金分割”點.如圖，在△A6C中，已知A8=AC=3,BC=4,若。，E是邊的兩個“黃金分

割”點，則AAOE的面積為（）

A.10-475B.3^-5C.D.20-875

2

【答案】A

【解析】過點A作AFJ_BC,：AB=AC,；.BF=LBC=2,

2

在RtAABF,AF=SJAB2-BF2=,32-22=亞，

?/D是邊BC的兩個“黃金分割”點，.??0=避二1即—=避二1，

5C242

解得CD=2后一2,同理BE=2百一2,

CE=BC-BE=4-（2亞-2）=6-275，，DE=CD-CE=475-8,

SAABC=-xDExAF=-x（4A/5-8）x75=10-475故選：A.

22

【點睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及?:角形的面積公式，求

出DE和AF的長是解題的關(guān)鍵。

9.（2020?重慶）如圖，△4比與△應(yīng)尸位似，點0為位似中心.已知勿：如=1：2,則與△戚的

面積比為（）

【答案】C

【解析】根據(jù)位似圖形的概念求出△/歐與△龍尸的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可.

與△龐尸是位似圖形，OA：⑺=1：2,

.?.△4?。與環(huán)■的位似比是1：2.

a1與△戚的相似比為1：2,

...△/%與△兩的面積比為1：4o

10.（2020浙江紹興）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5,且三角板

的一邊長為8頌.則投影三角板的對應(yīng)邊長為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)對應(yīng)邊的比等于相似比列式進(jìn)行計算即可得解.

【解答】解：設(shè)投影三角尺的對應(yīng)邊長為網(wǎng)出

?.?三角尺與投影三角尺相似，

.*.8：x=2：5,

解得x=20.

DE1

11.（2020?濰坊）如圖，點￡是口/反力的邊力〃上的一點，且一=一，連接應(yīng)并延長交圈的延長線于點人

AE2

若〃￡=3,DF=4,則w的周長為()

C.34D.42

【答案】C

【解析】:四邊形力靦是平行四邊形,

：.AB//CF,AB=CD,

：?1\ABESXDFE,

.DEFD1

AE-AB-2’

,:DE=3,DF=4,

.??力￡=6,AB=8,

.??49=49"?￡=6+3=9,

???平行四邊形力質(zhì)的周長為：(8+9)X2=34.

12.(2020年浙江省嘉興)如圖，在直角坐標(biāo)系中，ZXOAB的頂點為0(0,0),A(4,3),B(3,0).以

點o為位似中心，在第三象限內(nèi)作與AOAB的位似比為1■的位似圖形aocD,則點c坐標(biāo)()

44

A.(-1,-1)B.(--,-1)C.(-1,--)D.(-2,-1)

33

【答案】B

【解析】根據(jù)關(guān)于以原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標(biāo)的關(guān)系，把A點的橫縱坐標(biāo)都乘以-5即可.

3

?以點。為位似中心，位似比為方，

而A(4,3),

4

，A點的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（-停-1）.

13.（2021河北模擬）如圖，以點0為位似中心，將aABC縮小后得到△△‘B'C',已

知0B=30B',則AA'B'C'與△ABC的面積比為（）

【答案】D

【解析】先求出位似比，根據(jù)位似比等于相似比，再由相似三角形的面積比等于相似比的平

方即可.

V0B=30B（,

.OB'1

,?------Z：-'

0B3

?.?以點0為位似中心，將△ABC縮小后得到AA'B'C',

.*.△A1B'Cfs/\ABC,

?N二OB'=1

AB-=OB?>

...SAAZBZCZB'）2」

^AABC屈9

二、填空題

1.（2021吉林）如圖，為了測量山坡的護坡石壩高，把一根長為4.5〃？的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出竿

上AD長為1m時，它離地面的高度DE為0.6m,則壩高CF為m.

C

EB

【答案】2.7.

【解析】根據(jù)?！辍?。凡可得他型，進(jìn)而得出CF即可.

