第04講橢圓方程及其性質(zhì)（教師版）

第04講橢圓方程及其性質(zhì)（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第5題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍無(wú)2023年新Ⅱ卷，第5題,5分根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍求橢圓中的參數(shù)及范圍圓中三角形(四邊形)的面積2022年新I卷，第16題,5分求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題2022年新Ⅱ卷，第16題,5分根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)由中點(diǎn)弦求弦方程2021年新I卷，第5題,5分橢圓定義及辨析基本不等式求積的最大值2021年新Ⅱ卷，第20題,12分根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓中的弦長(zhǎng)橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)2020年新I卷，第9題,5分判斷方程是否表示橢圓二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示雙曲線2020年新I卷，第22題,12分根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件問(wèn)題橢圓中的定值問(wèn)題2020年新Ⅱ卷，第10題,5分判斷方程是否表示橢圓二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示雙曲線2020年新Ⅱ卷，第21題,12分根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的切線方程橢圓中三角形(四邊形)的面積求橢圓中的最值問(wèn)題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.熟練掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)基本量的求解2.熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)，并會(huì)相關(guān)計(jì)算3.能熟練計(jì)算橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)橢圓方程簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，常常考查標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、基本量的計(jì)算及離心率的求解，需重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練知識(shí)講解橢圓的定義數(shù)學(xué)表達(dá)式橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：橢圓中，，的基本關(guān)系橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)坐標(biāo)，，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)短軸短軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)焦點(diǎn)，，焦距焦距，半焦距對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為離心率離心率對(duì)橢圓的影響越大，橢圓越扁越小，橢圓越圓，圓通徑（過(guò)橢圓焦點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的直線截得的弦長(zhǎng)）通徑長(zhǎng)：，半通徑長(zhǎng)：橢圓中的兩個(gè)周長(zhǎng)問(wèn)題考點(diǎn)一、橢圓的定義及其應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．圓【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】根據(jù)題目可以得到，此時(shí)就可以根據(jù)橢圓的第一定義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓．故選：A．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由方程的幾何意義及橢圓定義得出結(jié)果即可.【詳解】方程的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和為10，并且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以兩個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為的橢圓，所以，，根據(jù)，所以橢圓方程為.故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,周長(zhǎng)為16，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意,可知點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之和為10,故軌跡為橢圓,同時(shí)注意取值范圍.【詳解】由題知點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之和為10,故C的軌跡為以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓,.故.所以方程為.又故三點(diǎn)不能共線,所以故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,注意求軌跡時(shí)結(jié)合實(shí)際情景進(jìn)行特殊點(diǎn)排除.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓定義得，再利用基本不等式求解最值即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，點(diǎn)P到，的距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程是【答案】【分析】根據(jù)橢圓的第一定義，得到，得到，進(jìn)而計(jì)算求解，可得答案.【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，其中，故點(diǎn)P的軌跡方程為.故答案為：2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為的周長(zhǎng)為18，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用橢圓的定義得到點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓求解.【詳解】由題意得，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而．又三點(diǎn)不共線，∴點(diǎn)不在軸上，點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義求方程，屬于基礎(chǔ)題.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩圓C1：（x4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由兩圓外切和內(nèi)切，得出圓心距與兩圓的半徑和差的關(guān)系，設(shè)出動(dòng)圓的半徑，消去，再由圓錐曲線的定義，可得動(dòng)圓的圓心的軌跡，進(jìn)一步求出其方程.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為圓與圓:內(nèi)切，與C2：外切.所以.由橢圓的定義，的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為16的橢圓.則，所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系以及判斷方法和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，橢圓的定義，屬于中檔題.考點(diǎn)二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知p：，q：表示橢圓，則p是q的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由橢圓方程的定義化簡(jiǎn)命題，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或，故：或，又p：，所以p是q的必要不充分條件，故選：C.2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（