ACCF

如圖，過C作CFJ_A8于F,則。E〃CF,

.?AD_DEgp1_0.6

"AC"CF''T5^CF

解得CF=2.7.

2.（2021湖南益陽）如圖，RtZXABC中，NB4C=90°,tan/ABC=3,將△ABC繞A點順時針方向旋

2

轉(zhuǎn)角a（O°<a<90°）得到△A3,C,連接88'，CC',則△C4C'與ABAB'的面積之比等于.

可得也空￡_=（迪）2,解決問題.

【解析】證明△ACC',

S/kABB’AC

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZBAC=ZB'AC,

J.ZBAB'=NCAC',

'：AB=AB',AC=4C',

?AB二AB'

"ACAC，，

.,.△ACC'SAABB',

?SAACCZ

^AABBZ

VZCAfi=90°，

tanZABC=-^-=^-,

BC2

故答案為：a.

4

3.（2021湖北黃岡）人們把返工這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的0.618法就應(yīng)用

2

了黃金分割數(shù).設(shè)。=遍1,b=近工得ab=\,記Si=—5^4——,$2=—^—4一^―?,—,Sio=

221+a1+bl+a21+b2

—二+一則S1+S2+…+Sio=_______.

1+a101+b10

【答案】10

【解析】利用分式的加減法則分別可求Si=LS2=l,Sio=l,即可求解.

oO

?.?S]=]]=2+b+1+a_2+a+b_6+a+b=],$3=]+1=1+b+6+a_

8+a1+b（1+a）（4+b）1+a+b+ab2+a+bl+a，l+b?l+a4+b2+a2b'

1,So=」—H一」=―迎*!叱_=3,

101010101010

2+al+bl+a+b+ab

S1+S2+…+Sio=4+1+…+1=10.

4.（2020?山東泰安模擬）如圖，矩形4?口中，AB=3氓,仇?=⑵￡為皿中點，尸為46上一點，將△力跖

沿斯折疊后，點4恰好落到行?上的點G處，則折痕房的長是—.

【答案】2任.

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠作出適當(dāng)

的輔助線，連接圓構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求出結(jié)果.

連接6C,利用矩形的性質(zhì)，求出￡6,a'的長度，證明比1平分/比E再證/從。=90°,最后證△加Csa

EDC,利用相似的性質(zhì)即可求出"的長度.

如圖，連接

?.?四邊形四切為矩形,

.?.N/=N〃=90°,BC=AD=12,DC=AB=3氓,

:￡為加中點,

:.AE=DE=LAD=6

2

由翻折知，△AEFaXGEF,

:"E=GE=6,AAEF=ZGEF,NEGF=NEAF=9Q°=/〃,

:.GE=DE,

:.EC平■分4DCG,

:.NDCE=ZGCE,

,/團＜7=90°-AGCE,/龐C=90°-ADCE,

:"GEg/DEC,

:.NFEC=NFE&rNGEC=LX\80°=90°,

2

:.NFEC=/D=9Q°,

又,：2DCE=NGCE,

：ZECs[\EDC,

.FEEC

"DE^DC'

a-VDE2+DC2=,\/62+(3V6)2=3標(biāo)’

.FEWTU

??~~---=:-,

6-訴

:.FE=2/

5.（2020?綏化）在平面直角坐標(biāo)系中，△/6C和△464的相似比等于士并且是關(guān)于原點〃的位似圖形,

2

若點/的坐標(biāo)為（2,4）,則其對應(yīng)點4的坐標(biāo)是.

【解析】（4,8）或（-4,-8）.

【解析】利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，把｛點橫縱坐標(biāo)分別乘以2或-2得到其對應(yīng)點4的坐標(biāo).

???△/a'和△45G的相似比等于士并且是關(guān)于原點0的位似圖形，

2

而點A的坐標(biāo)為（2,4）,

點/對應(yīng)點4的坐標(biāo)為（2義2,2X4）或（-2X2,-2X4）,

即（4,8）或（-4,-8）.