）A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，得到，即，求得，進(jìn)而求得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】由橢圓，可得，因?yàn)槭菣E圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，可得，即，可得，即，解得，所以，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是.故選：C.3．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，，延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線的距離為，的周長(zhǎng)為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離可得，再由的周長(zhǎng)為16可得，解方程可求出，即可得出答案.【詳解】由題意，得，，，則直線的方程為，所以點(diǎn)A到直線的距離①．由的周長(zhǎng)為16，得，即a+c=8②，聯(lián)立①②，解得③．因?yàn)?，所以④．?lián)立②④，解得a=6，c=2，所以，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為是.故選：B．4．（2020·海南·高考真題）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過(guò)點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線AM方程為：，點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(0，3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)橢圓所過(guò)的點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)，故，因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.6．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；【詳解】（1）解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）解：依題意過(guò)點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得7．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點(diǎn)和得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【詳解】（1）如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.1．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)方程表示橢圓的條件求解.【詳解】方程表示橢圓，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：B.2．（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的焦距為4，平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，且直線AB與AD的斜率之積為，則橢圓E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件列關(guān)于的方程，解方程可得，由此可得橢圓方程.【詳解】設(shè)，由對(duì)稱性可得，則，所以兩式相減可得，因?yàn)橹本€AB與AD的斜率之積為，所以，即，所以，設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)闄E圓的焦距為4，所以，所以，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A.3．（2023·重慶·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：，平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A，，在橢圓上，若直線和的斜率乘積為，四邊形的面積為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角換元設(shè)，，代入橢圓方程可得，再根據(jù)三角形面積的向量公式及斜率之積計(jì)算即可.【詳解】先證三角形面積公式的向量形式：在中，，則，而設(shè)，，由題意可知;，所以，將坐標(biāo)代入橢圓方程有，則所以四邊形的面積為，即，又根據(jù)和的斜率乘積為知，所以，解之得：，．故選：B4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【詳解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.5．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過(guò)定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過(guò)點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過(guò)A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡(jiǎn)得，即．故直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因?yàn)?，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因?yàn)?，所以，即或．?dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過(guò)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過(guò)．綜上，直線恒過(guò)，所以．又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取線段的中點(diǎn)為，則．所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過(guò)題目條件可知直線過(guò)定點(diǎn)，再根據(jù)平面幾何知識(shí)可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法也是本題的通性通法；方法二：通過(guò)坐標(biāo)系平移，將原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，設(shè)直線的方程為，再通過(guò)與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達(dá)定理求出的關(guān)系，從而可知直線過(guò)定點(diǎn)，從而可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法是本題的最優(yōu)解；方法三：設(shè)直線，再利用過(guò)點(diǎn)的曲線系，根據(jù)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線過(guò)定點(diǎn)，故可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)；方法四：同方法一，只不過(guò)中間運(yùn)算時(shí)采用了一元二次方程的零點(diǎn)式賦值，簡(jiǎn)化了求解以及的計(jì)算．6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交軸于點(diǎn)．若，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的值，結(jié)合的值可得出的值，進(jìn)而可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，分析出直線的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得出，求出、的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）易知點(diǎn)、，故，因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，先證明直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，因此，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.在直線的方程中，令，可得，由題意可知，即點(diǎn)，直線的斜率為，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，因?yàn)?，則，即，整理可得，所以，，因?yàn)?，，故，，所以，直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：在利用橢圓的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行直線：（1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進(jìn)行求解；（2）橢圓在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)證明直線與橢圓相切.7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過(guò)點(diǎn).②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧郑蟪龆ㄖ?，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.考點(diǎn)三、橢圓的幾何性質(zhì)1．