4

6.（2022成都模擬）如圖，AABC與ADEF位似，位似中心為點0,且aABC的面積等于4DEF面積的一,

JOB：DE=_________

【解析】

試題分析：..A43C與此位似，位似中心為點。，尸，.?.△4C的面積：△￡）即面積

=（——）2=—>.,.AB:DE=2:3,故答案為：2:3.

DE9

7.（2022湖北天門模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別是A（4,2）,B（5,0）,以點

0為位似中心，相似比為!，把aABO縮小，得到△A30,則點A的對應(yīng)點人的坐標(biāo)為

2

【答案】（2,1）或（-2,-1）.

【解析】以點0為位似中心，相們比為工，把aABO縮小，點A的坐標(biāo)是A（4,2）,

2

則點A的對應(yīng)點兒的坐標(biāo)為（4義工，2*工）或（-4義工，-2XL）,即（2,1）或（-2,-1）,

2222

故答案為：（2,1）或（-2,-1）.

三、解答題

1.（2021湖北黃岡）如圖，在△4BC和△OEC中，ZA=ZD

（1）求證：△ABCs/\DEC；

（2）若SAABC：SADEC=4：9,BC=6,求EC的長.

D

C

【答案】見解析。

【解析】(1)由兩角相等的兩個三角形相似可判斷

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得也些=(里)2=且，即可求解.

^ADECCE9

證明：(1)Y4BCE=/ACD.

，/BCE+/ACE=ZACD+ZACE.

：./DCE=/ACB,

又：ZA—ZD,

：.bABCsXDEC；

(2)?.?△ABCs△DEC；

S

.AABC=(CBX2=4

^ADECCE6

又,：BC=6,

：.CE=9.

2.(2021黑龍江鶴崗)在等腰△ADE中，AE=DE,△ABC是直角三角形，NC4B=90°,ZABC=^Z

AED,連接CD、B。，點尸是B力的中點，連接E凡

(1)當(dāng)NE4O=45°,點8在邊AE上時，如圖①所示，求證：EF=^CD-,

(2)當(dāng)NE4￡>=45°,把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，頂點B落在邊A。上時，如圖②所示，當(dāng)NE4D=60°,

點B在邊AE上時，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段E尸和C。又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的

猜想，不需證明.

【答案】見解析。

【解析】（1）證明CD=B。，EF^—BD,可得結(jié)論.

2

（2）如圖②中，結(jié)論：EF=^CD.取CO的中點7,連接AT,TF,ET,TE交4￡）于點O.證明△AFT四

△E"（SAS）,推出EF=AT,可得結(jié)論.

如圖③中，結(jié)論：EF=J^-CD.取4。的中點。，連接OF,OE.證明△EOFs^DAC,可得上巳=強=返,

2CDAD2

即可解決問題.

圖①

'：EA=ED,Z￡-40=45°,

：.ZEAD=ZEDA=45a,

：.ZAED=90°,

,:BF=FD,

：.EF=—DB,

2

VZCAB=90",

：.ZCAD=ZBAD=45°,

VZABC=—ZAED=45°,

2

AZACB=ZABC=45°，

：.AC=ABf

.??4。垂直平分線段8C

:.DC=DB,

：.EF=—CD.

2

(2)解：如圖②中，結(jié)論：EF=^CD.

圖②

理由：取CO的中點T,連接AT,TF,ET,7石交AO于點。

?；NCAD=90°,CT=DT,

：.AT=CT=DTf

?；EA=ED,

???4垂直平分線段AD,

：.AO=OD,

VZAED=90°,

???OE=OA=ODf

VCT=TD,BF=DF,

:?BC〃FT,

：.ZABC=ZOFT=45°,

VZTOF=90°,

：.ZOTF=ZOFT=45°,

:.07=。凡

：.AF=ETt

?：FT=TF,NAFT=NETF,FA=TE,

.?.△A/儂△￡：?下(SAS)，

：.EF=AT,

：.EF^—CD.

2_

如圖③中，結(jié)論：EF=?CD.