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎?，是橢圓的上、下頂點(diǎn)，為的一個(gè)焦點(diǎn)，若的面積為，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】B【分析】依題意可得且，即可求出，從而求出，即可得解.【詳解】由題可知，則，所以，所以，故的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．故選：B2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知以為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)橢圓方程與直線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式等于0求得和的關(guān)系式，同時(shí)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得半焦距得到和的另一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立方程即可求得和，則橢圓的長(zhǎng)軸可得．【詳解】設(shè)橢圓方程為，直線代入橢圓方程，消得：，，整理，得又，由焦點(diǎn)在軸上，所以，聯(lián)立解得：，,故橢圓方程為，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；故選：C3．（2023·遼寧阜新·校考模擬預(yù)測(cè)）比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林(GerminalDandelin)發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切的球使得它們與圓錐的側(cè)面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截線是橢圓．這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個(gè)高為20，底面半徑為4的圓柱體內(nèi)放兩個(gè)球，球與圓柱底面及側(cè)面均相切．若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切，則此平面截圓柱側(cè)面所得的截線為一個(gè)橢圓，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】橢圓的短軸長(zhǎng)即為圓柱的底面的直徑即可求解【詳解】由平面與圓柱所截可知橢圓的短軸即為圓柱底面直徑的長(zhǎng)，即，故選：D4．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，若，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由且，得到為的中點(diǎn)，得出軸，進(jìn)而得到為等邊三角形，求得，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)榍?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，軸，所以軸，所以為等邊三角形，所以，可得，解得，所以橢圓的焦距為.故選：A.5．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考三模）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn)．直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若的斜率之積為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】由題意得到方程組①和②，即可解出a、b，求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】橢圓的面積，即①.因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn)，所以.因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則且，所以.因?yàn)榈男甭手e為，所以，把代入整理化簡(jiǎn)得：②①②聯(lián)立解得：.所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6.故選：B1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若橢圓的焦距大于，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由橢圓方程表示出焦距，解不等式即可.【詳解】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，若橢圓的焦距大于，則有，整理得，解得，故．故選：D2．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓：，為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)．若，則．【答案】【分析】由橢圓方程得的值，得左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得和的值，由，所以為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，可求.【詳解】橢圓：中，，，，則，，所以，由，得，由，所以為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，所以．故答案為：.3．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）2022年神舟接力騰飛，中國(guó)空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對(duì)接，需要經(jīng)過(guò)多次變軌.某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)（長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面，近地點(diǎn)（長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn)）距地面，地球的半徑為，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)的距離可得，進(jìn)而可求得，求得b，可得答案.【詳解】由題意得，故，故選：D.4．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，且，直線與交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為28，則橢圓的短軸長(zhǎng)為.【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)三角形，可得，利用的數(shù)量積為0，即可求解.【詳解】由，為的中點(diǎn)，所以是的垂直平分線，所以,所以的周長(zhǎng)為，，所以，由于，所以，故答案為：5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則（

）A． B．的離心率為C．m的值越小，C的焦距越大 D．的短軸長(zhǎng)的取值范圍是【答案】AC【分析】由曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得出和，根據(jù)即可判斷A；根據(jù)橢圓離心率即可判斷B；表示出橢圓的焦距，由函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；由的范圍即可得出的短軸長(zhǎng)的取值范圍，從而判斷D．【詳解】對(duì)于A：根據(jù)題意知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)镃的焦點(diǎn)在x軸上，所以，即，故A正確；對(duì)于B：由A可得，，所以橢圓的離心率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：橢圓的焦距，因?yàn)楹瘮?shù)，在上都是單調(diào)遞減的，所以m的值越小，的焦距越大，故C正確；對(duì)于D：橢圓的短軸長(zhǎng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選：AC．考點(diǎn)四、橢圓的離心率1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意設(shè)，得到.根據(jù)，得到，根據(jù)勾股定理得到，再求離心率即可.【詳解】如圖所示：設(shè)，因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?因?yàn)椋?在中，，解得，即，所以，即.所以，.故選：B3．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，焦點(diǎn)，，若過(guò)的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是.【答案】【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案為：；．4．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）橢圓的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N滿足，，若四邊形的周長(zhǎng)等于，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，可得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，再根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以且，且，所以四邊形的周長(zhǎng)為，又因點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，所以，所以，即，故橢圓C的離心率為.故選：C.5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足軸，四邊形是等腰梯形，直線與y軸交于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】做軸于點(diǎn)，得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得到，然后根據(jù)，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，做軸于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，則，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程，可得，即，因?yàn)?，則，由，則，化簡(jiǎn)可得，，同時(shí)除可得，即，對(duì)于當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，方程有根，且，故應(yīng)舍，所以.故選:D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵在于得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形相似列出方程，得到的關(guān)系式.6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，若存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，所以存在點(diǎn)使等價(jià)于由可求的最小值，求得的范圍，從而得到的取值范圍.【詳解】設(shè)，則.顯然當(dāng)靠近右頂點(diǎn)時(shí)，，所以存在點(diǎn)使等價(jià)于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求離心率范圍關(guān)鍵是建立的不等式，此時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而只需求的最小值，求最小值的方法是結(jié)合焦半徑性質(zhì)使用基本不等式求解.1．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿足直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、橢圓的定義、勾股定理、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，，結(jié)合橢圓對(duì)稱性得，由橢圓定義得，，則.因?yàn)椋?，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用橢圓的對(duì)稱性和定義.2．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)求得橢圓的離心率.【詳解】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.4．（2023·河南開(kāi)封·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓，，分別是的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)，在和在求出，的正切值，由兩角差的正切公式求出的正切值，結(jié)合題目條件得，的關(guān)系，即求出橢圓的離心率.【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示：可知：，，，在中可得：，在中可得：，所以化簡(jiǎn)得：因?yàn)?，所以①，又，所以①整理可得：，即，解得，又，所以，故選：C.5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）若雙曲線的兩條漸近線與橢圓：的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正六邊形的性質(zhì)和橢圓的定義及離心率公式即可求解.【詳解】由題意知，雙曲線的一條漸近線是，則它與橢圓在第一象限的交點(diǎn)記為A，橢圓的左右焦點(diǎn)記為F1、F2，則根據(jù)正六邊形的性質(zhì)知是直角三角形，且設(shè)，所以.由橢圓的定義，得出，所以橢圓的離心率．故選:B．6．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三邊關(guān)系可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)雙曲線和橢圓定義可利用表示出，從而得到，結(jié)合的范圍可得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長(zhǎng)半軸為，雙曲線實(shí)半軸為，，，是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，即，，且，，，，解得：．在雙曲線中，，；在橢圓中，，；；，，則，，可得：，的取值范圍為.故選：B.7．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若與的焦距的比值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求的坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求離心率.【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)橐詾閳A心的圓過(guò)，故該圓的半徑為，故其方程為：，令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，令，則或，故.故，故直線.設(shè)，因?yàn)樵谳S的正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，整理得到：，故，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過(guò)點(diǎn)在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.考點(diǎn)五、橢圓中的最值問(wèn)題1．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義得到，將整理為，然后根據(jù)范圍求得范圍即可.【詳解】設(shè)，，則，，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：C.2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，利用可求的最大值.【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故選：A.3．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，，，的坐標(biāo)，得到，為橢圓的焦點(diǎn)，得到，從而判斷出為橢圓上一點(diǎn)，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，，不妨設(shè)，，，.則，為橢圓的焦點(diǎn)，而為橢圓上一點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，又，根?jù)橢圓定義知點(diǎn)的軌跡為以C、D為焦點(diǎn)的橢圓，所以軌跡方程為，聯(lián)立，消去得，則，故點(diǎn)到軸的距離為.故選：A.4．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為橢圓上一點(diǎn)，若的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足，，若的最小值為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由得出，將最小值代入求解即可.【詳解】如圖，∵，∴，又∵，∴，即，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取最小值，，此時(shí)的最小值，解得（舍）或，∴，∴橢圓的方程為.故選：B.5．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．【答案】1【分析】利用橢圓的定義知，利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)槭菣E圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以.即的最小值為1.故答案為：16．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃ǘ噙x）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．的內(nèi)切圓半徑C．的最小值為D．若為的中點(diǎn)，則直線的方程為【答案】AC【分析】利用基本不等式可判斷A選項(xiàng)；利用分析可得，求出面積的最大值，可判斷B選項(xiàng)；利用橢圓的定義、數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在橢圓中，，，則，即點(diǎn)、，由橢圓的定義可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由橢圓的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，由題意可得，由已知可得，兩個(gè)等式作差可得，即，所以，直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，D錯(cuò).故選：AC7．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）（多選）設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，焦距為，點(diǎn)到三邊的距離相等，橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為，則（