2

圖③

理由：取AO的中點。，連接。兄OE.

；EA=ED,N4E￡)=60°,

：./\ADE是等邊三角形，

?：AO=OD,

：.OErAD,ZAEO=ZOED=30°,

：.tanZAEO^—=^-,

_OE3

.OEV3

AD2

VAABC=—ZAED=30°,/8AC=90°,

2

：.AB=y/3AC,

?：AO=OD,BF=FD,：.OF^—AB,

2

.OF_V3

??一_--,

AC2

.OE_OF

??疝一而‘

'：OF//AB,:.NDOF=NDAB,

■:NDOF+NEOF=90°,NDAB+NDAC=90°,

二ZEOF=ADAC,

：./\EOF^/\DAC,

.躍=述=返

"CDAD2'

：.EF=^-CD.

2

3.(2021蘇州)如圖，在矩形A8C0中，線段EF、G”分別平行于A。、AB,點Pi、尸2分別在線段PF、

PH上，PPi=PG,PPi=PE,連接PIH、PiF,PiH與P2尸相交于點Q.已知4G：GD=AE：EB=\-.2,

設(shè)AG=a,AE—b.

(1)四邊形的面積四邊形GPFC的面積(填、"=”或“<”)

(2)求證：/\P\FQs4P出Q；

(3)設(shè)四邊形PP1QP2的面積為Si,四邊形CFQ”的面積為S2,求包的值.

S2

【答案】見解析。

【解析】(1)分別用含小人的代數(shù)式表示出四邊形E8HP和四邊形GPFD的面積作比較即可；

(2)由(1)得邊的比例關(guān)系，先證△尸尸2尸得NP">2=NP"P,得再根據(jù)對頂角相等即可得出

△P尸Qs△尸2”0;

(3)連接PP2,FH,先證△PiPP2s△CF”得出線段比例關(guān)系，從而得面積比例關(guān)系，再證△PQP2S4

FQH,得出面積比例關(guān)系，最后根據(jù)面積關(guān)系得出且值即可.

s2

解：(1)I?西邊形ABC。為矩形，

AZA=ZB=ZC=90°,

,JGH//AB,

.?.NB=NGHC=90°,/A=NPGO=90°,

*：EF〃AD,

:?/PGD=/HPF=90°,

.??四邊形尸"CH為矩形，

同理可得，四邊形AGPE、EPHB均為矩形,

u

\AG=atAE=bf

:?PE=a,PG=b,EB=PH=2b,

：.四邊形EBHP的面積=PE?PH=2",四邊形GPFD的面積=PG?PF=8",

故答案為：=;

(2)?:PP\=PG,PP2=PE,

由(1)知PE?PH=7ab,PG*PF=2ab,

:?PPYPH=PPVPF,

即￡ZI=里

PPlPH

又?：NFPP3=NHPP\,

：.4PP2FS/\PP&H,

：.NPFP2=ZPHPI,

■:NP2QF-P2QH,

：./\PIFQ^/^P3HQ；

(3)連接PiP2.FH,

??^^2_a_1PPI=b=5

'-CH~272"~CF2b~2

p

?PP2=P6

CHCF'

,.?ZPIPP2=ZC=90°,

:APP3P2s△CFH,

.P1P2_PP1^1$3乒2=(P5P21

FHCF2"SACFHFH5"

由(2)中APIFQSAPZHQ,得立2_=里，

P2QHQ

.P]QP7Q

?：/PTQP2=NFQH,

：./\P3QP2^/\FQH,

pp

.SfQPa=fi22

,△FQHFH4

?；Si=Sap.ppJS^PiQpjS?=SACFH+SNQH，

Si=^S^CFH+^S^FQH=—S3,

474

.S1^8

$24

4.(2021浙江溫州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0M經(jīng)過原點O(2,0),B(0,8),連結(jié)A8.直線

C用分別交。M于點。，E(點。在左側(cè))，交犬軸于點C(17,0)

(1)求OM的半徑和直線CM的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求點O,E的坐標(biāo)；

(3)點P在線段AC上，連結(jié)PE.當(dāng)NAEP與△OBO的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件的。P的長.

【解析】(1)點M是AB的中點，則點M(l,4),則圓的半徑AM={(2-1)2+42=萬，再用待定系

數(shù)法即可求解；

(2)由近7得：(x-1)2+(--kv+Al-4)--(</17^2>即可求解；

44

(3)①當(dāng)NAEP=NDBO=45。時，則△AEP為等腰直角三角形，即可求解；②時，則4

EAPs^DBO,進(jìn)而求解；③NAEP=N8。。時，同理可解.

解：(1),?點M是A8的中點，則點M(l,

則圓的半徑為^^=7(2-4)2+44=^)

k=

設(shè)直線CM的表達(dá)式為卜=履+6,則("k+b=O,解得,T

lk+b=4

故直線CM的表達(dá)式為尸-W?:

(2)設(shè)點。的坐標(biāo)為(x,--^r+lZ.),

44

由得：(x-3)2+(-(Jyy)8

34

解得x=5或-3,

故點。、￡的坐標(biāo)分別為(-5、(5；

(3)過點。作OH_LO8于點H,則。H=3,

由點A、E、B、D的坐標(biāo)得1(8-2)2+(7-3)2=8，，,

同理可得：8￡>=3加，。8=8,

①當(dāng)乙4EP=NO8O=45°時，

則為等腰直角三角形，EP±AC,

故點P的坐標(biāo)為(5,5),

故。尸=5；

②NAEP=NBDO時,

■:NEAP=NDBO,

：.4EAPsXDB0,

..典典，即之"="_=或，解得AP=8,

BDBO372BO5

故尸0=10；

③NAEP=/BO。時，

?：NEAP=NDBO,

:.XEAPS^OBD,

-AE_APgp378_AP解得AP=g,

"

"OB"BD"'83774

則尸0=5+旦=旦，

44

綜上，0P為5或10或衛(wèi).

4

5.(2020?遼寧丹東)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,

點A，3,C的坐標(biāo)分別為A(l,2),B(3,l),C(2,3),先以原點。為位似中心在第三象限內(nèi)畫一個AAB|G，

使它與AABC位似，且相似比為2：1,然后再把A4BC繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AA282c2.(1)畫

出AAB|G，并直接寫出點A的坐標(biāo)；(2)畫出2c2,直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點A到點A?所經(jīng)過

的路徑長.

71?

【解析］連接AO、BO、CO,并延長到2AO、2BO,2CO,長度找到各點的對應(yīng)點，順次連接即可；

根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點A?、Bz、C2的位置，然后順次連接即可,

再根據(jù)勾股定理列式求出OA,然后利用弧長公式列式計算即可得解.

(1)如圖所示，Ai(-2,-4)；

90%x百V5

(2)如圖所示，.的長為:-----------=------71.

1802

【點睛】本題考查了平移變換作圖和軸對稱圖形的作法及畫位似圖形.注意：畫位似圖形的一般步驟為:

①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的

位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

6.(2022四川省涼山州模擬)如圖，NABD=NBCg9G0,DB①方4ADC,過點8作颯〃必交4〃于機連

接CM交DB于N.

(1)求證：B!f=A?CD；

(2)若繆=6,4?=8,求物V的長.

D

【答案】見解析。

【解析】證明：(1)通過證明△/如可得期■型，可得結(jié)論:

BDCD

,：DB平分匕ADC,

:./ADB=/CDB,且8g90°,

.AD_BD

,?麗同

：.Btf=AD'CD

(2)由平行線的性質(zhì)可證乙㈱=N蹴；即可證/林=物=肪=4,由初和勾股定理可求物'的長,

通過證明△刪?s/\cw,可得BM=MN=2,即可求物v.的長.'：BM//CD

CD-CN-3

二/做HABDC

：.NADB=Z.m且NABg90°

：.mi=MD,NMAB=NMBA