）A．點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的最大距離為4B．若，則C．的面積的最大值為8D．直線和直線的斜率之積是定值【答案】ABD【分析】由題意先計(jì)算得橢圓方程，對(duì)于A利用焦半徑公式計(jì)算即可；對(duì)于B，利用橢圓的定義及勾股定理計(jì)算即可；對(duì)于C，根據(jù)橢圓性質(zhì)可直接判定面積最大時(shí)P為上（下）頂點(diǎn)；對(duì)于D，延長(zhǎng)PI交x軸于G，結(jié)合角平分線定理得，用P坐標(biāo)表示直線和直線的斜率之積，化簡(jiǎn)即可.【詳解】根據(jù)題意得.對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨求其到右焦點(diǎn)的距離為，，即P到橢圓的焦點(diǎn)的最大距離為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若，所以，設(shè)，解得：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，依題意的面積的最大值為，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；并延長(zhǎng)交軸于.因?yàn)榈饺叺木嚯x相等，則由內(nèi)角平分線定理可得，所以.設(shè)，則.，所以，所以，則，又，則.所以，則，所以，所以，則.所以直線和直線的斜率之積是定值.故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的解決關(guān)系是利用內(nèi)角平分線定理得到，從而得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，由此得解.1．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上一點(diǎn)Р到焦點(diǎn)的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓上得，且，再利用兩點(diǎn)距離求得，從而可確定的最大值與最小值，即可求得的值，即可得離心率的值.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點(diǎn)，則，且，又，，則由于，所以，于是可得，，所以橢圓C的離心率.故選：B.2．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．64 B．16 C．8 D．4【答案】B【分析】由，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有求解.【詳解】解：，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，最大值為．所以的最大值為16．故選：B．3．（2023·云南曲靖·宣威市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最大值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由題可知，，利用，即可得出．【詳解】如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，則，，的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，，A共線時(shí)取等號(hào)．的周長(zhǎng)最大值等于18．故選：C．4．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）已知F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，Q為圓M：上一點(diǎn)，則PQ＋PF的最大值為（

）A．3 B．6C． D．【答案】D【分析】由橢圓的定義結(jié)合題意可得，即可求出PQ＋PF的最大值.【詳解】圓M：的圓心為，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，如下圖，由橢圓的定義知，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)取等，，，，.故選：D．5．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，則的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)橢圓方程及其離心率可求的值，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可求的最大值．【詳解】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為a，半焦距為c，因?yàn)?，所以，故橢圓焦點(diǎn)在y軸上，因?yàn)?，離心率為，所以，解得，所以，，由橢圓性質(zhì)知，，故答案為：．6．（2023·河北唐山·開(kāi)灤第二中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓C上，且，則的最大值為.【答案】/【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合橢圓定義可得，再由三角形兩邊之差小于第三邊求解．【詳解】由橢圓方程可得，，則，如圖，連接并延長(zhǎng)，交橢圓于P，則，(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)位于第三象限時(shí)取等號(hào))此時(shí)取最大值為故答案為：7．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）（多選）已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．不存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．的最小值為1【答案】ABC【分析】A：根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可得，從而可得的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用橢圓定義將化為，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】對(duì)于A，由已知可得，，所以，則，故A正確；對(duì)于B，由可知，點(diǎn)為原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)不在橢圓上，故B正確；對(duì)于C，由已知，，所以，．又，則．根據(jù)橢圓的定義可得，所以，由圖可知，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào)．故的最大值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以，的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計(jì)算最值問(wèn)題里面的應(yīng)用.考點(diǎn)六、橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用1．（2023·河北·校聯(lián)考一模）中國(guó)國(guó)家大劇院的外觀被設(shè)計(jì)成了半橢球面的形狀.如圖，若以橢球的中心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，半橢球面的方程為（，，且a，b，c不全相等）.若該建筑的室內(nèi)地面是面積為的圓，給出下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)已知得，結(jié)合題設(shè)判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】在中，令可得該建筑室內(nèi)地面對(duì)應(yīng)的曲線方程為，由室內(nèi)地面是面積為的圓，故，①對(duì)；且，則，又不全相等，故，②錯(cuò)；若，則，可得，與不全相等矛盾，③錯(cuò)；若，則，故，④對(duì).故選：B.2．（2023·云南曲靖·校考三模）油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時(shí)節(jié)開(kāi)展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開(kāi)后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽(yáng)光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（春分時(shí)，北京的陽(yáng)光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，再利用正弦定理求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，結(jié)合焦點(diǎn)位置求出半焦距作答.【詳解】如圖，傘的傘沿與地面接觸點(diǎn)B是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，傘沿在地面上最遠(yuǎn)的投影點(diǎn)A是橢圓長(zhǎng)軸的另一個(gè)端點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的傘沿為C，O為傘的圓心，F(xiàn)為傘柄底端，即橢圓的左焦點(diǎn)，令橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，由，得，，在中，，則，，由正弦定理得，，解得，則，所以該橢圓的離心率.故選：A3．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某單位使用的圓臺(tái)形紙杯如圖所示，其內(nèi)部上口直徑?下口直徑?母線的長(zhǎng)度依次等于，將紙杯盛滿水后再將水緩慢倒出，當(dāng)水面恰好到達(dá)杯底（到達(dá)底面圓“最高處”）的瞬間的水面邊緣曲線的離心率等于.【答案】【分析】用平面截對(duì)接圓錐所得截面邊緣曲線是圓錐曲線，本題水面到達(dá)杯底的瞬間，水面邊緣曲線是橢圓，作紙杯（圓臺(tái)）的與水面垂直的軸截面，則是橢圓的長(zhǎng)軸，是橢圓的短軸，是圓臺(tái)的軸線，作于，記與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，由實(shí)際情形知，點(diǎn)在圓臺(tái)的過(guò)軸線的中點(diǎn)且與軸線垂直的截面圓上，由垂徑定理知垂直平分，再求橢圓的離心率即可.【詳解】由教材章頭圖知識(shí)知道，用平面截對(duì)接圓錐所得截面邊緣曲線是圓錐曲線.對(duì)于本題，如圖，水面到達(dá)杯底（底面圓“最高處”）的瞬間，水面邊緣曲線是橢圓，作紙杯（圓臺(tái)）的與水面垂直的軸截面，則是橢圓的長(zhǎng)軸，是橢圓的短軸.是圓臺(tái)的軸線，作于，則，，記與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，則，，，，由實(shí)際情形知，點(diǎn)在圓臺(tái)的過(guò)軸線的中點(diǎn)且與軸線垂直的截面圓上，.由垂徑定理知垂直平分，，記橢圓的離心率為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)?短半軸長(zhǎng)?半焦距為，則.故答案為：.1．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過(guò)橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，依題意可得，即可求出離心率.【詳解】如圖按橢圓對(duì)稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）我國(guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅于5世紀(jì)末提出了下面的體積計(jì)算原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．這就是“祖暅原理”．祖暅原理用現(xiàn)代語(yǔ)言可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面的面積都相等，由此得到新幾何體與半球的體積相等，即．現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得到如圖3所示的橢球，類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得該橢球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，通過(guò)計(jì)算可得高相等時(shí)截面面積相等，根據(jù)祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.【詳解】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體．當(dāng)平行于底面的截面與圓錐頂點(diǎn)距離為時(shí)，設(shè)小圓錐底面半徑為，則，即，故新幾何體的截面面積為．把代入，即，解得，故半橢球的截面面積為，由祖暅原理，可得橢球的體積為：圓柱圓錐．故選：A．3．（2023·廣西玉林·博白縣中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)過(guò)與C的反射，又回到點(diǎn).，歷時(shí)m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過(guò)C兩次反射后又回到點(diǎn)歷時(shí)n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則.【答案】【分析】由離心率比求得長(zhǎng)半軸與實(shí)半軸的比，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求兩種裝置中光線路程之比即得．【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距，由，依次經(jīng)過(guò)與C的反射，又回到點(diǎn)F1，則有，，兩式相減得，將裝置中的去掉，則有，所以故答案為：．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）古希臘后期的數(shù)學(xué)家帕普斯在他的《數(shù)學(xué)匯編》中探討了圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的性質(zhì)：平面內(nèi)到一定點(diǎn)和定直線的距離成一定比例的所有點(diǎn)的軌跡是一圓錐曲線．這就是圓錐曲線的第二定義或稱為統(tǒng)一定義．若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線的距離之比是，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【分析】利用軌跡的直接法求解.【詳解】解：由題意得，整理得：，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓．故選：B．2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓，的離心率分別為，，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率的關(guān)系列方程，從而求得.【詳解】對(duì)于橢圓，有.因?yàn)椋?，解得．故選：B3．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線截橢圓的弦長(zhǎng)為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)以及在橢圓上，即可求解的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)橢圓的方程為，橢圓中，，當(dāng)時(shí)，，故又，所以，故橢圓方程為，故選：B4．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.5．（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意可知：，，，直線的方程為：，由，點(diǎn)在第三象限，，則，代入直線方程中得整理得，則，∴橢圓的離心率.故選：B.6．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知離心率為的橢圓的方程為，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】由離心率公式先得，從而解決問(wèn)題.【詳解】由題意，，即，可得，則.故選：C7．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出，再求出等腰三角形的面積作答.【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D二、多選題8．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎菣E圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的短軸長(zhǎng)為 B．的坐標(biāo)為C．橢圓的離心率為 D．存在點(diǎn)P，使得【答案】AC【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得基本量，從而可求離心率，故可判斷ABC的正誤，根據(jù)的大小關(guān)系可判斷D的正誤.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，則短軸長(zhǎng)為，A正確；的坐標(biāo)為，B錯(cuò)誤；離心率為，C正確；因?yàn)?，故以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，故不存在點(diǎn)P，使得，D錯(cuò)誤，故選：AC.三、填空題9．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作的角平分線交橢圓的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)角平分線定理可得，利用坐標(biāo)運(yùn)算即可得答案.【詳解】

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，又，由角平分線定理知，則，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.10．（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為和，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段，則的內(nèi)切圓半徑等于.【答案】【分析】由已知條件表示出直線AB的方程，得到的面積，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，內(nèi)切圓半徑乘以三角形周長(zhǎng)的一半等于三角形面積，結(jié)合離心率的值可得內(nèi)切圓半徑.【詳解】的周長(zhǎng)為，∵，∴到直線的距離，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，又，∵，，∴，故答案為：11．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是橢圓：的右焦點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，垂足為，，則該橢圓的離心率為.【答案】【分析】通過(guò)焦點(diǎn)到直線的距離建立a,b,c關(guān)系，解方程即可求解.【詳解】由題知，，且，即，∴，∴，∴，∴.故答案為：【能力提升】一、單選題1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，并且滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，用弦長(zhǎng)公式表示出，用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上的條件表示出，代入題干條件即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，消去，得，注意到，則.于是，同理，.因此.的傾斜角為，∴直線的斜率，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，可得.由，可得，故.．故選：A2．（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，直線與橢圓另交于點(diǎn)，且，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義結(jié)合題意可得出，再由余弦定理求解即可得出答案.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，所以四邊形為平行四邊形．設(shè)，則．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以．在中，，由余弦定理得，所以，所以．故選：B.3．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）已知、是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑的表達(dá)式，代入三角形的面積公式，可得所求的三角形的面積．【詳解】由橢圓的方程可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即．故選：C．4．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）P為橢圓上一點(diǎn)，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A，B，C，D，若，則P到x軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，不妨設(shè)，，，，由橢圓定義得到，進(jìn)而求出，由橢圓定義可知，P點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，求出橢圓方程，聯(lián)立求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，得到答案.【詳解】中，令得，令得，不妨設(shè)，，，，則A，B為橢圓的焦點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，又，，由橢圓定義可知，P點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，其中，故，，所以P為橢圓上一點(diǎn)，由，解得，則，故P到x軸的距離為．故選：D5．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為6 B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的直徑為【答案】D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)即可求解AB，根據(jù)等面積法即可求解C，根據(jù)面積公式以及正弦定理及可求解D.【詳解】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長(zhǎng)為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，∴，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯(cuò)誤，故選:D.6．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，為的內(nèi)心，記，的面積分別為，且滿足，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及橢圓的定義，即可求出本題答案.【詳解】

設(shè)，內(nèi)切圓半徑為，，即，所以，又，.故選：B7．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓）的焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的內(nèi)切圓的半徑滿足，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知即向量數(shù)量積定義可得，應(yīng)用余弦定理求得，根據(jù)等面積法可得，再由正弦定理列方程求離心率，結(jié)合目標(biāo)式、基本不等式求其最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)，故，又，則，由余弦定理知：，所以，而，因?yàn)榈膬?nèi)切圓的半徑，故，所以，則，由，即，所以，整理得且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以目標(biāo)式最小值為.故選：B8．（2023·江西吉安·江西省泰和中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓，為的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，若的面積為，則的值為（

）A． B．3 C． D．6【答案】D【分析】利用焦點(diǎn)三角形的面積公式，建立等量關(guān)系，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，計(jì)算橢圓的離心率，再結(jié)合焦點(diǎn)三角形的面積公式即可求的值.【詳解】由題意得，的內(nèi)心到軸的距離等于內(nèi)切圓的半徑，即為的縱坐標(biāo)，即為，因?yàn)闉樯系囊稽c(diǎn)，所以,即，又因?yàn)椋?，，整理得，解得（舍）或，所以，所以，所以，即，解?故選：D.9．（2023·陜西寶雞·?？家荒＃┮阎獧E圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出的值，利用，根據(jù)向量模的計(jì)算即可求得答案.【詳解】由題意橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，可得，則①，即，由余弦定理得，，故，②聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即，故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題綜合考查了橢圓和向量知識(shí)的結(jié)合，解答時(shí)要注意到O為的中點(diǎn)，從而可以利用向量知識(shí)求解.10．（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，它們的離心率分別為、，點(diǎn)為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，焦距．結(jié)合橢圓與雙曲線的定義,得，,在中,根據(jù)余弦定理可得到，，與的關(guān)系式，進(jìn)而可得，設(shè)則有，所以，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可.【詳解】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，焦距，點(diǎn)為第一象限交點(diǎn)．則，，解得，，如圖：在中,根據(jù)余弦定理可得：，整理得，即，設(shè)則有，，所以，即有，所以，所以===，設(shè),則,令，得，所以在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)趨于時(shí)，趨于，當(dāng)趨于1時(shí)，趨于2，所以，即：.故選：C.二、多選題11．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的離心率為C．存在，使得D．面積的最大值為【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)焦點(diǎn)在在軸上，列出不等式，求出答案；B選項(xiàng)，求出，進(jìn)而求出離心率；C選項(xiàng)，寫出以為直徑的圓的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到當(dāng)時(shí)，方程有解，故C正確；D選項(xiàng)，由幾何性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)位于上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，表達(dá)出最大面積，配方后求出最值.【詳解】A選項(xiàng)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，解得，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，則，故的離心率為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，以為直徑的圓的方程為，與橢圓聯(lián)立得，，整理得，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，故，滿足要求，故存在，使得，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，故?dāng)點(diǎn)位于上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，故最大面積為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為，D正確.故選：ACD12．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)是26，則（

）A． B．C．直線的斜率為 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)離心率為，得到為等邊三角形，再由過(guò)且垂直于直線的，得到，為等腰三角形，再根據(jù)的周長(zhǎng)，得到a，進(jìn)而得到b，c，然后設(shè)DE所在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式驗(yàn)證D選項(xiàng).【詳解】解：如圖所示：∵橢圓的離心率為，∴不妨設(shè)橢圓．∵的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，∴為等邊三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，∴．故C項(xiàng)正確．由等腰三角形的性質(zhì)可得．由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，∴．故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，聯(lián)立，消去y得：，則，由韋達(dá)定理得，所以，故D項(xiàng)正確．故選：ACD13．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】如下圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，，，由橢圓的定義結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)可判斷A；由等面積法求出代入橢圓的方程可判斷B；求出可判斷C；由兩點(diǎn)的斜率公式可判斷D.【詳解】如下圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，，，對(duì)于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對(duì)于BCD，，又因?yàn)椋獾茫?，又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯(cuò)誤；從而，故D正確.故選:ABD．14．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的角平分線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，則（

）A．四邊形的周長(zhǎng)為16 B．直線，的斜率之積為C．的最小值為 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為【答案】ABD【分析】由橢圓定義即可判斷A，分別表示出，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，滿足橢圓方程，即可判斷B，由基本不等式即可判斷C，由條件結(jié)合橢圓的第二定義即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由橢圓的定義知，四邊形的周長(zhǎng)為，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，又，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，，所以，，在橢圓中，由其第二定義（指的是橢圓上的點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離）得，∴，所以，故，，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，故D正確.故選：ABD.15．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校校考二模）已知是圓上不同的兩點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，直線分別是圓的兩條切線，為橢圓的離心率.下列選項(xiàng)正確的有（

）A．直線與橢圓相交B．直線與圓相交C．若橢圓的焦距為兩直線的斜率之積為，則D．若兩直線的斜率之積為，則【答案】BCD【分析】由時(shí)，點(diǎn)時(shí)，得到直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合，可判定A錯(cuò)誤；由原點(diǎn)到直線的距離為，可判定B正確；設(shè)，根據(jù)題意求得，進(jìn)而得到，結(jié)合離心率的定義，可判定C正確；不妨設(shè)，根據(jù)得到，求得，結(jié)合離心率的定義，求得，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可以為，可得直線為，即，由，整理得，此時(shí)，所以直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)?，所以，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，所以直線與圓相交，所以B正確；對(duì)于C中，橢圓的焦距為，可得，即，不妨設(shè)，則直線，由原點(diǎn)到直線的距離等于1，可得，解得，同理可得，因?yàn)?，即，解得，又由，解得，所以離心率，所以C正確；對(duì)于D中，不妨設(shè)，則,，所以，解得，所以，因?yàn)?，可得，所以，所以D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.【真題感知】一、單選題1．（山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗裕瑢⒋?，解得，故橢圓的方程為.故選：B.3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)椋?，從而，所以．故選：B.方法二：因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問(wèn)題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．二、多選題6．（海南·高考真題）已知曲線.（

）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【分析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，時(shí)表示橢圓，時(shí)表示圓，時(shí)表示雙曲線，時(shí)表示兩條直線.【詳解】對(duì)于A，若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對(duì)于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見(jiàn)曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、填空題7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，利用弦長(zhǎng)公式求得，得，根據(jù)對(duì)稱性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.故答案為：13.四、解答題8．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；（2）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，由可得出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1）解：，離心率為.（2）解：由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．9．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右